DS 1 +Correction

(1)

Devoir de mathématique n°1 Enseignement de spécialité

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 ( 2 points )

2

2 2

désigne un nombre réel et la fonction définie sur par: ( ) 2 2 1

4 2 1

Déterminer la valeur de pour que soit continue sur .

x x si x

m f f x mx si x

x x si x

m f

 + + ≤ −

= − − < <

 − − ≥

 ℝ

ℝ

0 1

On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel par: 0 et 6.

1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel : 0 3.

2) Démontrer par récurrence que la suite ( ) es

n n n

n n

u n u u u

n u

u

= + = +

≤ <

t croissante.

3) En déduire qu'elle converge et déterminer sa limite.

3 2

On considère la fonction définie sur par: ( ) 2 3 1.

1)a) Etudier les variations de .

b) Démontrer que l'équation ( ) 0 admet une unique solution et que ]1,6;1,7[.

c) Déterminer le signe

g g x x x

g

g x α α

= − −

= ∈

ℝ

3

de ( ).

2) On considère la fonction définie sur ] 1; [ par: ( ) 1 . 1 sa courbe dans un repère orthonormal ( ; ; ) unité 4 . En utilisant la question 1) étudier les variations de .Donner

f

g x

f f x x

x

C O i j cm

f

− + ∞ = − +

le tableau complet des variation de . 3)a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

b) Etudier la position de la courbe par rapport à la tangente sur ] 1;1[.

4

f f

f

D C

C D −

) Représenter la courbe C_f et sa tangente .D

(2)

Soient (an)_n∈N et (bn)_n∈N les suites numériques définies par :

a₀ = 2, b₀ = 3 et pour tout entier naturel n :

1

3 2

5

2 3

5

n n

n

n n

n

a b

a

a b

b

+

 =



 = +



1) Soit (vn)_n∈N la suite de terme général v_n = −a_n b_n.

a) Montrer que ( )v_n est une suite géométrique. Donner sa raison et son premier terme.

b) En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en fonction de n et le signe dev . _n 2)a) Montrer que les suites (a_n)_n∈N et (b_n)_n∈Nsont adjacentes.

b) En déduire que les suites (an)_n∈N et (bn)_n∈N convergent vers une même limite que l’on notera L.

3) Soit (un)_n∈N la suite de terme général u_n = +a_n b_n. a) Quelle est la nature de la suite (un)_n∈N ?

b) En déduire la valeur de u_n pour tout entier naturel n.

c) Déterminer la limite commune L des suites (a_n)_n∈N et (b_n)_n∈N.

4)a) Exprimer, pour tout entier naturel n, a_n et b_n en fonction de u_n et v_n, puis en fonction de n.

b) Retrouver la limite L.

2 3 4 5 6

1)a) Déterminer les restes dans la division par 7 des nombres: 2; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; et 2 . b) En déduire le reste dans la division par 7 de 2 pour tout entier naturel .

2) Démontrer que pour tout entier nat

n n

3

3 1 3 2

urel n: 2 1 est un multiple de 7.

(On peut utiliser au choix les congruences ou un raisonnement par récurrence) En déduire que: 2 2 est un multiple de 7 ainsi que 2 4.

3) Le nombre étant un

n

n n

p

+ +

−

− −

2 3

entier naturel, on considère le nombre entier: 2 2 2 . a) Si 3 quel est le reste de la division de par 7?

b) Démontrer que si 3 1 alors est divisible par 7.

c) Etudier le cas où 3

p p p

p p

p

A

p n A

p n

= + +

=

= +

= 2.

4) On considère les nombres entiers et écrit dans lesystème binaire:

1001001000 et 1000100010000.

Vérifier que ces nombres sont des nombres de la forme _p.Sont-ils divisibles par 7?

a b

A +

= =

(3)

Correction Exercice 1

2

2 2 2

est continue sur chaqu'un des intervalles: ] ; 2], ] 2;1[ et [1; [ c'est une fonction polynôme.

On étudie la continuité en 2 et en 1.

est continue en 2 si lim ( ) lim ( ) lim 2

x x x

f

f f x f x x x

→− − →− + →− −

− ∞ − − +∞

−

− = ⇔ + +

2 2

1 1 1 1

lim 2 2 2 4 3

est continue en 1 si lim ( ) lim ( ) lim 2 lim 4 2 2 5 3

Donc f est continue sur si et seulement 3 .

x

x x x x

mx m m

f f x f x mx x x m m

m

→− +

→ − → + → − → +

= − ⇔ − − = ⇔ = −

= ⇔ − = − − ⇔ − = − ⇔ = −

= − ℝ

Exercice 2

0

1) Notone la propriété: 0 3.

si 0 on a 0, la propriété est vérifiée au premier rang, elle est initialisée.

