Algèbre commutative et géométrie algébrique Bernard Le Stum (13 mars 2020)

Algèbre commutative et géométrie algébrique

Bernard Le Stum (13 mars 2020)

TEX à partir du modèle Legrand Orange Book Copyright c 2020 Bernard Le Stum

Première édition : 1993

Table des matières

Introduction

0 Préliminaires

0.1 Géométrie linéaire 7

0.2 Topologie générale 8

0.3 Anneaux de Polynômes 10

0.4 Anneaux factoriels 13

0.5 Résultants 15

0.6 Bases de Gröbner 17

0.7 Complément sur les idéaux 21

0.8 Algèbres de type fini 22

0.9 Anneaux locaux 23

0.10 Compléments d’algèbre linéaire 26

1 Ensembles algébriques

1.1 Zéros de polynômes 29

1.2 Ensembles algébriques affines 32

1.3 Fonctions polynomiales 34

1.4 Topologie de Zariski 37

1.5 Ensembles algébriques irréductibles 39

1.6 Exercices 41

2 Anneaux de fonctions

2.1 Idéal de définition 55

2.2 Anneau de coordonnées 57

2.3 Applications polynomiales et homomorphismes d’anneaux 61

2.4 Composantes irréductibles 66

2.5 Fonctions rationnelles 68

2.6 Exercices 73

3 Courbes algébriques planes

3.1 Le théorème des zéros de Hilbert 83

3.2 Passage du local au global 85

3.3 Courbes planes généralisées 89

3.4 Multiplicité d’intersection 96

3.5 Tangentes 101

3.6 Exercices 107

Références

Introduction

Il s’agit du cours d’Algèbre commutative et géométrie algébrique proposé en première année du Master de Mathématiques de l’Université de Rennes 1. Le chapitre zéro, dans lequel on rappelle certaines notions de base sur la géométrie affine, la topologie générale, les polynômes et leur manipulation ainsi que les anneaux et idéaux, sera supposé connu, et servira surtout de référence. Un certain nombre de notions et de résultats auront été couverts par Felix Ulmer dans la première partie du cours et ne seront pas redémontrés. Pour des raisons de volume, les notions projectives ne seront pas abordées en cours et ne seront pas présentées ici dans une première rédaction.

Soit F ∈R[X]de degré d etN le nombre de solutions, éventuellement infini, de l’équation

a ∈R, F(a) = 0.

On sait que N est fini si F 6= 0 et qu’alors N ≤ d. En fait, on a N =d si on tient compte

1. des solutions imaginaires, 2. des multiplicités.

Soient maintenant F, G∈R[X, Y]de degré d et erespectivement et N le nombre de solutions, éventuellement infini, du système d’équations

(a, b)∈R,

F(a, b) = 0 G(a, b) = 0

Nous allons montrer queN est fini lorsque F etGsont premiers entre eux et qu’alors N ≤d×e. En fait, on aN =d×e si on tient compte

1. des solutions imaginaires,

2. des multiplicités, 3. des points à l’infini.

Afin de démontrer ce théorème, il est nécessaire de développer la théorie des équations polynomiales, c’est à dire la géométrie algébrique affine sur un corps k (infini). De plus, il faut définir et étudier la notion de multiplicité (invariant numérique), ce qui se fait par l’intermédiaire de la notion d’anneau local en un point (invariant algébrique). Enfin, puisqu’il faut aussi donner un sens à la notion de point

à l’infini, il faudrait développer la géométrie algébrique projective.

Dans le chapitre zéro, nous rappelons quelques notions de base de géométrie linéaire, de topologie générale et d’algèbre commutative. Dans le chapitre un, nous développons la théorie jusqu’au point ou l’algèbre commutative devient indispensable.

Dans le chapitre deux, nous établissons le lien entre les notions introduites précé- demment et l’algèbre commutative. Dans le chapitre trois, nous nous concentrons sur les courbes algébriques planes définies sur un corps algébriquement clos.

L’essentiel de ce cours est directement inspiré de livre de Wiliam Fulton : « Alge- braic Curves » ([Ful89]). Une partie des exercices proviennent de ce livre, du livre

« Algebraic Geometry » de Robin Hartshorne ([Har77]) et plus généralement des différents ouvrages d’introduction à la géométrie algébrique que j’ai pu rencontrer.

Pour aller plus loin, l’étudiant pourra avantageusement se tourner vers le livre de Qing Liu intitulé « Algebraic Geometry and Arithmetic Curves » ([Liu02]). Enfin ce manuscrit est dédié à Laurent Moret-Bailly et Pierre Berthelot qui m’ont précédé il y a déjà quelque temps dans l’enseignement de ce cours.

0. Préliminaires

Les notions de bases concertant les ensembles, les groupes, les anneaux ainsi que les espaces vectoriels (définitions et propriétés élémentaires) sont supposées connues.

0.1 Géométrie linéaire

On fixe un corps de base k.

Définition 0.1.1 Un espace affine de dimension n ∈N sur k est un ensemble non videE muni d’une application

−

→E ×E →E, (→−u , P)7→P +−→u ,

où−→

E est un espace vectoriel de dimension n, appelé espace directeur, telle que 1. ∀P ∈E, P +−→

0 =P, 2. ∀P ∈E,−→u ,−→v ∈−→

E , P + (−→u +−→v) = (P +−→u) +−→v, 3. ∀P, Q∈E,∃!−→

P Q∈−→

E , Q=P +−→

P Q.

Les éléments de E sont des points. On dit que E est unedroite affine (resp. un plan affine) si −→

E est une droite vectorielle (resp. un plan vectoriel).

Remarques 1. Plus précisément, un espace affine est un ensembleE muni d’une action simplement transitive (du groupe additif) de −→

E ou encore un espace principal homogène ou un torseur sous −→

E.

2. Tout espace vectoriel de dimension finie E peut être (et sera) vu comme un espace affine via l’addition

E×E →E, (x, y)7→x+y.

On dira alors que 0 est l’origine et on le désignera volontiers par la lettreO lorsqu’on utilise les lettres P, Q, . . . pour désigner les points.

Définition 0.1.2 Un sous-ensembleF d’un espace affineE est unsous-espace affine s’il existe P ∈F tel que

−

→F :={−→

P Q, Q∈F}

soit un sous-espace vectoriel de E. On dit hyperplan affine si−→

F est un hyperplan vectoriel.

Remarques 1. La propriété est alors satisfaite pour tout P ∈F, l’espace −→ F ne dépend pas du choix de P, et F est naturellement un espace affine d’espace directeur −→

F.

2. Toute intersection non vide de sous-espaces affines est un sous-espace affine.

3. Tout sous-espace affine est une intersection finie d’hyperplans affines.

4. Si E est un espace vectoriel, alors les sous espaces affines de E passant par O sont exactement les sous-espaces vectoriels de E.

Définition 0.1.3 Une application ϕ:E →F entre deux espaces affines est affine s’il existe P ∈E tel que l’application

−

→ϕ :−→ E →−→

F , −→u 7→−−−−−−−−−−→

ϕ(P)ϕ(P +−→u)

soit linéaire. On dit que f est une forme affine surE lorsque F =k.

Remarques 1. La propriété est alors satisfaite pour toutP ∈E et −→ϕ ne dépend pas du choix de P.

2. Si u∈E, la translation P 7→P +u est une application affine.

3. Si E et F sont deux espaces vectoriels, les applications affines qui préservent l’origine sont exactement les applications linéaires.

4. Si ψ : F → G est une autre application affine, alors ψ ◦ ϕ est affine et

−−−→ψ ◦ϕ=−→ ψ ◦ −→ϕ.

