Algèbre linéaire Feuille 26

(1)

Algèbre linéaire Feuille 26

Exercice26.1

DansE =R[X], déterminer les éléments propres des endomorphismesfetgdéfinis par :f(P(X)) =P(X+1) etg(P(X)) =P(−X).

Exercice26.2

DansC, en utilisant l’algorithme de Gauss-Jordan, déterminer le rang, la compatibilité et les éventuelles solutions du système suivant :

(S)⇐⇒











x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ =−2 7x₁+ 14x₂+ 20x₃+ 27x₄ =−13 5x1+ 10x2+ 16x3+ 19x4 =−11 3x₁+ 5x₂ + 6x₃ + 13x₄ =−3

Exercice26.3

Soitλ∈C. Déterminer l’ensemble des solutions du système de dimensionnsuivant :











x1 +λx2+· · · +λⁿ⁻¹xn = 1 λx1 +x2 +λx3+· · · +λⁿ⁻²xn =λ ..

. ...

λ^kx1 +· · · +xk+1 +λxk+2+· · · +λ^n−k−1xn =λ^k ..

. ...

λⁿ⁻¹x₁+· · · +x_n =λⁿ⁻¹

Exercice26.4

Soientf etgdeux endomorphismes d’unC-espace vectorielE.

On suppose quef ◦g= Id_E.

Montrer queg◦f est un projecteur et déterminer son noyau et son image.

Exercice26.5

SoitE unK-espace vectoriel de dimension pairen= 2petf ∈L(E). Établir l’équivalence des trois proposi- tions :

1. f² = 0etrg(f) =p; 2. Imf = Kerf;

3. il existe une baseB deE telle que

matB(f) =

Å 0 I_p 0 0

ã

Exercice26.6

SoientEunK-espace vectoriel de dimension finien, etaetbdeux éléments deL(E). Montrer que|rg(a)− rg(b)| ≤rg(a+b)≤rg(a) + rg(b).

Exercice26.7

Soitn∈ N^∗, Eest l’ensemble des applications deRdansCqui sont de classeCⁿ, F est l’ensemble des applications polynomiales deRdansCde degré inférieur ou égal ànetG={f ∈E /∀p∈ {0, . . . , n}, f^(p)(0) = 0}.

1. Montrer queF etGsont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dansE.

Quentin De Muynck Sous licencecbea

(2)

FEUILLE XXVI - ALGÈBRE LINÉAIRE

2. Préciser ce qu’est la projection surF parallèlement àG.

Exercice26.8

NotonsEl’espace vectoriel des fonctions continues de[0,1]dansR. On fixe(x1, x2)∈[0,1]²tel quex16=x2.

Montrer queF = {f ∈ E / f(x1) = f(x2) = 0}est un sous-espace vectoriel deE et queF et R1[X]sont supplémentaires dansE.

Exercice26.9

On considère l’endomorphismeudeR[X]défini paru(P) =X(X−1)P⁰+(aX+b)P.Déterminer les éléments propres deu.

Indication: Utiliser les applications polynomiales et ramener le problème à la résolution d’une équation diffé- rentielle.

Exercice26.10

DiagonaliserA=







1 1 · · · 1

1 1 0

..

. ... ..

. 0 ...

1 1





 .

Exercice26.11

TrouverP etQinversibles telles que

à1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0

í

=P

à1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

í

Q.

Exercice26.12

1. Soit(A, B)∈ M_n(K)²avecAⁿ= 0, AB=BAetB 6= 0.Montrer querg(AB)<rg(B).

2. SoitA₁, . . . , A_nnmatrices nilpotentes deM_n(K)qui commutent deux à deux. Montrer queA₁×· · ·×A_n= 0.

Exercice26.13

On se situe dans un corpsKde caractéristique différente de 2. SoitAetB deux matrices de taillentelles que AB=−BAetA² =B² =In. Montrer queAetB sont semblables.

Exercice26.14

Soit Aune matrice carrée de taille 3 à coefficients réels. On suppose qu’il existe p ∈ N^∗ tel queA^p = 0 et A^p−1 6= 0. On noteul’endomorphisme canoniquement associé à cette matrice.

1. Soita∈R³tel queu^p−1(a)6= 0. Montrer que la famille(a, u(a), . . . , u^p−1(a))est libre.

2. Que peut-on dire dep?

3. (a) Déterminer lorsquep∈ {1,3}une matrice semblable àAdont tous les coefficients sont dans{0,1}.

(b) Montrer que lorsquep= 2, la matriceAest semblable à

Ñ 0 0 0 0 0 0 1 0 0

é .

Exercice26.15

Edésigne unK-espace vectoriel de dimension finien∈N^∗. On fixeu∈L(E)tel queu² = 0.

Montrer qu’il exister ∈Net une base deEdans laquelle la matrice deua des coefficients tous nuls saufs ceux de position(i+r, i), pour touti∈ {1, . . . , r}, qui sont égaux à 1.

Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea

(3)

Exercice26.16

Pour touti∈ {1, . . . , n}, on noteϕ_il’application deKⁿdansKdéfinie parϕ_i Öx₁

.. . x_n

è

=

i

X

k=1

x_k.

