La dimension d'une Algèbre Commutative engendrée par trois matrices (problème de Gerstenhaber)

(1)

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par trois matrices (problème de Gerstenhaber)

Patrick Teller

To cite this version:

Patrick Teller. La dimension d’une Algèbre Commutative engendrée par trois matrices (problème de

Gerstenhaber). 2021. �hal-02385584v9�

(2)

PATRICK TELLER

Résumé.

Il est bien connu que la dimension de l'algèbre (unitaire) engendrée par deux matrices (A,B) 2M

n

(C)

²

telles que AB=BA est inférieure ou égale à n et ce résultat a reçu de nombreuses et diverses démonstrations, les unes directes, les autres s'appuyant sur l'irréductibilité de la variété des couples de matrices commutantes ([1],[3],[4]).

Le fait que la variété des triplets de matrices commutantes n'est en général pas irréductible ([4],[6],[9]) a empêché d'étendre le résultat aux tri- plets de matrices et, par ailleurs, on sait aussi que le résultat est faux dans le cas de k-uplets de matrices commutantes pour k>3.

Le cas k=3 reste donc le seul à être ouvert.

Des résutats concernant k=3 ont été établis au moyen de lirréductibilité de la variété des paires de matrices commutantes appartenant au commutant d'une matrice 3-régulière [7], [8 ].; le cas d'une matrice 4-régulière restant ouvert, tandis que cette direction est fermée pour les cas de matrices r-régu- lières pour r>4. [9 ].

On trouvera ici une autre approche du problème enteprise dans le cadre de la forme de Weyr (comme dans [6]) et avant tout le cas de trois matrices (W,A,B) où W est une matrice de Weyr nilpotente.

On introduira la notion de matrices fractales pour décrire le commutant d'une matrice de Weyr.

Le schéma suivi s'inspire des démonstrations du cas de deux matrices: on

établit d'abord le résultat lorsque l'une des matrices est une matrice de

Weyr et l'une des deux autres possède un bloc directeur cyclique (ou 1-régu- lière, non derogatory en anglais), à partir de l'étude de la codimension de W C[W ; A; B] dans C[W ; A; B].

Puis le résultat est étendu au cas général grâce à la densité de la variété des couples de matrices fractales à bloc directeur cyclique dans la variété des couples de matrices fractales.

L'usage fulgurant de la Géométrie Algébrique ayant apparemment atteint ses limites, on trouvera ici un travail plus laborieux, mais peut-être indispen- sable.

(première mise en ligne 07/2019), dernière version 04/04/2021

,

(3)

1. Matrices de Weyr

On trouvera ici un rappel des déﬁnitions et résultats élémentaires concernant les matrices de Weyr; les constructions et démonstrations peuvent être trouvées dans l'article d'Helen Shapiro [10] et le livre de Kevin O' Meara [6].

Déﬁnition 1.

La matrice de Weyr associée à une partition (décroissante) (z

1

,..,z

t1

) de n On appelle matrice de Weyr nilpotente associée à une partition (décroissante au sens large) (z

1

,..,z

t₁

) de n la matrice déﬁnie par blocs comme suit:

W=(W

i; j

) où le bloc W

i;j

appartient à M

^zi;zj

(C); 8 i 2 f 1; :::; t

1

¡ 1 g W

i;i+1

=

0 B BB BB BB BB B@

1 0 ::: 0 0 1 ::: :::

::: ::: ::: :::

::: ::: ::: 1 0 0 ::: 0

1 C CC CC CC CC CA

=

^I^zi+1

0

!

2 M

^zi;zi+1

(K ) et, si j = / i + 1, W

i; j

= 0; d'où

W=

0 B BB BB BB BB BB B@

0 W1;2 0 0 ::: :::0 0 0 W2;3 0 ::: ::::

::: ::: ::: ::: :::: 0 ::: ::: ::: ::: ::: W_zt_1¡1_;;zt₁

0 ::: ::: ::: ::: 0

1 C CC CC CC CC CC CA

: W est appelée la matrice de Weyr associée à la partition (z

1

,..,z

t1

).

Théorème 2.

Toute matrice nilpotente M 2M

ⁿ

(C) est semblable à une unique matrice de Weyr nilpotente W.

Théorème 3.

Toute matrice M 2M

ⁿ

(C) est semblable (de manière unique, à l'ordre près) à une matrice en blocs de Weyr

₀

BB B BB B@

1I+W1 0 :::: 0

0 2I+W2 ::::

:::: 0 :::: 0

0 :::: 0 _rI+W_r 1 CC C CC

CA

, où les W

i

sont des matrices de Weyr nilpo- tentes.

L'intérêt des matrices de Weyr par rapport aux matrices de Jordan est que la gestion du commutant d'une matrice de Weyr est plus aisée, comme le prouvent les Théorèmes 4 et 10.

Théorème 4.

Le commutant de la matrice de Weyr nilpotente W(z

1

,..,z

t1

)

(par la suite on écrira W lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguité sur la partition concernée)

Soit W=(W

i; j

) une matrice de Weyr nilpotente et une matrice A=(A

i; j

), AW=WA si et seulement si

1. 8 (i; j ), i > j = ) A

i; j

= 0

2

(4)

2. 8 (i; j ); i 6 j = ) A

i; j

=

^A^{i+1; j+1}₀

!

(que l'on peut écrire

^t

W

i;i+1

A

i;j

W

j ; j+1

=A

i+1;j+1

).

Une telle matrice sera dite fractale de partition (z

1

,..,z

t1

).

