Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques
LM360 B
Lundi 21 novembre 2005
Topologie et Calcul Diff´ erentiel
Dur´ee 2 heures – sans document
I
Soient V etE deux espaces de Banach, etS une application lin´eaire continue deV dans E. On suppose qu’il existe un nombreδ >0 tel que, pour tout v∈V, on ait : kSvk ≥δkvk, et on veut montrer que S est un isomorphisme de V sur un sous-espace ferm´e de E.
1) Soitaun point adh´erent `a l’imageS(V). Montrer qu’il existe une suite (xn) dansS(V) qui converge vers a, puis qu’il existe une suite (vn) dans V telle que Svn = xn. Montrer que kvn−vpk ≤δ−1kxn−xpk, et en d´eduire que la suite (vn) est une suite de Cauchy qui converge vers un ´el´ementv de V, et enfin que a =Sv∈S(V). Conclure que F :=S(V) est ferm´e dans E.
2) Montrer queS est bijective deV sur F, et que S−1 est continue deF sur V, de norme au plusδ−1.
II
Soient E un espace de Banach, B la boule unit´e de E et T une application lin´eaire continue de E dans E. On dit que T est une application lin´eaire compacte si T(B) est une partie compacte de E.
1) Montrer que si T est compacte et si (xn) est une suite born´ee dans E, il existe une sous-suite (xnk) de la suite (xn) telle que la suite (T xnk) converge (On pourra remarquer que si kxnk ≤m pour tout n, l’ensemble m.T(B) :={m.x:x∈T(B)} est l’image de T(B) par l’applicationx7→m.x, et que la suite (T xn) est form´ee de points de m.T(B)).
2) SoientT une application lin´eaire compacte de E dans E, et V un sous-espace vectoriel ferm´e deE. On suppose queS =I−T est injective surV (c’est-`a-direV ∩kerS ={0}), et on veut montrer qu’alors S est un isomorphisme de V sur un sous-espace vectoriel ferm´e F de E.
On suppose que, pour tout entier n, il existe un vn ∈ V tel que kSvnk < 2−nkvnk et on posewn = vn
kvnk. Montrer qu’il existe une suite extraite (wnk) telle que (T wnk) converge vers un b ∈ E, puis que kwnk −T wnkk = kSwnkk < 2−nk; en d´eduire que wnk → b, que b∈V, que kbk= 1 et que Sb= limk→∞Swnk = 0, donc que b∈V ∩kerS.
Conclure de cette contradiction que S est un isomorphisme de V sur le sous-espace ferm´eS(V) (utiliser I).
III
Soient E un espace de Banach et T ∈
L
(E) une application lin´eaire compacte. On suppose que S = I −T est injective, et on veut montrer que S est surjective. On suppose par l’absurde que a est un point de E tel que a /∈ S(E), et on note, pour tout entier n, Fn =Sn(E).1) Montrer que Fn+1 ⊂ Fn, puis, par r´ecurrence sur n, que Fn est un sous-espace ferm´e de E (utiliser II avec Fn+1 =S(Fn)).
Montrer que Sna ∈Fn\Fn+1, puis qu’il existe unyn ∈Fn+1 tel que
kSna−ynk<2d(Sna, Fn+1)
En d´eduire que wn := Sna−yn
kSna−ynk appartient `a Fn, que kwnk = 1, puis que, pour tout z ∈Fn+1,
kwn−zk= 1 kSna−ynk
°
°
°Sna−³
yn+kSna−ynkz´°
°
°≥ d(Sna, Fn+1) kSna−ynk En d´eduire que d(wn, Fn+1)≥ 1
2.
2) Montrer que wn−T wn = Swn ∈ Fn+1, puis que si n < p, on a wp ∈ Fp ⊂ Fn+1 et Swp ∈Fp+1 ⊂Fn+1, et en d´eduire que
kT wn−T wpk=°
°
°wn−³
Swn+wp−Swp
´°
°
°≥d(wn, Fn+1)≥ 1 2
3) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que la suite (wn) est born´ee et que (T wn) ne peut avoir de sous-suite convergente. Conclure de cette contradiction queS est surjective.
IV
Soient E un espace de Banach et T ∈
L
(E) une application lin´eaire compacte. On suppose que S = I −T est surjective, et on veut montrer que S est injective. On suppose par l’absurde que a1 est un ´el´ement non nul de kerS, et, pour tout entier n, on note Gn= ker(Sn).1) Montrer queGn est un sous-espace vectoriel ferm´e de E, que Gn ⊂ Gn+1, qu’on peut trouver par r´ecurrence une suite (an) telle que San+1 = an et qu’alors an ∈ Gn \Gn−1. Montrer qu’il existe unyn ∈Gn−1 tel que
kan−ynk<2d(an, Gn−1)
En d´eduire que wn := an−yn
kan−ynk appartient `a Gn, que kwnk = 1, que d(wn, Gn−1) ≥ 1 2 et que wn−T wn =Swn ∈Gn−1.
Montrer que si n < p, on a T wp −T wn =wp−³
Swp−wn−Swn
´, que Swp ∈Gp−1,
wn ∈Gn ⊂Gp−1 et Swn ∈Gn−1 ⊂Gp−1, donc que kT wp−T wnk ≥d(wp, Gp−1)≥ 1 2 2) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que la suite (T wn) ne peut avoir de sous-suite convergente.
Conclure de cette contradiction que S est injective.
2