Supposons que pour un entier quelconque, la propriété est vraie: 0 3 montrons

n

Pn u

n u

Pn u

≤ <

= =

≤ <

1

quelle est vraie pour 1.

Comme 0 3 alors 6 6 9 6 6 3 car la fonction est croissante sur .

6 6 3 0 3.

la propriété est vraie au rang 1, donc elle est vraie pour tout entier

n n n

n n

n

u u u x x

u u

Pn n

+

≤ < ≤ + < ⇔ ≤ + < +

≤ + < ⇔ ≤ ≤ +

֏ ℝ

1 1

0 1 1 0

naturel . 2) La suite un est croissante si tout entier naturel : 0.

Considérons la propriété : 0, pour tout entier naturel . 0 , 6 0 la propriété est initialisée.

Supposons

n n

n

n u u

Pn u u n

u u on a u u

+ +

− ≥

= = − ≥

( ) ( )

1

2 1

1

2 1 1

1

que pour un entier quelconque, la propriété est vraie: 0 montrons quelle est vraie pour 1 soit : 0.

6 6

6 6 en multipliant par l'expression

6 6

n n

n n n n

n n

Pn u u

n u u

u u

u u u u

u u

+

+ +

+ + + +

+

− ≥

+ − ≥

+ − +

− = + − + =

+ + +

( ) ( )

( )

1 1

2 1 1

1 1

conjuguée.

6 6

0 car 0.

6 6 6 6

Donc la proppriété est vraie au rang 1.

Pour tout entier naturel , la suite est croissante.

3) est une suite croissant

n n n n

n

u u u u

n n

u

+ +

+ + +

+ +

+ − + −

− = = ≥ − ≥

+ + + + + +

+

1

2

e et majorée, elle est donc convergente. Notons sa limite.

Comme ( ) avec ( ) 6 et est une fonction continue sur .

La limite vérifie l'équation ( ) 6 6 0.

Les solutions de

n n

L

u f u f x x f

L L f L L L L L

+ = = + +

= ⇔ = + ⇔ − − =

ℝ

( )

cette équations sont: 2 ou 3.

Comme _n est une suite à termes positifs, on en déduit que 3 .

L L

u L

= − =

=

(4)

Exercice 3

1)a) est une fonction polynôme donc dérivable sur et '( ) 6 2 6 6 ( 1).

' s'annule en 0 en 1, d'où le tableau des variations:

g g x x x x x

g et

= − = −

ℝ

b) La fonction est continue est strictement croissante sur ]1; [, elle réalise une bijection de ]1; [ sur ] 2; [.

0 ] 2; [, d'après le théorème des valeurs intérmédiaires, l'équation ( ) 0 admet

g

g x

+∞

+∞ − +∞

∈ − +∞

= une unique solution dans ]1; [.

De plus (1, 6) 0, 488 et (1, 7) 0,156, donc (1, 6) (1, 7) 0 donc 1,6< <1,7 . c) Signe de ( ) : sur l'intervalle ] ; [ on a ( ) 0 et sur l'intervalle ] ; [ on a (

g g g g

g x g x g x

α

α α

+∞

− × <

− ∞ < +∞

≃ ≃

( ) ( )

3

3 2

2 2

3 3

) 0.

2) Soit définie sur ] 1; [ par: ( ) 1 1

est dérivable sur ] 1; [ comme quotient de deux polynôme (fraction rationnelle) et on a:

(1 ) 3 (1 ) ( )

'( ) '( ) . '( ) est du

1 1

f f x x

x f

x x x g x

f x f x f x

x x

>

− + ∞ = − +

− + ∞

− + − −

= ⇔ =

+ + signe de ( ) sur ] 1; [.