1. Montrer que(ϕ₁, . . . , ϕ_n)est une base de(Kⁿ)^∗. 2. Déterminer sa base préduale.

Exercice26.17

1. Soitnun entier naturel supérieur à 2.

Montrer que pour toute forme linéairefdeM_n(R), il existe une unique matriceAtelle que pour toute matrice M ∈ M_n(R), f(M) = Tr(AM).

2. Montrer que tout hyperplan deM_n(R)rencontre l’ensemble des matrices inversibles.

Exercice26.18

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie. Soitu∈L(E)un endomorphisme nilpotent d’indicep(c’est- à-dire queu^p= 0etu^p−1 6= 0).

Pour toutv∈L(E), on poseΦ(v) =uv−vu.

1. Montrer que, pour toutn∈Netv∈L(E), Φⁿ(v) =

n

X

k=0

Çn k

å

(−1)^ku^n−kvu^k

2. Pour touta∈L(E), montrer qu’il existeb∈L(E)tel queaba=a.

3. Montrer queΦest nilpotent et préciser son indice de nilpotence.

Exercice26.19

E et F sont deuxK-espaces vectoriels.Gest un sous-espace vectoriel deF.On suppose queE etGsont de dimensions finies. Soitu∈L(E, F).

Montrer quedim(u⁻¹(G)) = dim(E)−rg(u) + dim(Im(u)∩G).

Exercice26.20

NotonsEl’espace vectoriel des fonctions deCdansC. On rappelle quej=e^2iπ³ . PosonsF1 ={f ∈E /∀z∈ C, f(jz) =f(z)}, F₂ ={f ∈E /∀z∈C, f(jz) =jf(z)},etF₃={f ∈E /∀z∈C, f(jz) =j²f(z)}.

Montrer queE =F₁⊕F₂⊕F₃.

Exercice26.21

Soientpetqdeux projecteurs d’unK-espace vectorielE, tels quep◦q= 0.On noter =p+q−q◦p.

Montrer querest un projecteur. Déterminer le noyau et l’image der.

Exercice26.22

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finienet F un sous-espace vectoriel deE. NotonsX = {u ∈ L(E)/ F ⊆Keru}.

Montrer queXest un sous-espace vectoriel deL(E)et déterminer sa dimension.

Exercice26.23

Soitnun entier strictement positif.

On noteEl’ensemble des matricesM = (mi,j)1≤i≤n 1≤j≤n

∈ M_n(R)telles que, pour tout(i, j)∈ {1, . . . , n}², mi,j >

0et pour touti∈ {1, . . . , n},

n

X

j=1

mi,j = 1.

1. Montrer que 1 est une valeur propre pour tout élément deE.

2. Montrer que le produit de deux matrices deE est encore un élément deE.

(4)

3. Montrer que les valeurs propres des éléments deE sont toutes de module inférieur ou égal à 1.

4. Pour tout élément deE, montrer que 1 est la seule valeur propre de module 1.

Exercice26.24

Soitn∈N. Résoudre l’équationMⁿ= Å2 3

4 6 ã

, en l’inconnueM ∈ M₂(C).

Exercice26.25

Diagonaliser la matrice







0 1 0 · · · 0 1 0 1 ... ... 0 1 ... ... 0

..

. ... ... ... 1 0 · · · 0 1 0







∈ M_n(R).

Exercice26.26

SoientE unK-espace vectoriel de dimensionn∈N^∗etuun endomorphisme deE nilpotent, c’est-à-dire qu’il existek∈Ntel queu^k= 0.

Notonsp= min{k∈N/ u^k= 0}.

1. Montrer que(Ker(u^k))0≤k≤pest une suite strictement croissante de sous-espaces vectoriels deE. En déduire quep≤n.

2. Trouver une base deE dans laquelle la matrice deuest triangulaire supérieure.

3. Montrer qu’une matrice deM_n(K)est nilpotente si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux sont tous nuls.

4. Posonsd_k = dim(Ker(u^k)). Pour toutk∈Ntel que1≤k≤p−1, montrer qued_k+1−d_k≤d_k−dk−1.

Exercice26.27

DécompositionLU :

Montrer qu’une matriceM = (M_i,j)1≤i,j≤n ∈ M_n(K)se décompose sous la formeLU oùLest triangulaire inférieure inversible etUest triangulaire supérieure inversible si et seulement si pour toutk∈ {1, . . . , n}, la matrice extraite(Mi,j)1≤i,j≤k est inversible. Dans ce cas, montrer que la décompositionLU est unique si on impose aux coefficients diagonaux deLd’être tous égaux à 1.

Exercice26.28

SoitA∈ M_R(3)telle queA² = 0etA6= 0. Montrer que A est semblable àJ =

Ñ 0 0 0 1 0 0 0 0 0

é

. En déduire la dimension de{X ∈ M_R(3)/ AX+XA= 0}.

Exercice26.29

SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie et(f, g)∈L(E)². 1. Montrer querg(f+g)≤rg(f) + rg(g).

2. Montrer querg(f+g) = rg(f) + rg(g)si et seulement siIm(f)∩Im(g) ={0}etE = Ker(f) + Ker(g).