5. Si ϕest affine et bijective, alors ϕ⁻¹ est aussi affine et −−→

ϕ⁻¹ =−→ϕ⁻¹.

6. Une partie H de E est un hyperplan affine si et seulement s’il existe une forme affine non constante f :E →k telle que H :=f⁻¹(0).

0.2 Topologie générale

Définition 0.2.1 Un espace topologique est un ensemble V muni d’une famille U de parties, dites ouvertes, qui est stable par union quelconque et intersection finie.

Le complémentaire d’une partie ouverte est unepartie fermée.

Remarque Automatiquement, V et ∅ sont à la fois ouvert et fermé comme inter- section et union vide, respectivement.

Définition 0.2.2 SiV est un espace topologique etA ⊂V, alors latopologie induite sur A est celle pour laquelle les ouverts sont lesA∩U, avec U ouvert dansV. On dit alors que A est un sous-espace topologique de V. L’adhérence de A dansV est le plus petit fermé de V contenant A. Lorsque l’adhérence est égale à V, on dit

0.2 Topologie générale 9 que A estdense dans V.

Remarques Soit A une partie d’un espace topologique V.

1. La famille desA∩U, avec U ouvert dans V définit bien une topologie sur A.

2. L’adhérence deAdansV existe toujours car toute intersection fermés est fermé.

3. A est dense dans V si et seulement si tout ouvert non vide de V rencontreA.

Définition 0.2.3 Une application ϕ:V →W entre deux espaces topologiques est continue si l’image réciproque d’un ouvert (ou d’un fermé) est ouverte (ou fermée).

C’est un homéomorphisme si elle est bijective et si la bijection réciproque est continue. Elle est ouverte (resp.fermée) si l’image d’un ouvert est ouvert (resp.

fermé est fermé). Elle estdominante si imϕest dense dans W.

Remarques 1. La composée de deux applications continues est continue.

2. Une application bijective continue est un homéomorphisme si et seulement si elle est ouverte si et seulement si elle est fermée (ce qui n’est pas automatique).

Définition 0.2.4 Un espace topologique est irréductible s’il est non vide et possède l’une des propriétés équivalentes suivantes :

1. On ne peux pas l’écrire comme union de deux fermés propres, 2. Tout ouvert non vide est dense.

Remarques 1. Ces propriétés sont bien équivalentes.

2. Une partie A d’un espace topologique V est irréductible (pour la topologie induite) si et seulement si chaque fois que A ⊂F₁∪F₂ avecF₁, F₂ fermés dans V, on aA⊂F₁ ouA⊂F₂.

3. L’image d’un irréductible par une application continue est irréductible

4. L’adhérence d’un irréductible est irréductible. Tout ouvert non vide d’un irréductible est irréductible.

5. Un espace topologique V est connexe si les seuls ouverts fermés de V sont ∅et V (on ne peut pas écrire V comme union de deux ouverts disjoints non vides).

Un espace irréductible est automatiquement connexe (mais la réciproque n’est pas vraie en général).

Définition 0.2.5 Une composante irréductible d’un espace topologique V est une partie qui est maximale pour l’irréductibilité.

Remarques 1. Une composante irréductible est nécessairement fermée.

2. Toute partie irréductible de V est contenue dans une composante irréductible (lemme de Zorn).

3. V est réunion de ses composantes irréductibles.

4. On appelle aussi composante connexe une partie qui est maximale pour la connexité.

Définition 0.2.6 Un espace topologique est noethérien si toute famille non vide de fermés (resp. d’ouverts) contient un élément minimal (resp. maximal), ou, de manière équivalente, si toute suite décroissante de fermés (resp. croissante d’ouverts) est stationnaire.

Remarques 1. Ces quatre propriétés sont bien équivalentes (lemme de Zorn).

2. Un sous-espace non vide d’un espace noethérien est noethérien.

Proposition 0.2.7 Un espace topologique noethérien V possède un nombre fini de composantes irréductibles.

Démonstration. On peut supposerV non vide. On considère la famille des fermés non vides de V qui ne sont pas réunion finie de fermés irréductibles. Si cette famille est non vide, elle possède un plus petit élément W. Par construction,W est non vide et n’est pas irréductible. On peut donc écrireW =W1∪W2 ouW1 etW2 sont des fermés propres (nécessairement non vides). Par minimalité de W, on peut écrire W₁ etW₂ comme union finie de fermés irréductibles est il en va donc nécessairement de même deW. Contradiction. Cela montre que tout fermé non vide de V est réunion finie d’irréductibles et il en va en particulier deV. On peut donc écrire V =∪^r_i=1V_i avec V_i irréductible. SiA est une composante irréductible de V, on aura nécessairement

A⊂Vi pour un iet donc A=Vi.

0.3 Anneaux de Polynômes

Tous les anneaux considérés sont commutatifs et unitaires et on fixe un tel anneau R.

Définition 0.3.1 Une R-algèbre est un anneau A muni d’une loi externe R×A→A, (c, f)7→cf

telle que

1. ∀f ∈A, 1_Rf =f,

2. ∀c1, c2 ∈R,∀f ∈A, (c1+c2)f =c1f+c2f, 3. ∀c₁, c₂ ∈R,∀f ∈A, (c₁c₂)f =c₁(c₂f).

Un morphisme de R-algèbres ϕ:A→B est un morphisme d’anneaux tel que

∀c∈R,∀f ∈A, ϕ(cf) = cϕ(f).

Remarques 1. Il suffit de vérifier les conditions lorsque f = 1_A et celles ci signifient tout simplement que l’application R →A, c7→c1_A est un morphisme d’anneaux.

2. Alternativement, on peut voir une R-algèbre comme un R-module A muni d’une multiplication A×A→A qui est R-bilinéaire et qui en fait un anneau.

0.3 Anneaux de Polynômes 11

Définition 0.3.2 On désigne par X_i :Nⁿ→R l’application (d₁, . . . , d_n)7→

1si ∀j = 1, . . . , n, d_i =δ_ij, 0sinon,

et on dit queR[X₁, . . . , X_n] :=R^(Nn)est l’anneau des polynômes enn variables sur R. Unmonôme (resp. terme) de degré d est un élément de la forme X₁^d1. . . X_n^dn (resp. cX₁^d1. . . X_n^dn) avec d=d₁ +· · ·+d_n (resp. et c∈R, le coefficient).

Remarques 1. Dans l’énoncé, δ_ij désigne le symbole de Kronecker δ_ij =

1si i=j, 0sinon.

2. On précise les notations utilisées : si E et F sont deux ensembles, on désigne par F^E l’ensemble de toutes les applications de E dansF. Si M est un groupe abélien, on désigne par M^(E) ⊂ M^E l’ensemble des applications à support fini (presque toujours nulles). L’ensemble M^E (resp. R^E) est naturellement un groupe (resp. une R-algèbre) et M^(E) (resp. R^(E)) est un sous-groupe (resp.

une sous-algèbre).

3. Les monômes forment une base de R[X1, . . . , Xn] : tout polynôme s’écrit de manière unique comme somme (finie) de termes (distincts) :

F =X

c_d1,...,dnX^d1. . . X^dn.

Proposition 0.3.3 Étant donné une R-algèbre A et f₁, . . . , f_n ∈ A, il existe un unique homomorphisme de R-algèbres

R[X1, . . . , Xn]→A, Xi 7→fi. Démonstration.

[. . .]

Remarques 1. On désignera parF(f₁, . . . , f_n) l’image de F dans A (attention

au conflit de notation avec la définition d’un polynôme). On aura donc F(f1, . . . , fn) = X

cd1,...,dnf^d1. . . f^dn. 2. On dispose d’un isomorphisme canonique

R[X1, . . . , Xn]'R[X1, . . . , Xn−1][Xn] qui nous permet d’identifier ces deux anneaux.