D'où le tableau des variations de :

g x f

− + ∞

x -1 α +∞

'( )

f x − 0 + ( )f x

+∞ 0 ( )f α

3 3

1 1 1

3 2

lim (1 ) 2 , lim (1 ) 0 car 1 0 donc par quotient lim ( ) .

lim ( ) lim lim 1 0.

la droite d'équation 1 est une asymptote verticale à . possède un minimum au

x x x

f

x x x f x

f x x

x x

x C

f

+ + +

+

→− →− →−

→+∞ →+∞ →+∞

− = + = + > = +∞

− −

= = =

= −

( )

point A α; ( ) .f α

3)a) Equation de la tangente D à la courbe en 0

a pour équation: '(0) (0) , '(0) 1 et (0) 1 d'où : 1 . b) Position relative de et _f sur l'intervalle ] 1;1[: On étudie le signe de : (

Cf x

D y f x f f f y x

D C f

=

= × + = − = = − +

−

3 4 3 3

)

1 1 ( 1)( 1) ( 1)

x y

x x x x x x x x

−

− − − + − + − −

x _−∞ 0 1 +∞

'( )

g x + 0 - 0 + ( )g x

-1 +∞

−∞ -2

3

(0) 1 , (1) 2 lim ( ) lim 2 lim ( ) lim 2

x x

g g

g x x

→−∞ →−∞

→+∞ →+∞

= − = −

= = −∞

= = +∞

est décroissante sur ] 1; [ est croissante sur ] ; [ f

f

α α

− +∞

(5)

x -1 0 1 ( )

f x −y + 0 − ⁰

Sur l'intervalle ] 1; 0[ ( ) 0 la courbe est donc au dessus de la tangente D.

Sur l'intervalle ]0;1[ ( ) 0 la courbe est donc au dessous de la tangente D.

4) Représentation graphique:

Valeur app

f f

f x y C

− − >

− <

( )

rochée de et ( ) : 1, 65 et ( ) 0,12 Le point A a pour coordonnées: ; ( ) .

f f

A f

α α α α

α α

−

≃ ≃

1,65

-0,12

2 -1

2

0 1

1

x y

A

(6)

Exercice 4

1 1 1 1 1

0 0 0 0

1) On considère la suite ( ) définie par:

3 2 2 3 1

a) .

5 5 5 5

( ) est donc une suite géométrique de raison 1 et de premier terme soit 1 . 5

b)

n n n n

n n n n n n

n

v v a b

a b a b a b

v a b v v v

v v a b v

+ + + + +

= −

+ + −

= − = − ⇔ = ⇔ =

= − = −

( ) ( )

( )

0

1

1 1

Le terme général de est : soit . 0.

5 5

2)a) Montrons que les suites et sont adjacentes:

3 2 2 2 2

0 puis que 0. est donc croissante.

5 5 5

n n

n n n n

n n

n n n n

n n n n n n

v v v v v

a b

a b a b

a₊ a a v v a

   

= ×  = −  <

   

+ − +

− = − = = − > <

( )

( ) ( ) ( )

1

2 3 2 2 2

0, est donc décroissante.

5 5 5

1 1

lim lim 0 car 0 1 d'où lim 0.

5 5

Comme 0 0 .

est croissante, est décroissante, lim

n n n n

n n n n n

n

n n n

n n n n n

a b a b

b b b v b

v a b

v a b a b

a b a b

+

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

+ −

− = − = = <

= −   = < < − =

 

< ⇔ − < ⇔ <

− =

( ) ( )

0 et :

Les suites et sont donc adjacentes.

b) Comme les suites et sont adjacentes, elles convergent donc vers la même limite L.

n n

a b

<

( )

1 1 1 1 1

0

3) Soit la suite définie par: .

3 2 2 3

a) 5 5

est une suite constante.

b) 5 d'où pour tout entier naturel , on a 5 . c) lim lim

n n n n

n n n n n n n n

n

n n

u u a b

a b a b

u a b u a b u u

u

u n u

u a b

+ + + + +

→+∞ →+∞

= +

+ +

= + = + ⇔ = + ⇔ =

= =

=

(

+

)

⁵ ⁵ ⁵^{. lim} ^lim ⁵^.

2 2

4a) On a pour tout entier naturel : on résolvant ce système, on obtient:

2 soit et 2 soit .

2 2

D'où en remplaça

n n n n n

n n n

n n n n

n n n n n n n n

L L L a b

u a b

n v a b

u v u v

a u v a b u v b

→+∞ →+∞

= ⇔ + = ⇔ = = =

= +



 = −

+ −

= + = = − =

1 1 1 1

nt et par leurs expressions, on a: 5 et 5 .

