Exercice 1. On veut montrer que le système des deux équations

Université Pierre & Marie Curie L3 de Mathématiques

LM 360 (Topologie et Calcul différentiel) Automne 2011

TD n ^◦ 9. L’inégalité des accroissements finis et la formule de Taylor 1 L’inégalité des accroissements finis

Exercice 1. On veut montrer que le système des deux équations

x =

sin(x + y) et y = 1 +

arctan(x − y) admet une unique solution.

a) En utilisant le théorème des accroissements finis, trouver une norme sur R

telle que

f : (x, y) 7→

1

4 sin(x + y), 1 + 2

3 arctan(x − y)

soit contractante.

b) Conclure.

Exercice 2. Soient E et F deux espaces vectoriels normés et U un ouvert connexe de E. Soit f : U → F une fonction différentiable telle que sa différentielle Df est constante sur U . Montrer que

∃A ∈ L(E, F ), ∃b ∈ F, f (x) = Ax + b ∀x ∈ E

(où L(E, F ) désigne l’espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F.)

Rappel : Si U est un ouvert connexe de E et h : U → F est une application différentiable telle que Dh = 0 sur U , alors h est constante sur U .

Exercice 3. Soit K un compact de R

, U un voisinage ouvert de K et f : U → R

une fonction de classe C

. On suppose qu’il existe un voisinage V de K, convexe ouvert et relativement compact tel que K ⊂ V ⊂ V ¯ ⊂ U . On pose, pour t ≥ 0, f

= I + tf, où I : x 7→ x est l’identité de R

.

a) Montrer que M =sup{kDf (x)k : x ∈ V ¯ } existe et que, pour tout y ∈ V ¯ , kx − yk ≤ kf

(x) − f

(y)k + tMkx − yk.

b) On pose t

=

. Déduire de ce qui précède que pour tout t ∈ [0, t

[, la restriction de f

à ¯ V est injective.

On suppose désormais que t ∈ [0, t

[.

c) Montrer que la restriction de f

à ¯ V est un homéomorphisme de ¯ V sur f

( ¯ V ).

d) Montrer que pour tout x ∈ V, Df

(x) =I+tDf(x) est inversible si 0 ≤ t < t

.

Exercice 4 (À retenir). Soient E, F deux espaces de Banach, U ⊆ E un ouvert, et une suite (f

) d’applications C

, f

: U → F. On suppose :

– ∃a ∈ U tel que (f

(a)) converge ;

– (Df

) converge uniformément sur U vers une fonction g.

a) Montrer que pour tout h tel que [a, a + h] ⊆ U , on a

k(f

(a + h) − f

(a)) − (f

(a + h) − f

(a))k ≤ sup

b∈[a,a+h]

||D(f

− f

)(b)|| · ||h||

b) En déduire que (f

(a + h)) est de Cauchy et que (f

) converge simplement vers une fonction nommée f . c) Montrer que la convergence est uniforme si khk est borné. En déduire que f est continue.

d) Montrer que f est différentiable en écrivant

kf (b + h) − f (b) − g(b) · hk ≤ k (f (b + h) − f (b)) − (f

(b + h) − f

(b)) k + kf

(b + h) − f

(b) − Df

(b) · hk

+ kDf

(b) · h − g(b) · hk et en majorant chacun des termes.

e) Conclure.

1

2 Différentielles d’ordre supérieur et formule de Taylor

Exercice 5. Soient E

, E

et F des espaces normés et B : E

× E

→ F une application bilinéaire continue.

Montrer que B est de classe C

et déterminer les différentielles D

B.

Exercice 6. Soient E et F deux espaces de Banach et f : E → F une application de classe C

. a) Soit h ∈ E et ϕ

(x) = Df (x)(h). Justifier que

D

f (a)(k, h) = Dϕ

(a)(k) pour tout k ∈ E.

b) Supposons que, pour tous t ∈ R et x ∈ E, f (tx) = t

f(x). Montrer que D

f (0)(x, x) = 2f (x) pour tout x ∈ E.

c) Soit a, h, k ∈ E et soit ψ : R

→ F définie par ψ(t, s) = f (a + th + sk). Calculer

(0, 0).

Exercice 7. a) Soit f : R → R une application C

et soit n ≥ 1.

Établir l’équivalence des propriétés suivantes : – f (0) = f

(0) = . . . = f

(0) = 0.