3. L’application canonique

R[X₁, . . . , X_n]→A^An, F 7→((f₁, . . . , f_n)7→F(f₁, . . . , f_n)) est un homomorphisme de R-algèbres.

4. Soient F ∈ R[X₁, . . . , X_n], E un ensemble quelconque, A une R-algèbre, u₁, . . . , u_n:E →A des applications et P ∈E. On a alors

F(u₁, . . . , u_n)(P) = F(u₁(P), . . . , u_n(P)).

5. Si F ∈ R[X₁, . . . , X_n], u : A → B est un homomorphisme de R-algèbre et f1, . . . , fn ∈A, alors

F(u(f₁), . . . , u(f_n)) =u(F(f₁, . . . , f_n)).

6. Soit k un corps infini.

(a) Si F ∈k[X₁, . . . , X_n], alors

F = 0⇔ ∀a₁, . . . , a_n∈k, F(a₁, . . . , a_n) = 0.

(b) On obtient une application injective k[X₁, . . . , X_n],→k^kn (qui permet de voir un polynôme comme une fonction).

Définition 0.3.4 Si F est un polynôme, alors le degré deg(F) (resp. la valuation val(F)) de F est le plus grand (resp. plus petit) degré des termes apparaissant dans l’écriture de F. On dit que F est homogène si val(F) = deg(F). La partie homogène de de degré d deF est la somme des termes de degré d dans F. SiF est un polynôme de degréd en une seule variable X, soncoefficient dominant est le coefficient de X^d. On dit que F est unitaire si son coefficient dominant vaut un.

Remarque 1. deg(0) =−∞ etdeg(1) = 0 (resp. val(0) = +∞ et val(1) = 0).

2. ∀F, G∈R[X1, . . . , Xn],deg(F+G)≤max(deg(F),deg(G))(resp. val(F+G)≥ min(val(F),val(G))).

3. ∀F, G∈R[X₁, . . . , X_n],deg(F G)≤deg(F)+deg(G)(resp. val(F G)≤val(F)+

val(G)) avec égalité si R est intègre.

Définition 0.3.5 Le polynôme dérivé deF =Pd

k=0a_kX^k ∈R[X] est F⁰ := dF

dX :=

d

X

k=1

ka_kX^k−1

Remarques 1. On a

(a) ∀F, G∈R[X],(F +G)⁰ =F⁰+G⁰, (b) ∀F, G∈R[X],(F G)⁰ =F⁰G+F G⁰,

(c) ∀f ∈R, f⁰ = 0.

2. Si F ∈R[X, Y], alors d²F

dXdY = d²F dYdX.

3. Si F ∈R[X₁, . . . , X_n], A est uneR-algèbre et G₁, . . . , G_n∈A[X], alors dF(G₁, . . . , G_n)

dX =

n

X

i=1

dF

dX_i(G₁, . . . , G_n)dG_i dX.

0.4 Anneaux factoriels 13 4. Laformule de Taylor en deux variables sur un corps k dit que, sous l’hypothèse

N < p lorsque car(k) =p > 0, on a pour F ∈k[X, Y], F ≡ X

k<N

1 k!

X

i+j=k

k i

d^kF

dXⁱdY^j(a, b)(X−a)ⁱ(Y −b)^j mod (X−a, Y −b)^N.

0.4 Anneaux factoriels

On fixe toujours un anneau de base R (que l’on peut supposer intègre si on préfère).

Proposition 0.4.1— division euclidienne. Si F ∈R[X] est unitaire de degré d et R[X]_<d désigne l’ensemble des polynômes de degré strictement inférieur à d, alors l’application composée

R[X]_<d ,→R[X]R[X]/(F) est bijective.

Démonstration. Supposons queG= F QdansR[X]avecG6= 0, alors nécessairement Q6= 0, et puisque F est unitaire, on aura

deg(G) = deg(F) + deg(Q)≥deg(F) = d.

Cela montre que l’application est injective (elle est additive et son noyau est nul).

Réciproquement, si on se donneG∈R[X], on sait qu’il existe Q, H ∈R[X]tels que G= F Q+H. Il suffit de prendreQ= 0etH = G. Pour conclure, il suffit de montrer que si on choisit H de plus bas degré r, alors nécessairement r < d. Dans le cas contraire, sicdésigne le coefficient dominant de H et qu’on poseH₁ :=H−cX^d−rF, on a deg(H1)< r et G=F Q1+H1 avec Q1 :=Q+cX^d−r. Remarques 1. La proposition est valide plus généralement si le coefficient domi-

nant de F est inversible, c’est à dire tout simplement siF est non nul lorsque R =K est un corps.

2. La condition signifie bien que si G∈R[X], il existe un unique H ∈R[X](le reste) tel que G=F Q+H avec Q∈R[X] (aussi unique et appelé quotient) et degH < d.

3. Le reste définit une section de l’application quotient (un système de représen- tants).

4. Comme conséquence, on peut montrer par récurrence que si k est un corps et a₁, . . . , a_n ∈ k, alors (X₁ − a₁, . . . , X_n − a_n) est un idéal maximal de k[X₁, . . . , X_n], et

k[X₁, . . . , X_n]/(X₁−a₁, . . . , X_n−a_n)'k.

Définition 0.4.2 Soit A un anneau intègre.

1. L’anneau A est principal si tout idéal est principal (c’est à dire monogène).

2. Deux éléments a, bde A sont étrangers (resp.premiers entre eux) si pour

tout idéal (resp. idéal principal) I, on a a, b∈I ⇒I =R.

Remarques 1. Si K est un corps, alors K[X] est un anneau principal (division euclidienne).

2. Des éléments étrangers sont toujours premiers entre eux et les deux conditions sont équivalentes si A un anneau principal (mais pas en général : X, Y sont premiers entre eux mais pas étrangers dans k[X, Y]).

3. Les éléments a et b sont étrangers si et seulement si l’identité de Bézout est satisfaite : ∃u, v ∈A, au+bv= 1.

4. Les éléments a et b sont premiers entre eux si et seulement si tout facteur commun est inversible (on rappelle que c est un facteur de a si c |a, ce qui signifie que (c)⊃(a)).

5. Les définitions d’éléments étrangers ou premiers entre eux se généralisent immédiatement au cas d’un nombre quelconque d’éléments.

Définition 0.4.3 Soit A un anneau intègre.

1. Un élément non nul p de A est irréductible (resp.premier) si l’idéal (p) est maximal parmi les idéaux principaux propres de A (resp. est premier).

2. L’anneau A est factoriel s’il existe une partie P ⊂A telle que l’application N^(P) →(A\ {0})/A^×, X

p∈P

v_pp7→ Y

p∈P

p^vp

est bijective.

Remarques 1. Dire que p est irréductible (resp. premier) signifie que p 6= 0, p /∈A^×, et quep=abimpliquea ∈A^× ou b∈A^× (resp. et que p|abimplique p|a ou p|b).

2. On a désigné par N^(P) l’ensemble des sommes formelles finies d’éléments deP (c’est à dire, des applications à support fini à valeurs dans N).

3. Dire que A est factoriel signifie donc qu’il existe P ⊂A tel que tout élément non nul se met de manière unique sous la forme uQ

p∈Pp^vp avec u ∈ A^× et v_p ∈N.

4. Un élément premier est toujours irréductible. Si A est factoriel, ces conditions sont en fait équivalentes entre elles, et aussi équivalentes au fait de s’écrire (de manière unique) sous la forme upavec p∈ P et u∈A^×.