Le résultat suivant sera d'une grande utilité dans le paragraphe 8:

Théorème 5. (désigné sous le titre lemme 1.7 dans [7]

Soient deux matrices (A,B) 2M

ⁿ

(K)

²

telles que AB=BA l'ensemble des matrices C 2M

ⁿ

(K) est un sous-espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à n.

Déﬁnition 6. (quelques)

i) Soit A=(A

i; j

) une matrice fractaleOn appellera bande supérieure la matrice (A

_1;1

; A

_1;2

; ::::; A

_1;t₁

); une matrice fractale est déterminée par sa bande supé- rieure.

ii) On appellera bloc directeur le bloc A

1;1

.

iii) On désignera par F(z

1

,..,z

t1

) (ou simplement F lorsqu'il ne peut y avoir d'ambiguité sur la partition) l'ensemble des matrices fractales de partition (z

1

,..,z

t1

).

iv) On appellera Algèbre Fractale toute sous-Algèbre commutative de F.

Lemme 7. (extension du Théorème 4)

Soit une matrice fractale M alors 8 ( j ; k) 2 f 1; ::::; n g ; j 6 k = ) M

j ;k

=

t

( Q

u=1 j¡1

W

u;u+1

)M

_1;k¡j+1

Q

u=k¡j+1 k¡1

W

u;u+1

. Si on désigne par Z

p; q

le produit Q

u=p

q¡1

W

u;u+1

la formule devient M

j ;k

=

t

Z

1;j

M

1;k¡j+1

Z

k¡j+1;k

Voici un premier exemple de matrice fractale

M=

0 B BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

a b d p u g i z l dd A 0 c e q v h j zz m ee B 0 0 f r w 0 k aa n ff C 0 0 0 s x 0 0 bb 0 gg D 0 0 0 t y 0 0 cc 0 hh E 0 0 0 0 0 a b d g i l 0 0 0 0 0 0 c e h j m 0 0 0 0 0 0 0 f 0 k n 0 0 0 0 0 0 0 0 a b g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c h 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a

1 C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

est une matrice fractale; elle est triangu-

laire supérieure par blocs, les tailles des blocs sont

0 B BB BB B@

55 53 52 51 nulle 33 32 31 nulle nulle 22 21 nulle nulle nulle 11

1 C CC CC CA

et, si on les note (M

_ij

)

(i;j)2f1:::4g²

on voit que chaque bloc M

ij

contient une copie de son successeur en diagonale M

i+1j+1

.

2. Quelques mots sur l'algèbre F Proposition 8. L' idéal WF

L'ensemble WF = f W M; M 2 F g est un idéal (bilatère)de F :

Lorsque A et B sont deux matrices fractales commutantes W C[A;

B] est un idéal de C[A; B]:

(5)

Démonstration.

découle du fait que F est le commutant de W.

Proposition 9.

Soient deux matrices fractales commutantes A et B l'ensemble des polynomes P (X ; Y ) tels que P(A; B) 2 W C[W ; A; B] est un idéal de C[X ; Y ]:

Démonstration.

Il suﬃt de remarquer que W C[W ; A; B] est un idéal de C[W ; A; B]

Déﬁnition 10. Réduction d'ordre k d'une matrice de F(z

1

,..,z

t1

)

Soit une matrice M=(M

i;j

) de F(z

1

,..,z

t1

) on désignera sous le nom de réduite d'ordre k la matrice M

k

=(M

i; j

)

i>k; j>k

; M est elle-même la réduite d'ordre 1.

On remarquera que si k > 0,

^t

W

^k^¡¹

MW

^k^¡¹

=

⁰₀ _M⁰

k

et la réduite est une matrice fractale associée à la partition (z

k

,..,z

t

).

Théorème 11. Trigonalisation d'une matrice fractale

Toute matrice fractale est semblable à une matrice fractale et triangulaire supérieure.

De même si on considère deux matrices fractales commutantes A et B, elles sont simultanément semblables à deux matrices fractales, triangulaires supé- rieures qui commutent entre elles.

Démonstration.

Soit M=(M

i; j

)

_(i,j)2f1;:::;t₁g²

une matrice fractale; on notera pour chaque i M

i;i

=

^M^i+1;i+1₀ _M

i;i0

!

; avec M

t₁+1;t₁+1

= 0

Il existe pour tout i P

i

inversible telle que P

i¡1

M

i;i0

P

i

=T

i

est triangulaire supé- rieure, puis on pose Q

t1+1

= ? et pour i=t

1

à i=1 Q

i

=

^Qⁱ⁺¹ ⁰

0 Pi

.

On montre par une récurrence immédiate que les blocs Q

i-1

M

ii

Q

i

sont triangu- laires supérieurs et, par suite, si on désigne par Q la matrice diagonale par blocs,

Q=(Q

i

) alors Q

^¡1

MQ est triangulaire supérieure.

Par ailleurs la matrice Q est fractale donc il en est de même de Q

^¡1

MQ.

Dans le cas de deux matrices fractales A et B qui commutent entre elles il suf- fira en posant A=(A

i;j

)

(i,j)2f1;:::;t1g²

et pour chaque i A

i;i

=

^A^i+1;i+1₀ _A

i;i0

!

et B=(B

_ij

)

_(i,j)2f1;:::;t1g²

et pour chaque i B

i;i

=

^B^i+1;i+1₀ _B

i;i0

!

, sachant que A

i;i0

et B'

i;i

commutent, de choisir P

i

qui les trigonalise simultanément.

3. Le cas des matrices fractales dont le bloc directeur est cyclique

Déﬁnition 12. Matrices cycliques

Une matrice A 2M

ⁿ

(C) sera dite cyclique lorsque son polynôme minimal est égal à son polynôme caractéristique, ou bien sa forme de Jordan ne compte qu'une matrice de Jordan par valeur propre , ou bien son commutant est égal à l'Algèbre C[A] (en anglais non derogatory ).