– f (x) = x

g(x) avec g ∈ C

.

b) Soit Ω un ouvert convexe de R

contenant 0 et soit f ∈ C

(Ω, R ). On suppose f (0) = Df (0) = 0. Montrer qu’il existe g

∈ C

(Ω, R ) telles que f (x) = P

i,j=1

x

x

g

(x).

c) (la même propriété dans les espaces de Banach)

Soient E

, . . . , E

et F des espaces de Banach et f : U ⊂ E

× . . . × E

→ F une fonction C

sur l’ouvert convexe U (avec k ≥ 2) telle que f (0) = 0 et Df (0) = 0.

Montrer qu’il existe des fonctions g

: U → L(E

, E

; F) de classe C

sur U telles que f(x) = P

i,j

g

(x)(x

, x

) ∀x ∈ U,

où L(E

, E

; F ) désigne l’espace des applications bilinéaires continues E

× E

→ F et x

= Π

(x) où Π

: E

× . . . × E

→ E

est la projection sur l’espace E

.

Exercice 8. Soit f (x, y) une fonction C

au voisinage du cercle x

+y

= 1. On pose

(1, 0) = a et

(1, 0) = b. On définit, pour tout θ ∈ R , F(θ) = f (cos θ, sin θ). Calculez F

(0) en fonction de a et de b.

Exercice 9. Soient E, F, G des espaces de Banach et u : E → F, v : F → G deux applications C

. Calculer, à l’aide de la définition, la différentielle seconde de w = v ◦ u.

Exercice 10. Ecrire la formule de Taylor-Young a) à l’ordre deux pour une fonction de trois variables ; b) à l’ordre trois pour une fonction de deux variables ;

c) à l’ordre treize en (0, 0) pour f(x, y) = y

+ x

y − x

+ y.

Exercice 11. Soit E un espace vectoriel normé et f : E → R une fonction de classe C

sur E telle que

∀x ∈ E, f(x) > 0.

On suppose qu’il existe M > 0 tel que

∀x ∈ E, kD

f (x)k ≤ M . a) Montrer que si h ∈ E et λ ∈ R , on a :

∀x ∈ E, 0 < f (x) + λDf(x) · h +

M khk

.

Indication : appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à f entre x et x + λh.

b) En déduire que kDf (x)k ≤ p

2M f (x).

3 Pour aller plus loin...

Exercice 12. Soient E un espace de Banach, f : [0, 1] → E et g : [0, 1] → R deux applications continues, différentiables sur ]0, 1[, telles que pour tout t ∈]0, 1[,

||f

(t)|| ≤ g

(t).

On suppose de plus que ||f (1) − f (0)|| = g(1) − g(0). Montrer que pour 0 < u < v < 1,

||f (v) − f (u)|| = g(v) − g(u).

En déduire que ||f

(t)|| = g

(t) pour tout t ∈]0, 1[.

2

Exercice 13. Soient E, F deux espaces de Banach et k ∈]0, 1[. On considère une application ϕ : E × F → F telle que ||ϕ(x, y)−ϕ(x, z)|| ≤ k||y −z|| pour tous x ∈ E et y, z ∈ F. Pour a ∈ E fixé on définit D

ϕ(a, b) ∈ L(F) la différentielle de l’application ϕ(a, ·) : F → F au point b ∈ F. De même on définit D

ϕ(a, b) ∈ L(E, F ).

a) Montrer que, pour tout x ∈ E, il existe un unique f (x) ∈ F tel que ϕ(x, f(x)) = f (x).

On suppose desormais que ϕ est différentiable.

b) Montrer que ||D

ϕ(a, b)|| ≤ k pour tout couple (a, b) ∈ E ×F. En déduire que id

−D

ϕ(a, b) est inversible en L(F).

c) Calculer Df(a) en tout point a ∈ E où f est différentiable.

d) Montrer que pour tous a, h ∈ E on a ||ϕ(a + h, f(a)) − ϕ(a, f (a))|| ≥ (1 − k)||f (a + h) − f(a)||. En déduire qu’il existe une constante M = M (a), dont on fournira une majoration explicite, telle que l’on ait, pour

||h|| assez petite, ||f (a + h) − f (a)|| ≤ M ||h||.

e) On pose w

(h) = f (a + h) − f (a). Montrer que

w

(h) − D

ϕ(a, b) · w

(h) = D

ϕ(a, b) · w

(h) + o(||h||)

lorsque ||h|| → 0. En déduire que f est différentiable sur E et retrouver l’expression trouvée précédement pour Df (a).

Exercice 14. (Application de l’exercice précédent) Soit K : R

→ R une application telles que

k := sup

y

Z

R

|K(x, y)|dx < 1.

Montrer que l’équation intégrale

g(x) + Z

R

K(x, y)g(y)dy = f (x) sin(x)

admet, pour toute fonction f ∈ L

( R ), une solution g = g

∈ L

( R ) et que l’application f 7→ g

est differentiable sur L

(R).

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