5. Un anneau principal est automatiquement factoriel.

6. SiK est un corps etF ∈K[X]est de degré 1, alorsF est irréductible. Si F est de degré deux ou trois, alors F est irréductible si et seulement siF n’a pas de racine dans K. AttentionX⁴+ 2X²+ 1 n’a pas de racine mais il est pourtant réductible sur R.

7. Si

F :=adX^d+· · ·+a1X+a0 ∈R[X]

est primitif (a₀, . . . , a_d sont premiers entre eux dans R) etF est irréductible sur le corps des fractions K de R, alors F est irréductible surR.

0.5 Résultants 15 8. Le critère d’Eisenstein dit qu’un polynômeprimitif

F :=a_dX^d+· · ·+a₁X+a₀ ∈R[X]

est irréductible s’il existe un idéal premier p⊂R tel que ad∈/ p, ad−1, . . . , a0 ∈p et a0 ∈/p².

9. Si F_d et Fd−1 sont des polynômes homogènes premiers entre eux de degrés respectifs d etd−1 sur un corpsk, alors F :=F_d+Fd−1 est irréductible.

Proposition 0.4.4 SiR est un anneau factoriel, alors R[X] aussi.

Démonstration.

[. . .]

Remarques 1. On peut être plus précis : si K désigne le corps des fractions de

R, on dispose de bijections

N^(P) '(R\ {0})/R^× et N^(Q) '(K[X]\ {0})/K[X]^×

(et on peut supposer que les éléments de Q sont primitif) qui nous fournissent N^(P∪Q)'(R[X]\ {0})/R[X]^×.

2. Cette description nous montre que si F, G ∈ R[X] sont premiers entre eux, alors F et Gsont premiers entre eux dans K[X].

3. Par récurrence, on en déduit que R[X₁, . . . , X_n] aussi est factoriel. Cela s’ap- plique en particulier lorsque R est un corps k (ou queR =Z).

0.5 Résultants

On fixe toujours un anneau commutatif R que l’on supposera toujours intègre ici.

Définition 0.5.1 Si F, G ∈ R[X] sont non nuls de degrés respectifs d, e, alors le résultant deF etG est le déterminant Res(F, G)de l’application de Sylvester

R[X]_<e⊕R[X]_<d →R[X]_<d+e, (U, V)7→U F +V G dans les bases canoniques.

Remarques 1. On prolonge cette définition au cas F = 0 mais G 6= 0 en considérant l’application nulle surR[X]<dsi bien que Res(0, b) = 1siG=b ∈R et Res(0, G) = 0 sinon (et symétriquement).

2. Si F =G = 0, on peut considérer l’application vide et on fait la convention que det(∅) = 0 si bien que Res(0,0) = 0.

3. Si F, G6= 0, alors Res(G, F) = (−1)^deRes(F, G).

4. Si c∈R etG6= 0, alors Res(cF, G) =c^eRes(F, G).

Proposition 0.5.2 On a Res(F, G) = 0 si et seulement s’il existe U ∈ R[X]_<e et V ∈R[X]_<d non nuls tels que U F +V G= 0.

Démonstration. On sait que Res(F, G) = 0si et seulement si l’application de Sylvester n’est pas injective (raisonner sur le corps de fractions de R), c’est à dire qu’il existe (U, V) ∈ R[X]_<e⊕R[X]_<d non nul tel que U F +V G = 0. Si on avait V = 0 par exemple, on aurait alors U F = 0 mais U 6= 0, si bien queF = 0. Contradiction.

Remarques 1. Le résultat est toujours valide si F = 0 etG6= 0 ou le contraire (mais pas si F =G= 0).

2. Lorsque R est factoriel, la condition est équivalente à dire que F et G ont un facteur irréductible commun (écrire U F = −V G, décomposer en produit d’irréductibles et considérer les degrés). On a donc alors

Res(F, G) = 0 ⇔deg(F ∧G)6= 0 (on a désigné par F ∧Gleur pgcd).

3. De manière équivalente, la condition de la proposition dit queF etGpossèdent une racine commune dans un anneau qui contient R (par exemple dans la clôture algébrique du corps des fractions de R).

Par définition, siF =Pd

k=0a_kX^k et G=Pe

k=0b_kX^k avec d+e >0, alors

Res(F, G) =

a_d · · · a₀ 0 · · · 0 0 . .. . .. ... ...

... . .. ... . .. 0 0 · · · 0 a_d · · · a₀ b_e · · · b₀ 0 · · · 0

0 . .. . .. ... ...

... . .. ... . .. 0 0 · · · 0 b_e · · · b₀

.

Proposition 0.5.3 Si d+e > 0, alors Res(F, G) =U F +V G avec deg(U) < d et deg(V)< e.

Démonstration. On remplace la dernière colonne parPd+e

k=1C_kX^d+e−k (ouC_k désigne lak-ième colonne) puis on développe le long de cette colonne.

Remarques 1. Principe d’élimination : Soient F, G ∈ k[X₁, . . . , X_n+1], R :=

Res_Xn+1(F, G)∈k[X₁, . . . , X_n] et α₁, . . . , α_n∈k (où k est un corps ou même un anneau quelconque). Alors

∃α_n+1 ∈R, F(α₁, . . . , α_n+1) =G(α₁, . . . , α_n+1) = 0⇒R(α₁, . . . , α_n) = 0.

2. Principe d’extension : Sik uncorps algébriquement clos et F_d(α₁, . . . , α_n)6= 0 ou G_e(α₁, . . . , α_n) 6= 0 (où F_d, G_e ∈ k[X₁, . . . , X_n] désignent les coefficients dominants de F etG respectivement), alors la réciproque est vraie.

0.6 Bases de Gröbner 17 Remarques 1. On a

Res((X−α)F, G) = G(α)Res(F, G)

(on remarque que Res(XF, G) =b₀Res(F, G) et on fait une translation).

2. On en déduit que si F =a_dQd

i=1(X−α_i), alors Res(F, G) = a^e_d

d

Y

i=1

G(α_i).

3. On en déduit ensuite que si, de plus, G=b_eQe

j=1(X−β_j), alors Res(F, G) = a^e_db^d_eY

i,j

(α_i−β_j).

Proposition 0.5.4 1. Si G=G₁G₂, alors Res(F, G) = Res(F, G₁)Res(F, G₂).

2. Si G=F Q+H avecH de degré f, alors Res(F, G) = a^e−f_d Res(F, H).

Démonstration. On peut supposer que R = k est un corps algébriquement clos et écrireF =adQd

i=1(X−αi).

1. On a

Res(F, G) =a^e_d

d

Y

i=1

G(α_i) =a^e_d¹

d

Y

i=1

G₁(α_i)a^e_d²

d

Y

i=1

G₂(α_i) =Res(F, G₁)Res(F, G₂) si G₁, G₂ sont de degrés e₁, e₂.

2. On a

Res(F, G) = a^e_d

d

Y

i=1

G(αi)) =a^e−f_d a^f_d

d

Y

i=1

H(αi) =a^e−f_d Res(F, H).

0.6 Bases de Gröbner

On fixe toujours un corps k. Pour alléger les notations, on écrit i:= (i₁, . . . , i_n)∈Nⁿ et Xⁱ :=X₁ⁱ¹. . . X_nⁱⁿ ∈k[X₁, . . . , X_n] et on écrira aussi|i|=i₁+· · ·+i_n.

Définition 0.6.1 Un bon ordre total additif sur Nⁿ est une relation ≤ qui satisfait 1. ∀i, j ∈Nⁿ, i≤j ou j ≤i,

2. ∀i, j ∈Nⁿ, i≤j et j ≤i⇒i=j, 3. ∀i, j, k ∈Nⁿ, i≤j et j ≤k⇒i≤k, 4. ∀i, j, k ∈Nⁿ, i≤j ⇒i+k≤j +k,

5. ∀i∈Nⁿ, 0≤i.