4

(6)

Proposition 13.

Soit M une matrice fractale dont le bloc directeur est cyclique et le poly- nôme caractéristique de M

₁₁

, alors (M) appartient à WC[M ; W ]

Démonstration.

Avec les notations du paragraphe 1 l'Algèbre commutative C[W ; M ] a pour famille génératrice I ; M ; ::::M

^z¹^¡1

; W ; WM; ::::W M

^z²^¡1

; :::; W

^t¹^¡1

M

^z^t¹^¡1

([6], Théorème 5.3.1],[1]).

Par suite (M) s'écrit Q(M)+WR(M,W) où Q et R sont des polynômes et degré(Q)<z

1

.

Or le bloc directeur de (M) est nul donc il en est de même pour celui de Q(M)+WR(M,W).

Comme W possède une structure en blocs, triangulaire supérieure stricte, le bloc directeur de toute matrice de F qui est un multiple de W est nul, donc le bloc directeur de (M) est égal à Q(M)

1;1

=Q(M

1;1

).

Le polynôme minimal de la matrice M

1;1

est de degré z

1

donc le polynôme Q est divisible par un polynôme de degré z

1

alors que son degré est strictement

inférieur à z

1

: Donc Q = 0 et (M ) = WR(M,W).

Proposition 14. Soit les matrices fractales commutantes A et B dont les blocs directeurs sont cycliques alors, pour tous les couples de scalaires (r; s) tels que rA

1;1

+ sB

1;1

est cyclique

rA_1;1+sB1;1

(rA + sB) appartient à W C[W ; A; B].

Démonstration.

On applique la proposition 12 à la matrice rA+sB.

On remarquera que l'ensemble des couples de complexes (r,s) tels que rA

1;1

+ sB

1;1

est cyclique est un ouvert dense de C

²

.

4. L'idéal reducteur du couple(A,B)

Déﬁnition 15. Idéal réducteur d'un couple (A; B) de matrices fractales commu- tantes

Soit un couple (A; B) de matrices fractales commutantes on appellera idéal réducteur du couple l'idéal I(A; B) = f P (X ; Y ) 2 C[X ; Y ]; P (A; B) 2 W C[W ; A;

B] g .

D'où le diagramme commutatif

0 ¡! I(A; B)

#

¡¡ ¡¡¡¡! C[X ; Y ]

#

¡ ¡! C[X ; Y ] ,

I(A; B)

#

¡! 0

0 ¡! W C[W ; A; B] ¡! C[W ; A; B] ¡! C[W ; A; B]/W C[W ; A; B] ¡! 0 Le quotient C[W ; A; B]/W C[W ; A; B ] est canoniquement isomorphe à C[X ; Y ]/I(A; B).

Il a été établi plus haut que, dans le cas où A

1;1

et B

1;1

sont cycliques, I(A;

B) contient les polynômes

rA1;1+sB1;1

(rX + sY) pour un ouvert dense de cou-

ples de scalaires (r; s):

(7)

Donc, la codimension de W C[W ; A; B] dans C[W ; A; B] est I(A,B) est majorée par la dimension de l'anneau quotient C[X ; Y ]/<

rA1;1+sB1;1

(rX + sY );

(r; s) 2 >.

(On supposera désormais que A et B sont triangulaires comme le permet le Théorème 10)

Proposition 16.

Dans le cas où les matrices A

1;1

et de B

1;1

sont cycliques la dimension du quo- tient C[X ; Y ]/<

rA1;1+sB1;1

(rX + sY ); (r; s) 2 > est inférieure ou égale à z

1

. Démonstration. Rappelons que le commutant d'une matrice cyclique T est l'Algèbre C[T ]; par suite, si A

1;1

et B

1;1

sont cycliques et commutent et si on désigne par [a

1

; ::::; a

z1

] et [b

1

; ::::; b

z1

] les listes (ordonnées) des termes des diago- nales de A

1;1

et B

1;1

, alors 8 (i; j) 2 f 1; ::::; z

1

g

²

a

i

= a

j

() b

i

= b

j

; les couples (a

q

,b

q

) seront dits associés.

Pour chaque couple de scalaires (r,s) 2 ,

rA1;1+sB1;1

(rX + sY )= Q

q2f1;:::;z1g

(r(X ¡ a

q

) + s(Y ¡ b

q

)); l'idéal Y = <

rA1;1+sB1;1

(rX + sY ); (r;

s) 2 > est zéro-dimensionnel donc la dimension du quotient C[X ; Y ]/<

rA1;1+sB1;1

(rX + sY ); (r; s) 2 > est égale au nombre de points (comptés avec leur multiplicité) de la variété V( Y ) qu'il déﬁnit. [2]

Un point (x,y) appartient à V( Y ) si et seulement si 8 (r; s) 2 ; 9 k 2 f 1; :::; z1 g ; rx + sy = ra

k

+ sb

k

.

Soit (x,y) 2 V ( Y ) alors, en considérant le cas r=0 et s= / 0 il existe k tel que y=b

k

; de même il existe j tel que x=a

j

.

Par suite 8 (r; s) 2 ; 9 q 2 f 1; :::; z1 g ; r(a

j

¡ a

q

) = s(b

q

¡ b

k

)

Comme r et s peuvent prendre une inﬁnité de valeurs et que l'ensemble des a

q

et des b

q

est ﬁni il existe q tel que a

j

¡ a

q

= b

q

¡ b

k

= 0; donc V( Y ) est l'ensemble f (a

q

; b

q

); q = 1:::z

1

g des couples de valeurs propres associées.

