Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2010-2011
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La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1
Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exactee.
On demande de noter la réponse sur la copie; exemple: 1) a).
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inéxacte enlève 0,25 point.
L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
1) 'y =y a
5 5
a) exp( ) avec pour solutions b) avec
c) cos avec a) cos 5 2) Une solution de ' 5 0 est b)
c)
3)
x
x x
y C x C
y Ce C
y x k k
y x
y y y e
y e
−
−
= ∈
= ∈
= + ∈
=
+ = =
=
ℝ ℝ
ℝ
( )
2
3 5 15
2
3 9
6
a) peut s'écrire plus simplement b)
c)
a) 1 4) exp( 3) peut s'écrire plus simplement b)
c) e
e e
e
e e
e
−
− −
− −
Exercice 2
3 3
A) On considère l'équation différentielle: ( ) ' 2 (où y est une fonction inconnue) 1) Vérifier que la fonction définie par: ( ) est solution de ( ).
2) Montrer qu'une fonction est solu
x x
E y y e
f f x e E
g
−
−
+ = −
=
tion de l'équation ( ) si est seulement si la fonction est solution de l'équation ( ') : ' 2 0.
3) Résoudre l'équation ( ')
4) Déduire des questions précédentes les solutions de l'équation ( ) 5) Dét
E
g f E y y
E
E
− + =
2 3
erminer la solution de l'équation ( ) qui prend la valeur 1 en 0.
2 B) On considère la fonction définie par: ( ) 3 , pour .
2 1) Dresser le tableau de variation de .
2) Tracer ( ), on se lim
x x
f
E
f x e e x
f C
− −
−
= − + ∈ℝ
2
itera à l'intervalle 1; 2 . 2
3) Montrer que l'équation ( ) 0 admet une solution notée dans . Donner un encadrement de à 10 près.
Déterminer la valeur exacte de (on utilisera ( ) 0) f x
eα f
α α
α
−
−
=
=
ℝ
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Exercice 3
2
Partie A: Etude de propriétés de la fonction
désigne la fonction définie et dérivable sur par :
'( ) 2 (0) 0
1
1) Dresser le tableau de variation de la fonction sur . 2) En dé
A sa fonction dérivée
A x et A
x
A
= =
+
ℝ
ℝ
duire le signe de sur , et donc la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.
3) Pour tout réel, on pose ( ) ( ) ( ).
a) Justifier que est dérivable sur et calculer sa dérivée A
x g x A x A x
g
= + −
ℝ
ℝ '( ).
b) Démontrer que la fonction est constante sur . Déterminer ( ).
c) En déduire que la fonction est impaire.
4) Déterminer une équation de la tangente à la courbe ( ) de la fonction à l'ori g x
g g x
A
C A
ℝ
0 0 0
gine.
5) Donner la position relative de la courbe ( ) et sa tangente au point O.
Partie B: Représentation graphique par la méthode d'Euler
On rappelle que pour proche de 0, on a: ( ) ( ) '( ).
C
h f x + ≈h f x +hf x
0 0 2
0
1) Montrer que pour h proche de 0, on a: ( ) ( ) 2 1
2) Utiliser cette formule pour approcher (1) . On pourra utiliser le tableau suivant:
2 Approximation de
A x h A x h
x A
x
π
+ ≈ +
+
−
2
( )
0 1
2 0,1
0 0,1 (0)
1 0 0,1 0,1
0, 9 0,1
Que pouvez alors dire de la valeur de (1) ?
f x
A
A
+ + ×
+ +
+
⋯
⋯ ⋯
⋯
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Exercice 4
3 2
On considère la fonction définie sur par: ( ) 2 3 1.
1)a) Etudier les variations de .
b) Démontrer que l'équation ( ) 0 admet une seule solution et que cette solution appartient à l'einterv
g g x x x
g
g x α
= − −
= ℝ
] [
] [
( )
3
alle 1, 6;1, 7 . c) Déterminer le signe de ( ).
2) On considère la fonction ( ) 1 sur l'intervalle 1;
1
et on désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormal ; ; unité 4 . a
f
g x f x x
x
C O i j cm
= − − +∞
+
) En utilisant la question 1), étudier les variations de . b) Calculer les limites de aux bornes de l'intervalle d'étude.
c) Déterminer une équation de la tangente ( ) à la courbe f au point d'absci f
f
D C
] [
sse 0.
Etudier la position de la courbe par rapport à la tangente ( ) sur l'intervalle 1;1 . d) Représenter la courbe et la droite ( ).
f f
C D
C D
−
Exercice 5 Question 1
2
1) Le reste de la division euclidienne de 557 par le naturel est 89.
Déterminer les valeurs posibles de et du quotient.
2) Trouver tous les couples d'entiers naturels ( ; ) tels que: 2 15.
3) Pr
b b
x y x − xy=
ouver que les seuls diviseurs positifs communs aux entiers 9 2 et 12 1 sont 1 et 5.
4) Montrer que tout entier non divisible par 5 a un carré de la forme: 5 1 ou 5 1.
a k b k
n p p
= + = +
+ −
Question 2
2
349
1) Montrer que pour le nombre 8 15 n'est jamais premier.
2) Calculer le reste de la division par 7 du nombre 247 .
n∈ℕ n + n+
Question 3
Trouvez, suivant les valeurs de l'entier naturel , le reste de la division euclidienne de 3 par 8.
Quel est l'ensemble des entiers naturels tels que le nombre 3 9 2 soit divisible par 8?
n n
n
n × −n n+