Remarques 1. On dit aussi ordre admissible.

2. Lorsque n= 1, il existe un bon unique ordre total additif.

3. Un ordre total additif est automatiquement un bon ordre : toute partie non vide possède un plus petit élément.

4. Alternativement, on diraordre total multiplicatif (ou ordre admissible ou ordre monomial) sur les monômes en posant

Xⁱ ≤X^j ⇔ i≤j.

Définition 0.6.2 On considère les ordres suivants pour lesquels on a i ≤ j si et seulement si

1. Ordre lexicographique (lex) : le premier terme non nul de j−i est positif.

2. Ordre lexicographique inverse (invlex) : le dernier terme non nul de j−iest positif.

3. Ordre lexicographique gradué (deglex) :|i|<|j|ou bien|i|=|j|et le premier terme non nul de j−i est positif.

4. Ordre lexicographique inverse gradué (degrevlex) : |i|<|j| ou bien|i|=|j|

et le dernier terme non nul dej −iest négatif (attention).

Remarque Donnons quelques exemples dans chacun des cas : 1. lex : X > Y, X > Y², XZ > Y²,

2. invlex :Y > X, Y² > X, XZ > Y², 3. deglex : X > Y, Y² > X, XZ > Y², 4. degrevlex : X > Y, Y² > X, Y² > XZ.

Jusqu’à la fin de cette section, on fixe un ordre total additif sur les exposants (ou, de manière équivalente, multiplicatif sur les monômes).

SiF ∈k[X₁, . . . , X_n]est non nul, on désigne par M(F)(resp. T(F)) le monôme (resp. le terme) dominant, c’est à dire d’ordre maximal qui apparaît dans F si bien

que T(F) =c(F)M(F) avec c(F)∈k^×. On pose M(0) = 0, T(0) = 0et c(0) = 0.

Aussi, si S ⊂k[X₁, . . . , X_n], on désigne par M(S) := {M(F), F ∈S}

(et par(M(S))l’idéal engendré).

Définition 0.6.3 1. SiF =GQ+H dansk[X₁, . . . , X_n]et M(G)Qest un terme non nul de F, on dit que F se réduit en une étape en H modulo G et on écrit F →^G H.

2. S’il existe une suite finie

F ^G→ · · ·¹ →^Gr H avec G₁, . . . , G_r ∈S ⊂k[X₁, . . . , X_n], on dit queF se réduit en H moduloS et on écrit F −→^S ₊H.

3. Si F −→^S ₊H et H n’est pas réductible en une étape modulo un élément de

0.6 Bases de Gröbner 19 S, on dit que H est uneforme normale (ou unreste) de F modulo S.

Remarques 1. On a

F −→^S +H

⇒(F ≡H mod (S)) (mais pas l’implication réciproque en général).

2. La suite vide fournit automatiquement F −→^S ₊F.

3. Il existe toujours une forme normale H pour F (pas nécessairement unique en général) que l’on note parfois F^S (mais c’est un abus).

4. La dernière condition de la définition s’exprime aussi en disant qu’aucun terme non nul de H n’est multiple d’un M(G) avec G∈S ou encore que les termes non nuls de H ne sont pas dans l’idéal (M(S)).

Définition 0.6.4 Une base de Groëbner pour un idéal I est un ensemble S ⊂I tel que (M(S)) = (M(I)).

Remarques 1. La condition est équivalente à M(I) ⊂ (M(S)) et on aura au- tomatiquement I = (S). On peut donc parler de base de Groëbner sans mentionner I.

2. Il suffit en fait de montrer que∀F ∈I,∃G∈S, M(G)|M(F).

3. Toute partie de I contenant une base de Groëbner est elle même une base de Groëbner.

4. La plupart des auteurs demandent explicitement qu’une base de Groëbner soit finie.

5. Toute base de Groëbner contient une base finie (utiliser le theorème 0.8.3 ci-dessous).

6. CommeI lui même est une base de Groëbner, il existe des bases de Groëbner finies pour I.

Théoreme 0.6.5 Si S est une base de Groëbner pour un idéal I, alors tout F ∈ k[X₁, . . . , X_n] possède une unique forme normale F^S relativement à S. De plus, F^S ne dépend que de F modI.

Démonstration. Soient F1, F2 ∈k[X1, . . . , Xn]tels queF1 ≡F2 mod I. SiH1 et H2

sont des formes normales pour F₁ et F₂ respectivement, alors F₁ ≡ H₁ modI et F₁ ≡H₂ modI. On a donc H :=H₂−H₁ ∈I si bien que M(H)∈M(I)⊂(M(S)) (puisqueS est une base de Groëbner). MaisH est nécessairement une forme normale, cela implique que M(H) = 0 et donc que H = 0, puis finalement que H₁ =H₂. Remarques 1. En d’autres termes, la forme normale définit une section de

l’application quotient (c’est à dire un système de représentants).

2. On notera que F^S ne dépend que deI et pas de S : en effet, l’existence d’une réduction en une étape ne dépend que de l’idéal (M(S)).

3. Si G6= 0 alors S := {G} est automatiquement une base de Groëbner. Si de plus n= 1, alors F^S est tout simplement le reste dans la division euclidienne de F par G.

Corollaire 0.6.6 Si I est un idéal de k[X₁, . . . , X_n], alors l’application quotient induit une bijection entre le sous-espace vectoriel engendré par les monômesXⁱ qui ne sont pas dans (M(I))et k[X₁, . . . , X_n]/I.

Démonstration. En effet, cet espace est exactement l’ensemble de toutes les formes

normales.

Remarque Les conditions suivantes sont équivalentes : 1. dimk[X₁, . . . , X_n]/I <∞,

2. ∃N ∈N, (X1, . . . , Xn)^N ⊂(M(I)), 3. ∀i= 1, . . . , n,∃N_i ∈N, X_i^Ni ∈(M(I)).

Lorsque S est une base de Groëbner pour I, c’est aussi équivalent à

∀i= 1, . . . , n,∃G_i ∈S,∃N_i ∈N, M(G_i) =X_i^Ni.

Théoreme 0.6.7 — Bushberger. Une partie S ⊂ k[X₁, . . . , X_n] est une base de Groëbner si et seulement si

∀G₁, G₂ ∈S, M(G₁)∨M(G₂)

M(G₁) G₁− M(G₁)∨M(G₂)

M(G₂) G₂ −→^S ₊ 0.

Démonstration.

[· · ·]

Remarques 1. On a désigné par M ∨N le ppcm de M et de N.

2. Le polynôme qui apparait dans le théorème est ce qu’on appelle le S-polynôme associé à G1 et G2.

3. L’algorithme de Buchberger transforme un ensemble quelconque de générateurs en une base de Groëbner : on rajoute les formes normales des S-polynômes si nécessaire et on recommence.

4. Grace au théorème 0.8.3 encore, l’algorithme de Bushberger transforme un ensemble fini de générateurs en base de Groëbner finie.

5. Une base de Groëbner S estréduite si pour tout G∈S, on a (a) le terme d’ordre maximal de G a pour coefficient un, (b) G est une forme normale relativement àS\ {G}.

6. Tout idéal I possède une unique base de Groëbner réduite S.

Proposition 0.6.8 SiS est une base de Groëbner deI ⊂k[X₁, . . . , X_n]pour l’ordre invlex et m ≤ n, alors S ∩ k[X₁, . . . , X_m] est une base de Groëbner de I ∩

k[X₁, . . . , X_m].