La multiplicité d'un couple (a

q

; b

q

) découle directement de la factorisation de Q

q2f1;:::;z1g

(r(X ¡ a

q

) + s(Y ¡ b

q

)).

Par suite dans le cas où les deux matrices A

1;1

et B

1;1

sont cycliques le quo- tient C[X ; Y ]/<

rA1;1+sB1;1

(rX + sY ); (r; s) 2 > est de dimension inférieure ou égale à z

1

.

D'où l'inégalité demandée.

Par suite

Théorème 17.

Dans le cas où A

1;1

et B

1;1

sont cycliques dim( C[W ; A; B) 6 dim(W C[W ; A;

B])+z

1

Remarque 18.

Quitte à remplacer B par A + kB, pour un entier k bien choisi (ou plutôt pas mal choisi ), ce qui n'a pas d'influence sur C[A; B ; W ], on peut supposer lorsque A

1;1

est cyclique qu'il en est de même pour B

1;1

.

De plus il est facile de voir que si A

1;1

est cyclique il en est de même pour les A

i;i

.

Remarque 19.

6

(8)

Il aurait été souhaitable de pouvoir étendre ce résultat au cas général mais l'exemple suivant montre que c'est faux.

Exemple 20. Soient les matrices W=

0 BB B BB B@

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 CC C CC CA

; A =

0 BB B BB B@

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 CC C CC CA

; B =

0 B BB BB B@

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 C CC CC

CA

; elles commutent deux à deux.

A

1;1

= B

1;1

=

^{0 0}

0 0

ne sont pas cycliques.

On peut vériﬁer que I ; A; B appartiennent à un supplémentaire de W C[W ; A;

B] et donc dim(C[W ; A; B]/W C[W ; A; B])>2=z

1

.

5. La dimension de C[W ; A; B] lorsque A

1;1

et B

1;1

sont cycliques

Lemme 21.

Soit une matrice carrée par blocs m=

⁰₀ ^a_b

alors pour tout k 2 N; m

^k+1

= m

⁰ ⁰

0 b^k

!

Théorème 22. (Le problème de Gerstenhaber pour trois matrices dont W) Soient A et B deux matrices fractales commutantesn si A

1;1

ou B

1;1

est cyclique, dim( C [A,B,W]) 6 P

k=1::::t1

z

k

= n.

Démonstration.

On rappelle ici que si A

1;1

ou B

1;1

est cyclique on peut supposer que A

1;1

et B

1;1

le sont, dans notre étude de la dimension.

La démonstration se fera par récurrence sur t

1

.

Si t

1

= 1 le résultat est immédiat: A = A

1;1

, B = B

1;1

et W = I; il suﬃt d'invo- quer le Théorème de Gerstenhaber.

Pour la suite on se rappelle que, si les blocs directeurs de A et B sont cycli- ques, il en est de même de leurs réduites; ce qui autorise le recours à une récur- rence.

1) On admet le résultat vrai jusqu'à t

1

-1.

On pose A=

^A₀^1;1 _A^C

2

!

, B=

^B^1;1₀ _B^D

2

!

où (A

1;1

; B

1;1

) 2M

^z1

(C)

²

= M

^p

(C)

²

et

W=

⁰ ^W^1;2

0 W₂

!

, W g=(W

₁₂ _1;2

; 0; :::; 0) et W

2

=

0 BB B BB BB BB B@

0 W2;3 0 :::: 0

::: 0 W3;4 0 :::

0 ::: 0

::: :::: ::: ::: W_t_1¡1;t₁ 0 ::: ::: ::: 0

1 CC C CC CC CC CA

est aussi une matrice de Weyr de partition associée (z

2

,..,z

t

); comme A

2

,B

2

; W

2

commutent deux à deux dim(C[A

2

,B

2

,W

2

]) 6 P

k=2::::t1

z

k

par application de l'hypothèse de récurrence.

Remarquons que pour k > 0 W

^k+1

A

^q

B

^r

=

⁰ ^W^1;2⁰

0 W2

!k+1

A

^q

B

^r

=

0 W_1;2⁰ 0 W₂

! 0 0 0 W₂^k

! A_1;1^q B_1;1^r 0 A₂^qB2r

!

=

⁰ ^W^1;2⁰

0 W₂

! 0 0 0 W₂^kA₂^qB₂^r

!

=W

⁰ ⁰

0 W₂^kA₂^qB₂^r

!

.

(9)

Par suite la dimension de W C[A; B ; W ] = Vect(W

^k+1

A

^q

B

^r

; q > 0; k > 0,r > 0) est inférieure ou égale à celle de Vect(W

2k

A

₂^q

B

2r

; q > 0; k > 0,r > 0)=C[W

2

,A

2

,B

2

].

D'où la dimension de C[A; B ; W ] est inférieure ou égale à z

1

+dim(W C[A; B;

W ]) = z

1

+ P

k=2::::t1

z

k

= P

k=1::::t1

z

k

= n.

6. Sur le chemin d'une généralisation

Comme dans le cas de deux matrices, après avoir établi le résultat pour les bonnes matrices (ici les matrices fractales dont le bloc directeur est cyclique) nous allons, à partir d'un couple (A,B) de matrices fractales commutantes, construire des matrices cycliques B'

1;1

cycliques, qui commutent avec A

1;1

; et qui approchent B

1;1

; la construction suit celle de R. Guralnick [4].

Ensuite nous allons construire des matrices fractales A ~ et B ~ , qui commutent, où le bloc directeur B g

1;1

est cyclique, et qui approchent A et B.

