Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2008-2009
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Devoir de mathématique n°2 Enseignement de Spécialité
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
] [
estitution rganisée des onnaissances ( ) :
Prérequis: ln est dérivable sur 0, et ln'( ) 1; de plus ln1 0.
1) Démontrer que, pour tous réel a 0 et 0, ln( ) ln ln . 2) En déduire que si a 0 et 0
R O C ROC
x x
x ax a x
b
+∞ = =
> > = +
> > 1
, ln ln ln ln ln .
Application: On donne 0, 69 ln 2 0, 70 1, 09 ln 3 1,10
1 3
En déduire des encadrements de ln 6, ln ln .
9 8
b et a a b
b b
et et
= − = −
≤ ≤ ≤ ≤
Exercice 1
L'iode 131 est un produit radioactif. Tout échantillon d'iode 131 a sa masse qui diminue réglièrement par désintégration.
La masse, exprimée en grammes, est une fonction M du temps, qui est solution de
( ) ( )
l'équation différentielle : ' , où est le temps exprimé en jours et une constante réelle.
1) Résoudre l'équation .
2) Sachant que, lorsque 0, la masse de l'échantillon est de 100 , exprimer (
E y y t
E
t g M
λ λ
=
= ) en fonction de et de .
3) la masse de tout échantillon d'iode 131 diminue de 8, 3% chaque jour.
En déduire une valeur approchée de arrondie au dix-millième.
t t λ
λ Exercice 2
Les différentes questions sont indépendantes
2
1 2
1 2 1 1 2
( ) 1
( 3)
Ecrire sous forme algébrique les nombres suivants: (1 ) et (1 ).
2) On pose 1 , 3 2
Ecrire sous forme algébrique les nombres co 1
mplexes: 3 , 2 3 , 1
) On donne: z
f z z z
f i f i
z i z i
iz z i z z z
= − +
− +
= − = − +
− + −
( )(
− 1)
13) Résoudre dans l'ensemble des complexes , les équations suivantes:
a) 3( ) 3 ( 2 3 ) ( 1)( )
b) 2 9 2
4) Déterminer le module et un argument des nombres complexes:
; 1
i z i i z
z i i z i i z i
z z i
z i z i
+ −
− − − + = − +
− = +
= = −
ℂ
; 3 ; 1
1 3
z i z i
i +
= − =
+
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Exercice 3
] [
( )
( ) ln , sa courbe dans un repère orthonormal , , .unité graphique On consid re la fonction d fi
2 . 1)a) Etudier les var
nie
iations de la fonction définie sur pa sur 0, par
r: ( ) 1
x
x
f x e x
C O i j cm
g g x x
è é
e
+∞ = −
= −
ℝ
3
.
b) En déduire qu'il existe un unique réel tel que : 1.Donner un encadrement de d'amplitude 10 . c) Préciser le signe de ( ) selon les valeurs de .
2)a) Déterminer les limites de aux bornes
a aea a
g x x
f
= −
] [
] [
1
0, .
b) Calculer la fonction dérivée ' de et étudier son signe sur 0, en utilisant la question 1).
Dresser le tableau de variation de . c) Montrer que admet un minimum
de
avec , justif
f f
f
f m m a a−
+∞
+∞
= + 2, 32 2, 34.
3) Donner une équation de la tangente à au point d'abscisse 1, Déterminer le point d'intersection de avec l'axe des ordonnées.
4
ier que:
) Tracer .
m
T C
T C et T
≤ ≤
Exercice 4
Question de cours
1) noncer le th or me deB zout et le th or me de Gauss.
2) D montrer le th or me deGauss en utilisant le th or me de B zout.
É é è é é è
é é è é è é
( ) ( )
0 1
0 1
1
8
Les suites d’entiers naturels sont définies sur par:
1) D montrer parr currence que pour tout entier naturel n 3 et 2
, 2) a) Calculer le
1 1 et
de
2 3
2 1
et
n n
n n
n n
n n
x x x
y y y
x et y
é é
pgcd
x x
+ +
+
= = −
= = +
= +
ℕ
9 2002 2003
8 9 2002 2003
1
puis celui de de
Que peut on en d duire pour d’une part et, et pour d’autre part ? b) sont ils premiers entre eux
et .
et et
et pour tout entier naturel n ?
3 a)
n n
x x x
x x x
x x
é x
+
−
−
) D montrer que pour tout entier natureln , b) Exprimer en fonction de n.
c) En utilisant la congruence modulo 5, tudier suivant les valeurs de p, le reste de la division eucli
2 5
dienne de 2
n n
n
x y
é
é
−y =
par 5.
et 1 ou 5
4) On note le de pour tout entier naturel n. D montrer que l’ona : En d duire l’ensemble des entiers naturels n tels que et soient premiers entre eux
p
n n n n
n n
dn pgcd x y d d
x y
é é
= =