Démonstration. Supposons que F ∈ I ∩k[X1, . . . , Xm]. Puisque F ∈ I et que S est une base de Groëbner, il existe G ∈ S tel que M(G) | M(F). Or M(F) ∈ k[X₁, . . . , X_m] et donc obligatoirement M(G)∈k[X₁, . . . , X_m]. Pour l’ordre invlex, ça implique queG∈k[X1, . . . , Xm] si bien queG∈S∩k[X1, . . . , Xm].

0.7 Complément sur les idéaux 21 Remarques 1. En particulier, on voit que S ∩k[X₁, . . . , X_m] est un système générateur de I∩k[X₁, . . . , X_m] (ce qui est faux lorsqueS n’est pas nécessaire- ment une base de Groëbner pour invlex : prendre S={X+Y, Y} ⊂k[X, Y] par exemple).

2. Si F, G ∈ I, alors Res_Xn(F, G) ∈ I ∩k[X₁, . . . , X_n−1] mais ce n’est pas né- cessairement un générateur quand {F, G} est une base de Groëbner pour I : Res_Y(X, Y²) =X² 6=X.

3. Si I₀ etI₁ sont deux idéaux d’un anneauA et I :=I₀T +I₁(1−T)⊂A[T]

(idéal engendré) alorsI₀∩I₁ =I∩A. Cela fournit une méthode pour déterminer I₀∩I₁ lorsque A=k[T₁, . . . , T_n].

0.7 Complément sur les idéaux

On rappelle que tous les anneaux sont supposés commutatifs (et unitaires).

Définition 0.7.1 Le radical d’un idéal I d’un anneau A est

√

I :={f ∈A,∃n∈N, fⁿ ∈I}.

L’idéal I estradiciel siI =√

I. L’anneau A est réduit si

∀f ∈A,∀n ∈N, fⁿ= 0 ⇒f = 0.

Remarques 1. √

I est le plus petit idéal radiciel de A qui contient I.

2. On a toujours √

IJ =√

I∩J =√ I∩√

J. Remarques Soit I un idéal d’un anneauA.

1. Si π : A A/I désigne l’application quotient, alors π⁻¹ et π induisent une bijection entre les idéaux de A contenant I et les idéaux de A/I.

2. Si J est autre un idéal de A, on a un isomorphisme A/(I+J)'(A/I)/π(J).

3. L’idéal π(J)est radiciel, (resp. premier, resp. maximal) si et seulement si I+J l’est. En particulier, I est un idéal radiciel, (resp. premier, resp. maximal) si et seulement si A est réduit (resp. intègre, resp. un corps). En effet, A est réduit (resp. intègre, resp. un corps) si et seulement si {0} est un idéal radiciel, (resp.

premier, resp. maximal).

Définition 0.7.2 Deux idéaux I etJ d’un anneau A sontétrangers siI +J =A.

Remarques 1. Si I etJ sont étrangers, alorsI^m et Jⁿ sont aussi étrangers.

2. Si m et n sont deux idéaux maximaux distincts d’un anneau A, alorsm et n sont étrangers.

3. Deux éléments f et g sont étrangers si et seulement si les idéaux (f) et (g) sont étrangers.

4. La définition se généralise immédiatement à un nombre fini d’idéaux et on peut voir que I₁, . . . , I_r sont étrangers si et seulement si I₁ +· · ·+Ir−1 et I_r sont étrangers.

Théoreme 0.7.3— du reste « chinois ». SiI₁, . . . , I_n sont des idéaux d’un anneau A qui sont étrangers deux à deux, alors I := Qn

k=1Ik = Tn

k=1Ik et on a un isomorphisme canonique

A/I '

n

Y

k=1

A/I_k, f mod I ↔(f mod I_k)ⁿ_k=1.

Démonstration.

[. . .]

Remarque Si on demande seulement que I ⊃Qn

k=1I_k, on aura A/I '

n

Y

k=1

A/(I +I_k).

0.8 Algèbres de type fini

Définition 0.8.1 Un anneau est noethérien s’il satisfait les conditions équivalentes suivantes :

1. Tout famille non vide d’idéaux contient un élément maximal, 2. Toute suite croissante d’idéaux est stationnaire.

Remarques 1. Ces conditions sont bien équivalentes.

2. Une autre condition équivalente est que toute famille non vide d’idéaux contient un élément maximal.

3. Un quotient d’un anneau noethérien est toujours noethérien.

Définition 0.8.2 Une R-algèbre est de type fini si elle est isomorphe à un quotient d’un anneau de polynômes sur R.

Théoreme 0.8.3— de la base de Hilbert. Toute algèbre de type fini sur un anneau noethérien est un anneau noethérien.

Démonstration. Il suffit de montrer que si R est noethérien, alors R[X] aussi. Si I ⊂ R[X] et d ∈ N, alors on désigne par c_d(I) ⊂ R l’ensemble des coefficients dominants des polynômes de degréd de I. SiI est un idéal, alors {c_d(I)}d∈N est une suite croissante d’idéaux de R. De plus, si I ⊂J, alors cd(I)⊂cd(J) et on dispose du critère suivant :

I =J ⇔ ∀d ∈N,cd(I) = cd(J).

0.9 Anneaux locaux 23 Ce critère se démontre aisément par récurrence sur le degré. Pour conclure, on se donne une suite croissante {I_k}_k∈N d’idéaux de R[X] et on considère la famille {c_d(I_k)}d,k∈N d’idéaux de R. Puisque R est noethérien, il existe D, K ∈Ntels que c_D(I_K) soit maximal, c’est à dire c_D(I_K) = c_d(I_k) si k ≥K et d ≥D. D’un autre coté, il existe aussi pouri∈Nfixé, un entier N_i tel que c_i(I_Ni) = c_i(I_k)pourk ≥N_i. Si on poseN = max(K,maxi≤DN_i), on aura alors pour tout i∈N,c_i(I_N) = c_i(I_k)

lorsque k≥N. Et donc I_N =I_k pour k≥N.

Théoreme 0.8.4— de normalisation de Noether. Si A est une k-algèbre de type fini sur un corps k, alors il existe un morphisme de k-algèbres injectif et fini

ι:k[X₁, . . . , X_d],→A.

Démonstration.

[. . .]

Remarques 1. Fini signifie qu’il existef₁, . . . , f_r ∈Atel que toutf ∈As’écrive

f =Pr

i=1ι(G_i)f_i avec G₁, . . . , G_r ∈k[X₁, . . . , X_d].

2. Le théorème repose sur le lemme de normalisation de Noether qui dit que si F ∈k[X₁, . . . , X_n], il existe un automorphisme de ϕde k[X₁, . . . , X_n] tel que le coefficient dominant de ϕ(F) enX_n soit constant.

3. On peut supposer que ϕest un changement de variables linéaire sur k[Xn] que l’on peut même prendre de la forme X_i 7→X_i−X_n^mi avecm_i ∈N.

4. Lorsque k est infini, on peut aussi faire un changement de variable plutôt sympathique de la forme Xi 7→Xi−ciXn avecci ∈k.

Théoreme 0.8.5 — des zéros de Hilbert (version algébrique). Si k est un corps, toute extension de corps de k qui est de type fini sur k est nécessairement (de dimension) finie sur k.

Démonstration.

[. . .]

0.9 Anneaux locaux

Définition 0.9.1 Un anneau A est local s’il satisfait les propriétés équivalentes suivantes :

1. A possède un unique idéal maximal m_A, 2. A\A^× est un idéal de A.

On dit alors que k(A) :=A/m_A est le corps résiduel de A. Un homomorphisme d’anneaux locaux ϕ:A→B est local siϕ(m_A)⊂m_B.

