Interrogation n ◦ 02 — 15 novembre

Lycée Fénelon Ste-Marie – la Plaine-Monceau Classe de MP

Année 2019-2020 Mathématiques

Nom : Prénom :

Interrogation n ^◦ 02 — 15 novembre

Durée : 20 minutes — 2 exercices à traiter — ni calculatrice ni document

Exercice CCINP n

46

On considère la série :X

n>1

cos πp

n²+n+ 1 .

1. Prouver que, au voisinage de+∞,π√

n²+n+ 1 =nπ+π 2+απ

n+O 1

n²

oùαest un réel que l’on déterminera.

2. En déduire queX

n>1

cos πp

n²+n+ 1

converge.

3. X

n>1

cos πp

n²+n+ 1

converge-t-elle absolument ?

1

Exercice CCP n

91

On considère la matriceA=















0 2 −1

−1 3 −1

−1 2 0















∈ M3(R).

1. Montrer queA n’admet qu’une seule valeur propre que l’on déterminera.

2. La matriceAest-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ? 3. Déterminer, en justifiant, le polynôme minimal deA.

4. Soitn∈N. Déterminer le reste de la division euclidienne de Xⁿ par(X−1)²et en déduire la valeur deAⁿ.

2