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Travaux Pratiques Algèbre Commutative et Géométrie Algébrique I. Résultants et bases de Gröbner

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Academic year: 2021

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Travaux Pratiques

Algèbre Commutative et Géométrie Algébrique I. Résultants et bases de Gröbner

Bernard Le Stum 25 janvier 2021

On s’interéresse au système

"

x2`3y2´4“0 x2`xy`2y2´4“0 et on noteraF :x2`3y2´4 et G“x2`xy`2y2 ´4.

1. Résoudre le système (à la main).

2. Déterminer les résultants en x et en y de F et G.

3. Retrouver (à la main) les solutions du système.

4. Automatiser cette seconde question.

5. En déduire un programme qui prend en entrée deux polynômesF etGet donne en sortie l’ensemble des solutions (rationnelles) du systèmeFpx, yq “Gpx, yq “ 0.

6. L’appliquer à notre système.

7. Déterminer une base de Gröbner de l’idéal engendré parF etG pourinvlex.

8. En déduire (à la main) les solutions de notre système.

9. Automatiser cette seconde question.

10. En déduire un autre programme qui prend en entrée deux polynômes F et G et donne en sortie l’ensemble des solutions (rationnelles) du système Fpx, yq “ Gpx, yq “0.

11. L’appliquer aussi à notre système afin de retrouver nos solutions.

12. Résoudre (dansQ) le système

"

x2`y2`x3`y3 “0 x3`y3´2xy“0 en utilisant l’un ou l’autre des programmes.

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