Feuille 2,
Algèbre commutative
N. Perrin
À rendre le 05.02.2018 Correction le 06.02.2018
Exercice 1 (20 Points) Soitx∈Anilpotent ety∈Ainversible. Montrer que x+y est inversible.
Exercice 2 (20 + 2×10 = 40 Points) SoitAun anneau, on considèreA[X]
l’anneau des polynomes à coefficients dansA. Soit P=a0+a1X+· · ·+anXn∈A[X].
Montrer que
1.P est inversible ⇔a0est inversible etai est nilpotent pouri >0.
2.P est nilpotent ⇔ai est nilpotent pour touti≥0.
3.P est diviseur de zéro⇔il existeb∈A, b6= 0avecbP = 0.
Exercice 3 (2×10 = 20 Points) SoitAun anneau.
1. Montrer quen(A) ={x∈A|xnilpotent} est un idéal et que le quotient A/n(A)n’a pas d’élément nilpotent.
2. Montrer l’équivalence : (a)Aa un unique idéal premier.
(b) un élémentx∈A est soit inversible soit nilpotent.
(c)A/n(A)est un corps.
Exercice 4 (2×10 = 20 Points) SoitAun anneau et soit
Σ={a⊂A|a est un idéal dont tous les éléments sont des diviseurs de zéro}.
1. Montrer queΣa un élément maximal.
2. Montrer que les éléments maximaux deΣ sont des idéaux premiers et que l’ensemble{x∈A|xdiviseur de zéro} est une union d’idéaux premiers..
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