DS : limite de suite et exponentielle.

Première spécialité G2 Mercredi 2 octobre.

DS : limite de suite et exponentielle.

Ex 86 page 34 :

1. a. f⁰(x)= −100e^2t <0 doncf est décroissante.

b. .

c. On 3,8h soit 3h 49 environ.

2. a. d_n=f(n)−f(n+1)=200³

eⁿ²−eⁿ⁺¹² ´

=200eⁿ²³ 1−e¹²´ b. .

n←0 D=10

Tant queD>5 faire D←200³

eⁿ²−eⁿ⁺¹² ´ n←n+1

Fin Tant que

c. On obtient : . Doncn₀=6.

Ex 92 page 35 :

1. a. .

b. L’extrémum semble être en 0 et valoir 1,5.

Lycée Paul Rey 1

Première spécialité G2 Mercredi 2 octobre.

2.

f⁰(x)=(2e^2x+e^x)(e^2x+1)−(e^2x+e^x+1)(2e^2x)

(e^2x+1)² =2e^4x+e^3x+2e^2x+e^x−(2e^4x+2e^3x+2e^2x)

(e^2x+1)² = e^x−e^3x

(e^2x+1)²=−e^x(e^2x−1) (e^2x+1)² 3. a. On a e^2x−1>0⇔e^2x>1=e⁰⇔2x>0⇔x>0, d’où :

b.

x

(e^2x+1)²

−e^x e^2x−1

f⁰(x)

f(x)

−∞ 0 +∞

+ +

− −

− 0 +

+ 0 −

1 1

3 2 3 2

1 1 c. Du tableau de variation on déduit que le maximum def est3

2et est atteint pourx=0.

4. a. .

f(x)−3

2=2(e^2x+e^x+1)−3(e^2x+1)

2(e^2x+1) =−e^2x+2 e^x−1

2(e^2x+1) =−( e^x−1)² 2(e^2x+1) b. On e^2x>0 donc e^2x+1>0 et ( e^x−1)²≥0 doncf(x)=−( e^x−1)²

2(e^2x+1) ≤0, doncf(x)≤3

2. Par ailleursf(0)=3

2doncf admet un maximum en 0 et ce maximum vaut3

2. Ex 95 page 36 :

L’équation de la tangente en un point d’abscisseαest :

T_α: y=f⁰(α)(x−α)+f(α) Ici l’on af(x)=e^−xetf⁰(x)= −e^−xdonc :

T_α: y= −e^−α(x−α)+e^−α

a) Siα= −1,5, la cible est l’intersection deT_−1,5avec l’axe des abscisse. On cherche donc :

−e^1,5(x+1,5)+e^1,5=0⇔1−(x+1,5)=0⇔x= −0,5 Donc c’est la cibleC₁qui est atteinte.

b) Ici il faudrait que

0= −e^−α(1,5−α)+e^−α⇔ −1,5+α+1=0⇔α=0,5 A l’abscisseα=0,5

c) Ici il faudrait que

0= −e^−α(0,5−α)+e^−α⇔ −0,5+α+1=0⇔α= −0,5 A l’abscisseα= −0,5

d) Ici il faudrait que

0= −e^−α(a−α)+e^−α⇔ −a+α+1=0⇔α=a−1 A l’abscisseα=a−1

Lycée Paul Rey 2