Feuille 10,
Algèbre commutative
N. Perrin
1 À rendre le 09.04.2018 Correction le 17.04.2018
Definition 1 SoitS⊂k[x1,· · ·, xn]un sous-ensemble. On définit
V(S) ={a= (a1,· · · , an)∈kn |P(a1,· · ·, an) = 0pour toutP ∈S}.
Un tel ensemble est appelésous-ensemble algébrique dekn défini par S.
Definition 2 SoitT ⊂kn un sous-ensemble. On définit
I(T) ={P ∈k[x1,· · ·, xn]|P(a1,· · ·, an) = 0pour touta= (a1,· · ·, an)∈T}.
Un tel ensemble est appelél’idéal associé àT.
Exercice 1 (20 Points) Montrer queI(T)est bien un idéal dek[x1,· · · , xn].
Exercice 2 (20 Points) L’ensemble V = {(t,sint) ∈ A2(R) | t ∈ R} est-il algébrique ?
Exercice 3 (2×10 = 20 Points) SoitV =A2(R)\ {(0,0)}.
1. DéterminerI(V)etV(I(V)).
2. L’ensembleV est-il algébrique ?
Exercice 4 (5×4 = 20 Points) SoitT ⊂kn etS⊂k[x1,· · · , xn]etI= (S) l’idéal engendré parS.
1. Montrer queV(S) =V(I).
2. Montrer queT ⊂V(I(T)).
3. Montrer queI⊂I(V(I)).
4. Montrer queI(V) =I(V(I(V))).
5. Montrer queV(I) =V(I(V(I))).
Exercice 5 (2×10 = 20 Points) SoientI= (X2+Y2, XY3)etJ = (X2, Y3).
1. DéterminerV(I)etV(J).
2. DéterminerI(V(I))et I(V(J)).
1