7. l'équation de Sylvester et les matrices cycliques L'objectif de cette partie est

Proposition 23. Les polynômes en une matrice compagnon

Soit une matrice compagnon A=

0 B BB BB BB BB BB BB B@

0 ::: ¡a0

1 ::: ¡a1

0 1 ::::

: 0 : :::

0 ::: ::: ¡an¡2

::: 0 1 ¡an¡1 1 C CC CC CC CC CC CC CA

et un polynôme

P(X)=X

^r

+ P

i=0

r¡1

p

i

X

ⁱ

qui divise le polynôme minimal de A,

A

(X) i. La dimension de Ker(P(A)) est égale au degré de P (X).

ii. Si on désigne par Q(X)=X

ⁿ^¡r

+ P

j=0

n¡r¡1

q

j

X

^j

le quotient de

A

(X ) par P(X) et si on écrit P(A)=(C

1

; :::; C

n

), alors

8 j 2 f 1; :::; n ¡ r g ; C

j

= P

i=j j+r¡1

p

_i¡j

e

i

+e

j+r

8 k 2 f 1; :::; r g ; C

_n¡r+k

= ¡ P

i=0 n¡r¡1

q

i

C

i+k

. Démonstration.

Comme A est une matrice compagnon, si on note P(A)=(C

1

; :::; C

n

) alors 8 k 2 f 0; :::; n ¡ 1 g C

k+1

= AC

k

.

Il est immédiat que C

1

=

0 BB BB B BB BB BB BB BB BB BB BB B@

p0

p1

::::

pr¡1

1 0 :::

0 1 CC CC C CC CC CC CC CC CC CC CC CA

, C

2

= AC

1

=

0 BB BB B BB BB BB BB BB BB BB BB B@

0 p0

p1

::::

pr¡1

1 0 :::0

1 CC CC C CC CC CC CC CC CC CC CC CA

; ::::, jusqu'à C

n¡r

=

0 BB B BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

0 :::

0 p0

p1

::::

p_r¡1

1 1 CC C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

; par suite les colonnes C

1

; :::; C

n¡r

sont linéairement indépendantes. (*)

Nous allons montrer par récurrence que les colonnes C

n¡r+1

; :::; C

n

sont des combinaisons linéaires des colonnes C

1

; :::; C

n¡r

.

8

(10)

Si on suppose que P(X) divise

A

(X) il existe Q(X)=X

ⁿ^¡r

+ P

j=0

n¡r¡1

q

j

X

^j

tel que P(X)Q(X)=

_A

(X) et, par suite P(A)Q(A)=0, c'est à dire 8 k 2 f 1; :::; n g Q(A)P(A)(e

k

)=0.

Or P(A)(e

1

)=C

1

donc (A

ⁿ^¡^r

+ P

j=0 n¡r¡1

q

j

A

^j

)C

1

=0, d'où C

_n¡r+1

+ P

j=0

n¡r¡1

q

j

C

j+1

= 0, d'où C

n¡r+1

2 Vect(C

1

; :::; Cn ¡ r).

Si on suppose que C

n¡r+1

; :::; C

_n¡r+k

appartiennent à Vect(C

1

; :::; Cn ¡ r) alors, comme Q(A)P(A)(e

k+1

)=0 et P(A)(e

k+1

)=C

k+1

, (A

ⁿ^¡^r

+ P

j=0 n¡r¡1

q

j

A

^j

)C

k+1

=0, d'où C

n¡r+k+1

+ P

j=0 n¡r¡1

q

j

C

_j+k+1

= 0 , c'est à dire C

_n¡r+k+1

2 Vect(C

1

; :::; C

_n¡r+k

), qui est égal par hypothèse à Vect(C

1

; :::;

C

_n¡r

).

Ce qui établit les résultats annoncés.

Proposition 24. L'équation CX-XD=U

Soit n > r deux entiers naturels, (C,D) 2M

ⁿ

(C) M

^r

(C) deux matrices com- pagnons telles que

D

(X) j

C

(X )et U 2 M

^n;r

(C)

Alors

Si l'équation CX-XD=U possède des solutions il existe une solution X dont les composantes sont des combinaisons linéaires de composantes de U à coeﬃcients dans Z[d

0

; d

1

; ::::; d

r¡1

], où

D

(X) = P

i=0 r

d

i

X

ⁱ

. Démonstration.

En vectorisant selon les colonnes, c'est à dire en représentant X et U par leurs colonnes (X

1

,...,X

n

) et (C

1

,..,C

n

) l'application X 7¡! CX ¡ XD devient Vec(X ) =

(X1; X2; :;Xr)

7¡! (I

r

C ¡

^t

D I

n

)

(X1; X2; :;Xr)

; or (I

r

C ¡

^t

D I

n

)=

0 B BB BB BB BB B@

C ¡I

0 C ¡I 0 ::: :::

::: ::: ::: ::: ¡I d0I ::: ::: d_r¡1I C+d_rI

1 C CC CC CC CC CA

:

Par suite CX-XD=U <=>

8 >

> >

> <

> >

>

> >

> :

X

2

= CX

1

¡ U

1

X

3

= CX

2

¡ U

2

::::

X

r

= CX

1

¡ U

r¡1

D

(C)X

1

= U

r

.

La condition d'existence de solutions s'exprime dans la dernière équation du système, mais comme nous avons supposé cette existence, ce problème ne se pose pas; par contre, le rang de

D

(C) étant n-r, X

1

n'est pas unique.

