Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2009-2010
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Devoir de mathématique n°1 Enseignement de spécialité
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 : Restitution Organisée des Connaissances Prérequis: On suppose connus les résultats suivants:
La fonction exp( ) définie et dérivable sur .
Sa fonction dérivée, notée exp', est telle que, pour tout réel , exp'( ) exp( ).
exp(0) 1.
1) P
x x
x x x
•
• =
• =
֏ ℝ
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1,5(
2)
3our tout réel , démontrer que exp exp 1.
2) Pour tout réel et tout réel , démontrer que exp exp exp . Application:
3 2
exp(3 ) exp( ) 1
Calculer:
exp 2 1 1 1 2
1 1
x x x
a x a x a x
e e
x x
A B e C
x
e e
−
− =
+ =
× × −
= = − =
+ −
+ −
( )
3e−2 2×
( )
2
2 2
2
Répondre par Vrai ou Faux aux questions suivantes:
1) La fonction définie sur par ( ) a pour dérivée la fonction 1 . 1
2) La fonction définie sur par ( ) 3 est une solu
x
x x x
x
f f x e x
e
e e
f f x x e
−
= +
+
= −
ℝ ֏
ℝ 2
2 1
2
tion de l'équation ' 2 . 3) L'inéquation 0 a pour ensemble de solutions ;1 .
2 4) L'équation 2 1 admet exactement une solution.
5) lim 2 2.
x
x
x
x
x x
x
y y e
e
e e
e e
− +
→+∞
= − +
> −∞
− = −
− + =
Exercice 2
( ) ( )
( )
2 1
1
2
On considère l'équation différentielle : ' 2 6
On cherche les solutions de l'équation qui ne s'annulent pas. Pour cela on pose 1.
1) Montrer que est solution de l'équation : ' 6 2.
2) R
E y y y
E z
y
z E z z
= −
=
= −
( )
( )
2
1
ésoudre l'équation .
3) En déduire les solutions non nulles de l'équation différentielle . E
E
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Exercice 3
[ [
On considère la fonction définie sur 0; par ( ) 3 1 . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
1) Déterminer la dérivée ' et la dérivée '' de la fonction . 2) Dresser l
f f x x xex
f f f
+∞ = + −
[ [
e tableau de variation de ' sur 0; . en précisant sa limite en . 3) Montrer que l'équation '( ) 0 admet une unique solution notée .
4) Vérifier que 0, 6 0, 7.
5) Déterminer la limite de en . 6)
f f x
f
α α
+∞ + ∞
=
< <
+ ∞ Dresser le tableau de variation de .
7) Montrer que l'équation ( ) 0 admet une unique solution notée , Vérifier que 1 3. 2 f
f x = β < <β
Exercice 4
Soit la fonction définie sur par: ( ) 1 sin2 . 1) Démontrer que ( ) ( ) pour tout réel .
2) Démontrer que ( ) ( ) pour tout réel . 3) Justifier pourquoi il suffit d'étudier sur 0;
2
f f x x
f x f x x
f x f x x
f I
π
π
= −
− = + =
=
ℝ
[ ]
. 4) Etudier le sens de variation de sur .
5) Construire la représentation graphique de sur 0; , puis sur ; . 2
(unité: 2 sur l'axe des abscisses et 4 sur l'axe des ordonnées).
f I
f
cm cm
π π π
−
Exercice 5
Autour du nombre 7
Les questions 1, 2 et 3 peuvent être traitées dans n'importe quel ordre 1) Un critère de divisibilité par 7 :
a) Soit un entier naturel qui s'écrit avec quatn re chiffres, en convenant que le premier chiffre de gauche peut être nul, ou les deux, ou les trois premiers. Ainsi par cette convention 0352; 0061; 0003
sont des nombres de quatre chiffres.
On note leu
2
nombre formé par les deux chiffres de gauche et celui formé par les deux chiffres de droite.
En écrivant que 10 , prouvez que est divisible par 7 lorsque 2 est divisible par 7, et n'est pas
v
n= u+v n u+v
divisible par 7 dans le cas contraire.
b) Sans faire de division, dites si les nombres 343;8751; 2247 sont divisibles par 7 ou non.
2)a) En utilisant les congruences modulo 7, étudier suivant les valeur
2
s de l'entier naturel , le reste de la division par 7 du nombre 1.
b) En déduire les entiers tels que le nombre soit divisible par 7.
c) Déterminer le reste de la division par 7 du nombre
n
A n n
n A
B
= − +
=
( )
27532 2753 1.
3) Résoudre l'équation pour tout entier: x x 20 2 7
− +
+ ≡