2 5 2 5

1 1

b) Comme lim 0 car 0 1, on retrouve la limite L:

5 5

n n

n n n n

n n

u v a b

→+∞

       

=  −   =  +  

   

   

   

  = < <

  

(7)

Correction de l’exercice (5) enseignement de spécialité

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

2 3 4 5 6

1)a) Les restes dans la division par 7 des nombres: 2; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; et 2 : 2 2 7 , 2 4 4 7 , 2 8 1 7 , 2 2 2 7 2 7 , 2 4 7 , 2 1 7 . b) Tout entier naturel peut s'écrire sous la forme: 3 avec 0,1 2.

si 0 al

n n k r r ou

r

≡ = ≡ = ≡ = + × ≡ ≡ ≡

= + =

=

[ ] [ ] [ ]

[ ] ( ) ^{[ ]} ( ) ^{[ ]}

( ) ^{[ ]} ( ) ^{[ ]}

3 3 3 3

3 1 3 3 3 3 1

3 2

ors 2 1 7 , si 1 alors 2 2 7 , si 2 alors 2 4 7 .

2) On a 2 1 7 2 1 7 2 1 0 7 donc 2 1 est un multiple de 7.

2 2 2 2 1 comme 2 1 0 7 alors 2 2 1 0 7 . Ainsi 2 2 est un multiple de 7.

2 4

n n n

n n n n n

n

r r

+ +

+

≡ = ≡ = ≡

≡ ⇔ ≡ ⇔ − ≡ −

− = − − ≡ − ≡ −

−

( ) [ ]

( ) ( )

[ ] ( ) ^{[ ]}

3 3 2

2 3

3 2 3 3 3

3 3 2

4 2 1 le même raisonnement donne 2 4 0 7 .

3) Le nombre étant un entier naturel, on considère le nombre entier: 2 2 2 . a) Si 3 on a

2 2 , 2 2 , 2 2

Comme 2 1 7 alors 2 1 7 et

n n

p p p

p

p n p n p n

n n

p A

p n

= − + − ≡

= + +

=

= = =

≡ ≡

( ) ^{[ ]}

[ ] [ ]

( ) ( )

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

3 3

2 3

2 3 1 3 3 1

3 1 3 3 3 3

2 3 3

3 3

2 1 7

En additionnant ces trois relations on obtient: 2 2 2 3 7 donc 3 7 . b) Si 3 1 alors

2 2 2 2 2 4 2 2 2

Sachant que 2 2 7 , 2 4 7 , 2 1 7 et 2 1 7 on a 2 2 2 7 ; 4 2

n

p p p

p

n n

n n n n

p

n

n n

A

p n

A ⁺ ⁺ ⁺

≡

+ + ≡ ≡

= +

= + + = × + × + ×

≡ ≡ ≡ ≡

× ≡ × ≡

[ ] [ ]

( ) ( )

3 3

2 3 2 3 3 2

2 3 3 2 2 3 4 3 6 3

4 7 ; 2 2 1 7

En utilisant les propriétés des congruences: produite et somme, on obtient:

2 4 1 7 0 7 . est donc divisible par 7.

c) Si 3 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

n

p p p

n n

p p p n n n n

p

A A A

p n

A ⁺ ⁺ ⁺

× ≡

≡ + + ⇔ ≡

= +

= + + = + + = × + × + ×

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

2 4 6 3

4 7 , 2 2 7 , 2 1 7 et 2 1 7 Le raisonnement précédent donne:

4 2 1 7 soit 0 7 . est encore divisible par 7.

4) On considère les nombres entiers et écrit dans lesystème binaire:

1001001000 et

n

p p p

A A A

a b

a

≡ ≡ ≡ ≡

≡ + + ≡

=

[ ]

9 6 3 2 3

12 8 4 2 3

1000100010000.

2 2 2 2 2 2 avec 3, n'est pas divisible par 7 car 3 1, 3 7 .

2 2 2 2 2 2 avec 4 3 1 1 donc de la forme 3 1.

est donc divisible par 7.

Vérification:

p p p

b

a p a p a

b p p n

b

a

=

= + + = + + = = × ≡

= + + = + + = = × + = +

584 83 7 3 b 4368 7 624

= = × + = = ×

DS 1 +Correction

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

(

)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]

( ) [ ] ( ) [ ]

( ) [ ]

( ) ( )

[ ] ( ) [ ]

( ) [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] ( ) ^{[ ]} ( ) ^{[ ]}

( ) ^{[ ]} ( ) ^{[ ]}

[ ] ( ) ^{[ ]}

( ) ^{[ ]}