D'après la proposition précédente on peut décomposer la matrice

D

(C) en deux blocs

D

(C)=(

D

(C)

1

;

D

(C)

₂

) où le rang de

D

(C)

1

est égal à n-r, dit plus simplement l'image de

D

(C) est engendrée par les n-r premières colonnes, donc U

r

est une combinaison linéaire des colonnes C

1

; :::; C

n¡r

de la matrice

D

(C), il existe un vecteur X

1

, dont les r dernières lignes sont nulles et qui vérifie

D

(C)

1

X

1

= U

r

; et ce vecteur est unique.

La matrice

D

(C)

1

étant une matrice de type Toeplitz

0 B BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

d0 0 ::: ::: ::: 0

d1 d0 0 :::

:::: ::: d0 :::

::: :

dr ::: 0

0 dr

::: 0 :::

::: ::: :::

0 0 d_r

1 C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

on

voit aisément que comme d

r

=1 les composantes de X

1

sont des combinaisons linéaires de celles de U

r

à coeﬃcients dans Z[d

0

; d

1

; ::::; d

r¡1

].

Il en est de même par suite des composantes de la matrice X.

(11)

On notera aussi que l'ensemble des solutions de l'équation de Sylvester CX- Xd=U est un espace aﬃne, dont la dimension est déﬁnie par le système homo-

gène 8 >

> >

> <

>

> >

> :

X

2

= CX

1

X

3

= CX

2

::::

X

r

= CX

1

D

(C)X

1

= 0

, et on sait que le noyau de

D

(C) est de dimension r.

Remarque 25.

Dans le cas où C et D sont seulement des matrices cycliques (avec

D

(X )

_j

C

(X )) on considérera P et Q telles que Q

^¡1

CQ et P

^¡1

DP soient des matrices compagnons et on remplacera X 7¡! CX ¡ XD par Q

^¡1

XP 7¡! (Q

^¡1

CQ)(Q

^¡1

XP)-(Q

^¡1

XP)(P

^¡1

DP).

Ce qui permettra de conclure que les composantes de la matrice X sont des combinaisons linéaires de celles de U à coeﬃcients dans Z[d

0

; d

1

; ::::; d

_r¡1

].

(on rappellera ici que le polynôme caractéristique est une fonction continue de la matrice).

Dans le paragraphe suivant ce résultat sera utilisé comme suit:

U sera une matrice dont la norme tend vers 0 et les deux matrices C et D tendent respectivement vers C

0

et D

0

, la matrice X, qui sera appelée la solution privilégiée de l'équation CX-XD=U tendra alors vers 0.

8. GENERALISATION

Le résultat ayant été établi dans le cas où l'un des blocs directeurs A

1;1

ou B

1;1

est cyclique, nous allons considérer le cas général en associant au couple (A,B) de matrices fractales commutantes un couple (A ~ ; B ~); de matrices fractales commutantes où le bloc directeur B ~

_1;1

est cyclique.

Lemme 26. Soit un couple de matrices fractales triangulaires commutantes (A,B), il existe une matrice b

1;1

et un réel strictement positif x

1

tels que b

1;1

commute avec A

1;1

et que 8 x 2 e 0; x

1

d ; B

1;1

+ xb

1;1

est cyclique

Démonstration. Soit un couple de matrices fractales triangulaires commutantes (A,B), il en découle que A

1;1

et B

1;1

aussi sont triangulaires et commutent.

Soit une matrice P telle que P

^¡¹

A

1;1

P est sous forme de Jordan

0 B BB BB B@

₁I+J(p₁) 0 :::: 0

0 ₂I+J(p₂) ::::

:::: 0 :::: 0

0 :::: 0 _rI+J(p_r) 1 C CC CC

CA

, où les

i

ne sont pas nécessairement dis-

tincts, on considère , comme dans [4], une matrice

1;1

=

0 BB BB B B@

1I+J(p1) 0 :::: 0

0 2I+J(p2) ::::

:::: 0 :::: 0

0 :::: 0 rI+J(pr) 1 CC CC C

CA

, où les

i

sont distincts deux à deux.

Ainsi

1;1

est cyclique et commute avec P

^¡1

A

1;1

P, d'où pour tout x la matrice M(x)=P

^¡¹

B

1;1

P+x

1;1

commute avec A

1;1

; de plus elle est cyclique sauf pour un nombre ﬁni de scalaires.

(Il suﬃt de considérer le rang de la famille (I,M(x),M(x)

²

; :::; M(x)

ⁿ^¡¹

).

10

(12)

On posera b

1;1

= P

1;1

P

^¡1

et on retiendra que b

1;1

commute avec A

1;1

et que B

1;1

+ xb

1;1

est cyclique sauf pour un nombre ﬁni de scalaires; on désignera par x

1

le plus petit réel strictement positif tel que 8 x 2 ]0; x

₁

[, B

1;1

+ xb

1;1

est

cyclique.

Proposition 27. Construction d'un couple de matrices fractales commutantes (A ~ ; B ~) induit par (A,B), tel que le bloc directeur B g

1;1

est cyclique; ce couple tend vers (A,B) lorsque x tend vers 0.

Démonstration.

Soit alors la matrice fractale B ~ , de bande supérieure (B

1;10

= B

1;1

+ xb

1;1

; B

1;2

; ::::; B

1;t1

), une matrice fractale A ~ commute avec la matrice fractale B ~ si et seulement si elle appartient au Commutateur de C[W ; B ~]; or le Commutateur de C[W ; B ~] est de dimension supérieure ou égale à n ([7] lemme 1.3 ), ce qui assure l'existence de A ~ .

Précisons au passage que, comme B g

1;1

est cyclique, il en est de même pour les B f

i;i

.

