Feuille 5,

Feuille 5,

Algèbre commutative

N. Perrin

À rendre le 05.03.2018 Correction le 13.03.2018

Exercice 1 (10 points) Sipgcd(m, n) = 1, montrer l’égalitéZ/nZ⊗_ZZ/mZ= 0.

Exercice 2 (10 points) SoitAun anneau, soita⊂Aun idéal et soitM un A-module. Montrer que l’on a un isomorphismeM⊗A(A/a)'M/aM. Exercice 3 (20 points, le lemme des cinq) Soit

M1 u₁ //

f₁

M2 u₂ //

f₂

M3 u₃ //

f₃

M4 u₄ //

f₄

M5 f₅

N1

v1 //N2

v2 //N3

v3 //N4

v4 //N5

un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes et tel quef1,f2,f4etf5

sont des isomorphismes. Montrer quef3 est un isomorphisme.

Exercice 4 (6×10 = 60 points) Soit kun corps et soit(e1,· · ·, en)la base canonique dekⁿ. Soitϕ:Mn(k)→kⁿ⊗kkⁿ défini par :

ϕ((ai,j)) =ϕ(A) =

n

X

i=1 n

X

j=1

ai,jei⊗ej.

1. Montrer queϕest un isomorphisme d’espaces vectoriels.

2. Soient(S₁,· · · , S_n)les colonnes de A. Montrer queϕ(A) =

n

X

j=1

S_j⊗e_j. 3. SoitAde rang1et soitS∈im(A)\ {0}. Montrer qu’il existe des scalaires (λ1,· · ·, λn)tels queSj =λjS pour toutj∈[1, n]. Montrer queϕ(A) =S⊗v,

avecv=λ1e1+· · ·+λnen.

4. Soitrle rang deAet soit (u1,· · · , ur)une base deimAl’image. Montrer qu’il existe des vecteursv1,· · ·, vr∈kⁿ tels que

ϕ(A) =

r

X

i=1

ui⊗vi.

1

5. Réciproquement, soient u1,· · ·, ur ∈kⁿ et v1,· · · , vr ∈ kⁿ des vecteurs tels que

ϕ(A) =

r

X

i=1

ui⊗vi.

Montrer queim(A)⊂ hu1,· · ·, uriet queRg(A)≤r.

6.PourT ∈kⁿ⊗kkⁿ, soit

Rg(T) = min (

r∈N

∃u1,· · ·, ur∈Rⁿ, v1,· · ·, vr∈Rⁿ avecT =

r

X

i=1

ui⊗vi

) .

Montrer queRg(ϕ(A)) = Rg(A).

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