Remarques 1. Ces propriétés sont bien équivalentes et on a m_A=A\A^×. 2. Soit A un anneauintègre de corps de fraction K etp un idéal maximal deA

(ce qui suit se généralise à un un anneau quelconque et un idéal premier), (a) Si on pose

A_p :=

f

g ∈K, g /∈p

et pA_p :=

f

g ∈K, f ∈p, g /∈p

,

alors, Ap est un anneau local d’idéal maximal pAp et de corps résiduel A/p.

(b) Si I est un idéal de A, alors l’idéal de A_p engendré par I est IA_p :=

f

g ∈K, f ∈I, g /∈p

et, si J est un autre idéal de A, on a (IA_p)(J A_p) = (IJ)A_p. (c) Si J ⊂A_p, est un idéal, alors J =IA_p avecI =J ∩A.

(d) Si A est noethérien, alorsA_p aussi.

3. Soit u:A→B un homomorphisme de k-algèbres intègres de type fini etq un idéal maximal de B (se généralise aussi à des anneaux quelconques et idéaux premiers).

(a) p:=u⁻¹(q)est un idéal maximal deAet use prolonge de manière unique en un homomorphisme local u_q :A_p→B_q.

(b) Si uest injectif, surjectif ou bijectif, il en va de même de u_q.

4. La localisation commute aux quotients : si on se donne un anneau intègre A, un idéal maximal p ⊂ A et un idéal premier I ⊂ A, et si on pose A = A/I, alors

p:={f , f ∈p} ⊂A

est un idéal maximal et on a un isomorphisme canonique A_p/IA_p 'A/A_p. Théoreme 0.9.2— de Krull. SiA est un anneau local noethérien, alors

\

n∈N

mⁿ_A={0}

Démonstration.

[. . .]

Remarque Lorsque Aest un anneau local noethérienintègre, alors pour toutn∈N, on a mⁿ⁺¹_A (mⁿ_A.

0.9 Anneaux locaux 25 Définition 0.9.3 Une valuation discrète sur un corps K est une application surjec- tive

v :K →Z∪ {∞}

telle que

1. ∀f ∈K, v(f) =∞ ⇔f = 0, 2. ∀f, g∈K, v(f g) =v(f) +v(g),

3. ∀f, g∈K, v(f+g)≥min(v(f), v(g)).

On dit que l est uneuniformisante si v(l) = 1 et que A:={f ∈K, v(f)≥0}

est l’anneau de valuation de K.

Remarques 1. Pour tout n ∈Z, on a posé

n+∞=∞+n=∞+∞=∞ et n < ∞.

2. v induit un morphisme de groupes K^× →Z.

3. A est un anneau local d’idéal maximal m_A:={f ∈K, v(f)>0}, et on a

A^×={f ∈K, v(f) = 0}.

4. ∀f ∈A,∀n∈N, v(f)≥n⇔f ∈mⁿ_A.

5. SiA est unek-algèbre et si l’application composée k→A→k(A)est bijective, alors

∀f ∈A, v(f) = dimA/f.

Proposition 0.9.4 Pour un anneauA, les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. A est un anneau de valuation discrète,

2. A est un anneau factoriel ayant, à multiplication près par un inversible, un unique élément irréductible,

3. A est un anneau local principal (intègre),

4. A est un anneau local noethérien intègre etdim_k(A)mA/m²_A= 1.

Démonstration. On, peut déjà remarquer que, dans les quatre cas,A est un anneau local intègre. De plus, on peut chaque fois se donner unl∈Adéfini par une condition précise : dans le cas, 1), c’est la conditionv(l) = 1, dans le cas 2), c’est la condition l irréductible, dans le cas 3), c’est la condition m_A = (l) et dans le cas 4) c’est la conditionl 6= 0, oùl désigne la classe de l ∈m_Amodulo m²_A. Nous allons montrer au passage que ces différentes conditions sont toutes équivalentes.

— (1 ⇒ 2) : Si f = ulⁿ avec u ∈ A^× et n ∈ N, on a v(f) = v(u) +nv(l) et donc nécessairement n= v(f) (carv(u) = 0), et aussi u=f /lⁿ. D’où l’unicité.

Réciproquement, si f ∈A\ {0}et v(f) =n, on poseu= f /lⁿ∈K. On a alors v(u) = 0 et donc u∈A\m_A=A^×.

— (2⇒3) : Les seuls idéaux deA sont les (lⁿ) avec n∈N.

— (3⇒4) : Un anneau principal est bien sûr noethérien et on sait aussi que les idéaux de A sont les mⁿ_A = (lⁿ) avec n ∈ N. Vérifions que l est une base de mA/m²_A : puisque l /∈ m²_A, on a bien l 6= 0, et si f ∈ mA, alors f = gl avec g ∈A et alors f =gl.

— (4⇒1) : On vérifie d’abord par récurrence sur n que mⁿ_A/mⁿ⁺¹_A est engendré comme espace vectoriel par la classe lⁿ delⁿ, c’est à dire que mⁿ_A = (lⁿ) +mⁿ⁺¹_A . Pour n = 1, c’est notre hypothèse et en général, on aura

mⁿ⁺¹_A = (lⁿ) +mⁿ⁺¹_A

(l) +m²_A

= (lⁿ⁺¹) +mⁿ⁺²_A .

On montre ensuite que lⁿ6= 0: sinon, on aurait mⁿ_A=mⁿ⁺¹_A , ce qui contredirait le théorème de Krull 0.9.2. On voit donc que mⁿ_A/mⁿ⁺¹_A est une droite engendrée par lⁿ. On définit ensuite une valuation sur A, que l’on prolongera plus tard au corps de fraction K de A, en posant

v(f) = sup{n∈N, f ∈mⁿ_A} ∈N∪ {∞}.

Montrons que les trois conditions pour être une valuation sont bien satisfaites.

La condition 1) résulte du théorème de Krull 0.9.2. La condition 2) signifie que l’application bilinéaire

mⁿ_A/mⁿ⁺¹_A ×m^m_A/m^m+1_A →m^m+n_A /m^m+n+1_A

induite par la multiplication estintègredans le sens ouf g= 0⇔f = 0oug = 0.

Or ceci et clair puisque ces trois espaces vectoriels sont les droites engendrées respectivement par lⁿ, l^m et l^m+n. La condition 3) résulte du fait que sin ≤m, alors mⁿ_A+m^m_A = mⁿ_A. Enfin, on a v(lⁿ) = n, ce qui montre que v est bien surjective. On prolonge la valuation à K en posant v(f /g) = v(f)−v(g) si f, g ∈A avec g 6= 0. Il faut s’assurer que cette définition est indépendante des choix et qu’on obtient bien une valuation, mais c’est automatique.

0.10 Compléments d’algèbre linéaire

On fixe un corps de base k.

Définition 0.10.1 Unesuite est une suite d’applications linéaires

· · · −→Ei−1 di−1

−→E_i −→^di E_i+1 −→ · · · . La suite est uncomplexe si

∀i∈Z, im(d_i−1)⊂ker(d_i).

0.10 Compléments d’algèbre linéaire 27 La suite est exacte en E_i si im(di−1) = ker(d_i). Une suite exacte est une suite qui est exacte en tous les E_i.

Remarques 1. Alternativement, dire que E• est un complexe signifie que pour tout i∈Z, on a d_i◦di−1 = 0.

2. Lorsqu’on écrit pas Ei, on sous-entend que Ei = 0 (et donc aussi quedi = 0et di−1 = 0.

3. Une suite E →^f F est exacte en E (resp. exacte en F, resp. exacte) si et seulement si f est injective (resp. surjective, resp. bijective).