Nous poserons A ~ =A+a, où a=(a

i; j

) est une matrice fractale qui sera déter- minée par sa bande supérieure (a

1; j

; j = 1:::t

1

).

< Pour déterminer A ~ posons

i) pour tout couple (i; j) tel que i 6 j A ~

_{i; j}

=A

i;j

+ a

i; j

ii) pour tout i B f

i;i

=B

i;i

+ xb

i;i

=

^t

Z

1;i

B

1;1

Z

1;i

+

^t

Z

1;i

xb

1;1

Z

1;i

(voir lemme 7) iii) pour tout couple (i; j ) tel que i < j B g

i;j

= B

i; j

avec les relations classiques pour les matrices fractales (pour tout (i,j) a

i+1; j+1

=

^t

W

i;i+1

a

i; j

W

j ;j+1

et b

j ;j

=

^t

W

1;j

b

1;1

W

1; j

); on en retiendra que dès que a

1;u

est déterminé il en est de même pour les a

i; j

où j-i=u ¡ 1>.

Une fois posé b

1;1

tel que B g

1;1

=B

1;1

+ xb

1;1

il est nécessaire et suﬃsant que A ~ vériﬁe le système suivant:

8 j 2 f 1; ::::; t

1

g ; P

k=1:::j

(A g

1;k

B g

k;j

¡ B g

1;k

A g

k; j

)=0.

Ce qui s'écrit:

eq1: B g

1;1

.a

1;1

-a

1;1

B g

1;1

=0

eq2: B g

1;1

a

1;2

¡ a

1;2

B g

2;2

= ¡ B

1;2

a

2;2

+a

1;1

B

1;2

-xb

1;1

A

1;2

+A

1;2

xb

2;2

eq3: B g

1;1

a

1;3

¡ a

1;3

B g

3;3

= ¡ B g

1;2

a

2;3

+a

1;2

B

2;3

e ¡ B g

1;3

a

3;3

+a

1;1

B g

1;3

- xb

1;1

A

1;3

+A

1;3

xb

3;3

...

eqj: B g

1;1

a

1;j

¡ a

1;j

B g

j ;j

= ¡ B g

1;2

a

2; j

+a

1; j¡1

B

j

g

¡1;j

¡ B g

1;3

a

3; j

+a

1;j¡2

B

j¡2; j

¡ ... - B g

1;j

a

j ;j

-xb

1;1

A

1;j

+A

1; j

xb

j ;j

...

eqt

1

: B g

1;1

a

1;t1

¡ a

1;t1

B

t1;t1

= ¡ B g

1;2

a

2;t1

+a

1;t1¡1

B

t1¡1;t1

¡ B g

1;3

a

3;t1

+a

1;t1¡2

B

t1¡2;t1

¡ ... - B g

1;t1

a

t1;t1

+ a

1;t1

B g

1;t1

-xb

1;1

A

1;t1

+A

1;t1

xb

t1;t1

. Nous désignerons ce système par (S) et déterminer une stratégie de résolution.

L'ensemble des solutions de (S) est de dimension n= P

i=1

t1

z

i

(lemme 1.3, page

1,[ 7] .

(13)

La structure échelonnée de (S) conduit à considérer la suite ci-dessous:

E

0

= ?

E

1

= f a

1;1

2 M

^z1

(C); eq1 g

E

2

= f (a

1;1

; a

1;2

) 2 E

1

M

^z1;z₂

(C); eq2 g ...

E

j

= f (a

1;1

; a

1;2

; :::; a

1;j

) 2 E

j¡1

M

^z1;z_j

(C); eqj g ...

E

t1

= f (a

1;1

; a

1;2

; :::; a

1;t1

) 2 E

t1¡1

M

^z1;z_t₁

(C); eqt

1

g L'ensemble des solutions de S est égal à E

t1

.

Il a été remarqué à la ﬁn de la démonstration de la proposition 24 8 j 2 f 1; :::;

t

1

g ,dim(E

j

) 6 dim(E

j¡1

) + z

j

, par suite la dimension de l'espace aﬃne E

t1

est inférieure ou égale à n= P

i=1 t1

z

i

:

Or l'ensemble des solutions de S, c'est-à-dire le commutant de C[W ; B ~], est de dimension supérieure ou égale à n (lemme 1.3, [7]), il en découle que la dimension de l'ensemble des solutions de S est exactement n et, par suite,

1) 8 j 2 f 2; :::; t

1

g dim(E

j

) ¡ dim(E

j¡1

) = z

j

2) 8 j 2 f 2; :::; t

1

g , 8 (a

1;1

; :::; a

1;j¡1

) 2 E

j¡1

; 9 a

1; j

2 M

^z1;zj

(C); (a

1;1

; :::; a

1;j

) 2 E

j

.

Ce qui signiﬁe que, pour résoudre le système (S), il est légitime de résoudre pas à pas les équations eqj.

Posons a

1;1

=0 alors les équations se réduisent à eq2: B g

1;1

a

1;2

¡ a

1;2

B g

2;2

= x(b

1;1

A

1;2

-A

1;2

b

2;2

)

eq3: B g

1;1

a

1;3

¡ a

1;3

B g

3;3

= ¡ B g

1;2

a

2;3

+a

1;2

B

2;3

e -x(b

1;1

A

1;3

-A

1;3

b

3;3

) ...

eqj: B g

1;1

a

1;j

¡ a

1;j

B g

j ;j

= ¡ B g

1;2

a

2; j

+a

1; j¡1

B

j¡1;j

g ¡ B g

1;3

a

3; j

+a

1;j¡2

B

j¡2; j

¡ .... - x(b

1;1

A

1; j

-A

1;j

b

j ;j

)

...

eqt

1

: B g

1;1

a

1;t1

¡ a

1;t1

B

t1;t1

= ¡ B g

1;2

a

2;t1

+a

1;t1¡1

B

t1¡1;t1

¡ B g

1;3

a

3;t1

+a

1;t1¡2

B

t1¡2;t1

¡ ... + a

1;t1

B g

1;t1

-x(b

1;1

A

1;t1

-A

1;t1

b

t1;t1

).

