ECO 1 LMA Mathématiques Le 12 octobre 2020
Devoir surveillé n
o1
La calculatrice est interdite. Durée : 4h
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 :
Chaque« grosse » question peut être traitée indépendamment des autres.
1. Donner un exemple de deux polynômes de degré 3 dont la somme est de degré 1.
2. Soitnun entier naturel. Simplifier (n−1)!(n+ 1)!
(n!)2 . 3. Démontrer que pour toutx∈]0; +∞[, on a ln(x)6x−1.
4. (a) Déterminer trois réela, b, ctels que pour tout, x∈R, 2x3+ 5x2−3 = (x+ 1)(ax2+bx+c).
(b) Déduire de la question précédente :
i. L’ensemble de définition de f :x7→ln(2x3+ 5x2−3).
ii. L’ensemble de solutions de l’équation 2e3x+ 5e2x= 3.
5. Soitf la fonction définie surRpar :
∀x∈R, f(x) = 1 2(1 +|x|)2 (a) Montrer quef est paire et positive sur R.
(b) Calculer 2exf(ex−1) pour toutx∈R. (c) Résoudre dansR:
f(x) =1 8 6. Soitf la fonction définie surRpar :
∀x∈R, f(x) =3
2e−x2(1−e−x2)2 (a) Vérifier que :
f(2 ln(3)) = 2 9 (b) Calculerf −2 ln 23et f(ln(81)).
(c) Montrer quef n’ est ni paire ni impaire surR.
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Exercice 2
Chacune des « grosses » questions est indépendante des autres
1. Soitn∈N∗, expliciter les sommes suivantes : (a)
2n
X
k=0
2n k
3−2k. (b)
n
X
k=0
k(k−1) n
k
2k (c)
n
X
k=2
k2 n
k
2. Soitf :
( Df →R x7→ 3x
x+ 2
(a) Donner l’ensemble de définitionDf de la fonctionf. (b) Donner les éventuels antécédents de 3 parf, puis de 1
2 parf. (c) Ces résultats permettent-ils de dire sif est injective ou pas ? (d) Ces résultats permettent-il de dire sif est surjective ou pas ?
(e) Montrer que si on remplace l’ensemble d’arrivée parR− {3}, alorsf est bijective et donner expliciter la fonction réciproque de f.
3. On cherche à calculerS=
n
X
k=2
k−5
k(k2−1), pour un entiern>2.
(a) Montrer que k−5
k(k2−1) = −2 k−1+5
k+ −3
k+ 1 pour tout entierk>2.
(b) En déduire la valeur de la sommeS grâce à une propriété de téléscopage.
Exercice 3
Chaque question peut être traitée indépendamment des autres.
1. Simplifier :
A=
s5 + 2√ 6 5−2√
6 2. Résoudre dansRl’équation :
x|x+ 1| −x2|x−1|= 0.
3. (a) Écrirex2+ 2x+ 2 sous sa forme canonique.
(b) En déduire que pour toutx∈R, √
x2+ 2x+ 2>|x+ 1|. (c) Soitf la fonction définie pour toutx∈Rparf(x) =√
x2+ 2x+ 2−x−1.
Étudier le signe de f.
4. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n>6 on a 2n>(n+ 1)2 5. Soitnun entier naturel non nul. Calculer :
A=
n
X
k=1
3k−3k
, B=
n
X
k=1
ln
1 + 2 k+ 1
k2
C=
2n−1
X
k=n
(2k(2k2−1)).
6. Soitnun entier naturel non nul. Soientx1, · · ·, xn des nombres réels tels que
n
X
i=1
x2i =
n
X
i=1
xi=n.
On note S=
n
X
i=1
(xi−1)2. (a) Montrer queS= 0.
(b) En déduire que que pour toutk∈J1 ;nK, xk = 1 page 2
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Exercice 4
Soitn∈N∗.
1. Question préliminaire : soitk∈N∗. Simplifier les quantités suivantes : (a) (k+ 1)k! (b) (k+ 2)(k+ 1)k!
2. On considère la somme Sn=
n
X
k=1
k×k!.
(a) Montrer queSn =
n
X
k=1
((k+ 1)!−k!).
(b) En déduire queSn= (n+ 1)!−1.
3. On considère la somme Tn =
n
X
k=1
(k2+ 1)×k!.
(a) Soitk∈N∗. Justifier quek2+ 1 = (k+ 2)(k+ 1)−2(k+ 1) + 1−k.
(b) En utilisant la décomposition précédente et la linéarité de la somme, montrer que : Tn=
n
X
k=1
(k+ 2)!−2
n
X
k=1
(k+ 1)! +
n
X
k=1
k!−Sn.
(c) En remarquant une propriété téléscopique sur les trois premières sommes, montrer que Tn= (n+ 2)!−(n+ 1)!−1−Sn.
(d) Simplifier le résultat précédent pour obtenirTn= (n+ 1)!n.
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