4. Une suite exacte courte est une suite exacte de la forme E⁰ →E →E⁰⁰ mais on écrit traditionellement

0−→E⁰ −→^ι E −→^π E⁰⁰ −→0.

Cela signifie que ι est injective, π est surjective et imι= kerπ.

5. Sif :E →F est une application linéraire, on dispose d’une suite exacte courte 0→kerf →E →imf →0

(et aussi

0→imf →F →cokerf →0).

Proposition 0.10.2 Si E• est une suite exacte, alors X

i pair

dimE_i = X

i impair

dimE_i.

Plus précisément, si E• est un complexe exact en Ei pouri pair, alors X

i pair

dimE_i ≤ X

i impair

dimE_i

(et inversement).

Démonstration. Il suffit de montrer la seconde assertion et le cas impair résulte du cas pair en faisant le changement d’indicei7→i+ 1. On suppose donc que E• est un complexe qui est exact enE_i pouri pair et on applique le théorème du rang

X

i pair

dimE_i = X

i pair

dim kerd_i+ dim imd_i

≤ X

i pair

dim imdi−1+ dim ker d_i+1

= X

i impair

dim imd_i + dim ker d_i

= X

i impair

dimEi.

Remarques 1. Dans le cas d’une application injective (resp. surjective, resp.

bijective) E →F, cela signifie que dimE ≤dimF (resp. dimE ≥dimF, resp.

dimE = dimF).

2. Dans le cas d’une suite exacte courte 0→E⁰ →E →E⁰⁰ →0,

on trouve

dimE = dimE⁰+ dimE⁰⁰.

3. Si on applique ça à un morphisme f, on retrouve le théorème du rang.

1. Ensembles algébriques

On fixe un corps infini (même si cette hypothèse n’est pas nécessaire au début) k ainsi que, la plupart du temps, un entier naturel n, et parfois aussi un autre entier naturelm.

1.1 Zéros de polynômes

Définition 1.1.1 L’espace affine de dimension n sur k est l’ensemble Aⁿ(k) :=kⁿ. La droite affine est A¹(k)et le plan affine est A²(k). Si S ⊂k[X₁, . . . , X_n], le lieu d’annulation oulieu des zéros de S dans Aⁿ(k) est

V(S) :={P ∈Aⁿ(k), ∀F ∈S, F(P) = 0}.

On écrira plus simplement V(F₁, . . . , F_r) :=V({F₁, . . . , F_r}) et on négligera en général d’écrire les parenthèses intérieures.

Proposition 1.1.2 1. V(1) =∅ et V(0) =Aⁿ(k).

2. Si {S_α}α∈Λ est un ensemble de parties de k[X₁, . . . , X_n], alors

∩_αV(S_α) =V(∪_αS_α).

3. Si S, T ⊂k[X₁, . . . , X_n], alors V(S)∪V(T) =V(ST).

4. Si S ⊂T ⊂k[X₁, . . . , X_n], alors V(T)⊂V(S).

Démonstration. 1. Puisqu’un polynôme constant non nul ne s’annule jamais, on a bien V(1) =∅. Et puisque le polynôme nul s’annule toujours, on a V(0) = Aⁿ(k).

2. On a

P ∈ ∩_αV(S_α)⇔ ∀α ∈Λ, P ∈V(S_α)

⇔ ∀α ∈Λ,∀F ∈S_α, F(P) = 0

⇔ ∀F ∈ ∪_αS_α, F(P) = 0

⇔P ∈V(∪_αS_α).

3. On a

P /∈V(S)∪V(T)⇔P /∈V(S)et P /∈V(T)

⇔ ∃F ∈S, F(P)6= 0 et∃G∈T, G(P)6= 0

⇔ ∃F ∈S, G∈T,(F G)(P) =F(P)G(P)6= 0

⇔P /∈V(ST).

4. SiP ∈V(T)etF ∈S, alorsF ∈T et doncF(P) = 0si bien queP ∈V(S).

Remarque On a en fait V(F) =Aⁿ(k)⇔F = 0 : en effet, siF(P) = 0 pour tout P ∈Aⁿ(k), alors F = 0 puisque k est infini.

Proposition 1.1.3 Si F, G∈k[X, Y] sont premiers entre eux, alors V(F, G) est fini.

Démonstration. On note V =V(F, G)et on applique le théorème de Bézout à F et G dans k(X)[Y] qui est un anneau principal. Puisque F et G sont premiers entre euxk[X, Y], ils le sont aussi dans k(X)[Y]. Ils sont donc étrangers dans cet anneau.

Il existe alors A, B ∈ k(X)[Y] tels que AF + BG = 1. En d’autres termes, on peut donc trouverR ∈k[X] non nul et A, B ∈ k[X, Y] tels que AF +BG=R. Si P = (a, b)∈V, on a doncR(a) =A(P)F(P) +B(P)G(P) = 0si bien que a∈V(R).

On donc V ⊂V(R)×A¹(k) et V(R)est un ensemble fini car R6= 0. De même, on auraV ⊂A¹(k)×V(S)avec V(S) fini et donc finalement V ⊂V(R)×V(S)qui est

fini.

Remarques 1. Dans cette démonstration, on peut avantageusement remplacerR par le résultant de F et G enY afin d’obtenir une version explicite du résultat.

Cela fournit un algorithme très simple pour trouver les points d’intersection : on calcule les résultants de F et G par rapport à Y et à X, ce qui nous donne des candidats pour les abscisses et pour les ordonnées des points d’intersection et il suffit de tester si ces points annulent bien F et G.

Voici l’implementation en Sage : def intersection_points(F,G):

H=gcd(F,G) if H != 1:

print ’the curve’,H,’=0’

else:

Rx=F.resultant(G,x)

Or=Rx.univariate_polynomial().roots(multiplicities=false)

1.1 Zéros de polynômes 31

Ry=F.resultant(G,y)

Ab=Ry.univariate_polynomial().roots(multiplicities=false) In =[]

for a in Ab:

for b in Or:

if F(a,b)==0 and G(a,b) == 0:

In = In + [(a,b)]

return In

2. On peut aussi utiliser les résultants pour trouver une équation d’une courbe paramétrée : Soient f, g ∈k[t] et

S :={(f(t), g(t)) :t∈k} ⊂A²(k).

Si

F := Rest(f(t)−X, g(t)−Y),

alors S ⊂V(F) avec égalité sik est algébriquement clos et S n’est pas réduit à un point.

3. On remarquera que, dans la démonstration de la proposition, tout repose sur la propriété suivante

∀F ∈k[X], F 6= 0⇔V(F) fini.

4. Cela peut sembler un peu snob d’écrire Aⁿ(k)au lieu de kⁿ. Il y a (au moins) deux raisons pour cela. La première est que nous ne nous intéressons qu’à l’ensemble sous-jacent à kⁿ (sans structure algébrique ou topologique). La seconde est que la théorie dispose d’un analogue projectif en remplaçant l’espace affine Aⁿ(k)par l’espace projectif Pⁿ(k) (ensemble des droites vectorielles de kⁿ⁺¹).

Exemple On cherche l’intersection des deux coniques d’équationsX²+ 2Y²−3 = 0 etX²+XY +Y²−3 = 0 dans le plan réel. En d’autres termes, on veut résoudre dans R le système

X²+ 2Y²−3 = 0 X²+XY +Y²−3 = 0.

En retranchant une des équations de l’autre, on peut la remplacer parY(X−Y) = 0 et on obtient

Y = 0

X²−3 = 0 ou

X−Y = 0 3(X²−1) = 0.

On trouve donc les quatre points de coordonnées(√

3,0),(−√

3,0),(1,1),(−1,−1) (voir figure 1.1).