Ces équations sont de la forme B g

1;1

X

j

-X

j

B g

j ; j

=Y

j¡1

, elles ont des solutions en vertu du lemme 1.3 de [7].

Nous allons montrer qu'il existe une solution (a

1;1

; :::; a

1;t₁

) du système (S) telle qui tend vers 0 lorsque x tend vers 0.

L'aﬃrmation est vraie pour a

1;1

=0; supposons qu'elle soit vraie pour a

1;1

; :::;

a

1; j

, alors a

1; j

est une solution de l'équation B g

1;1

a

1; j

¡ a

1; j

B g

j ; j

=

¡ B g

1;2

a

2;j

+a

1;j¡1

B

j¡1; j

g ¡ B g

1;3

a

3; j

+a

1; j¡2

B

j¡2;j

... ¡ x(b

1;1

A

1;j

-A

1; j

b

j ;j

).

On rappelle le lemme 6:u 6 v = ) a

u;v

=

t

( Q

z=1

u¡1

W

z;z+1

)a

1;v¡u+1

Q

z=v¡u+1

u

W

z;z+1

; par suite les matrices de la forme

a

i;k

qui apparaissent dans le second membre tendent vers 0 lorsque x tend vers 0, d'où le second membre tout entier tend vers 0.

Par ailleurs les coefficients du polynôme caractéristique de B g

j ; j

dépendent continument de B g

j; j

et donc de x.

12

(14)

Ce qui permet, suite à la proposition 25, de conclure que la solution privilégiée de l'équation eqj tend vers 0, nous attribuerons cette valeur à la matrice a

1;j

.

Ce qui démontre par récurrence qu'il existe pour tout x de ]0,x1[ une matrice fractale A ~ = A + (a

_ij

) qui commute avec B ~ et qui tend vers A lorsque x tend vers 0.

De son côté B g = B+x(b

ii

) tend vers B par construction.

Ce qui établit le

Théorème 28. L'ensemble des couples (A,B) de matrices fractales où B

1;1

est cyclique est dense dans la variété des couples de matrices fractales commutantes.

D'où la dimension de l'Algèbre C[A; B ; W ] est la limite de la dimension de C[A ~ ; B ~ ; W ], qui est inférieure ou égale à n (Théorème 22), donc inférieure ou égale à n.

D'où, par passage à la limite, le résultat du Théorème 22 reste vrai dans le cas homogène sans hypothèse sur les blocs directeurs A

1;1

ou B

1;1

.

ce qui conduit au

Théorème 29.

Soient A et B deux matrices fractales commutantes alors dim( C[W,A,B])6 P

k=1::::t1

z

k

= n

D'où

9. Le Théorème de Gerstenhaber pour trois matrices

Ce qui permet maintenant d'énoncer et d'établir le Théorème 30. (Le problème de Gerstenhaber)

Soient trois matrices commutantes (A,B,C) 2M

ⁿ

(C)

³

s'il existe P telle que P

^¡1

CP=

0 B BB BB B@

1I+W1 0 :::: 0

0 2I+W2 ::::

:::: 0 :::: 0

0 :::: 0 rI+Wr

1 C CC CC

CA

et q, où les matrices de Weyr W

1

; ::::; W

q

sont homogènes

et si 8 i 2 f q + 1; ::::; r g P

^¡1

A

i

P ou P

^¡1

B

i

P a un bloc directeur cyclique

La dimension de l'Algèbre engendrée par trois matrices commutantes (A,B,C) 2M

ⁿ

(C)

³

est inférieure ou égale à n.

Démonstration.

Soit trois matrices commutantes (A,B,C) 2M

n

(C)

³

, Il existe P telle que P

^¡¹

CP est de la forme

0 B BB BB B@

1I+W1 0 :::: 0

0 2I+W2 ::::

:::: 0 :::: 0

0 :::: 0 _rI+W_r 1 C CC CC

CA

où les

i

sont distincts

deux à deux.

(15)

Comme A et B commutent avec C P

^¡1

APet P

^¡1

BP commutent avec P

^¡1

CP;

et, comme les

i

sont distincts deux à deux, le Théorème de Frobenius-Ceccioni ([10]) appliqué aux couples (i + W

i

;

j

+ W

j

) entraîne qu'elles ont la même struc- ture diagonale par blocs

0 BB B BB B@

A1 0 : 0

0 ::: ::: ::::

: ::: Ar¡1 0 0 ::: 0 Ar

1 CC C CC CA

et

0 BB B BB B@

B1 0 : 0

0 ::: ::: ::::

: ::: Br¡1 0 0 ::: 0 Br

1 CC C CC

CA

et on applique le

résultat précédent à chaque triplet (Ai,Bi,Wi).

Celà résout le problème de Gerstenhaber dans le cas de trois matrices com- plexes commutantes.

Paris-Nimes, Juillet 2019, actuellement Avril 2021 Bibliographie:

[1] J. Barria and P. R. Halmos, Vector bases for two commuting matrices, Linear Multilinear Algebra 27 (1990), 147-157

[2] D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Using Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1998

[3] M. Gerstenhaber, On dominance and varieties of commuting matrices , Ann. Math., vol. 73,1961, p. 324-348

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