Université Cadi Ayyad Faculté Polydsiciplinaire de Safi
Département de Mathématiques et Informatique
=================================================
Algèbre Commutative et Applicatons
=================================================
SMA-S6
Par : Mohammed Karmouni
Année Universitaire : 2019-2020
Préface
Ce ploycopie a été écrit pour des étudiants de troisième année de Licence Fondamentale Sciences Ma- thématiques et Applications(SMA). L’objectif de ce cours est d’approfondir les notions des structures algébriques, notamment les anneaux, avoir une vision plus générale sur les espaces vectoriels à travers l’étude des modules sur un anneau tout en distinguant les particularités de chacune de ces notions et initier l’étudiant à la géométrie algébrique et topologie algébrique.
Copyright®2020 Mohammed Karmouni http://cimas.uca.ma/karmouni/karmouni.html (mohammed.karmouni@uca.ma)
3
Table des matières
1 Anneaux 7
1.1 Notion d’anneau . . . 7
1.2 Diviseurs de zéro, Eléments nilpotents, Eléments unités . . . 8
1.3 Notion d’idéaux et d’anneaux quotients . . . 9
1.3.1 Construction d’anneau quotient . . . 10
1.4 Idéaux premiers d’un anneau unitaire commutatif . . . 14
1.4.1 Opérations sur les idéaux d’un anneau . . . 14
1.4.2 Idéaux maximaux d’un anneau unitaire . . . 16
1.5 Nilradical et Radical de Jacobson . . . 17
1.6 Anneau de fraction . . . 19
2 Modules 25 2.1 Sous-Module . . . 27
2.1.1 Somme de sous-modules . . . 28
2.1.2 Somme directe de sous-modules . . . 29
2.1.3 Morphismes deA-modules . . . . 30
2.2 Produit et somme de modules . . . 32
2.3 Suites exactes deA-modules . . . . 36
2.4 A-module libre et de type fini . . . . 38
2.4.1 Module de type fini . . . 38
2.5 A-algèbre . . . 41
2.5.1 Module libre . . . 42
2.6 Modules Noethériens . . . 43
3 Introduction à la géométrie algébrique 47 3.1 Elément entier sur un anneau . . . 47
3.2 Théorème de montée . . . 49
3.3 Théorème des zéros de Hilbert . . . 50
5
CHAPITRE 1
Anneaux
1.1 Notion d’anneau
Définition 1.1. Un anneau est un ensemble non vide A muni de deux lois de composition internes, une notée additivement +et l’autre multiplicativement .telles que :
1. (A,+) est un groupe abélien.
2. .est une loi de composition interne associative dans A.
3. .est distributive par rapport à la loi+:(x+y)z=xz+yz et z(x+y) =zx+zy pour tous x, y∈A.
XSi la loi.est commutative, on dit que l’anneau A est commutatif.
XSi la loi.admet un élément neutre distinct de 0, noté 1Aou 1 s’il n’y a pas d’ambiguité, on dit que l’anneau Aest unitaire. On conveint que l’on a toujours 06= 1. Donc, un anneau unitaire a au moins deux éléments, à savoir 1 et 0.
XA est dit nul, si A={0}. Cet anneau n’est pas unitaire.
Définition 1.2. Soient (A,+, .) un anneau et B un sous ensemble non vide de A. B est dit un sous-anneau de A si(B,+, .) est un anneau. D’une autre manière :
1. (B,+) est un sous groupe de A.
2. B est stable par la multiplication : ∀x, y∈B, x.y∈B.
XSiA est un anneau unitaire, on dit que B est sous-anneau unitaire de Asi on a en oùtre 1A∈B.
XSiA est commutatif, alors tout sous-anneau de A est commutatif.
Pratiquement, pour montrer qu’un sous-ensemble non vide B d’un anneau A est un sous-anneau de A, il suffit de vérifie que : pour tous x, y∈B, on ax−y∈B etxy ∈B. Si de plus 1A∈B,B est un sous-anneau unitaire.
Exemple 1.3. 1. Z, Z/nZ,n∈N∗, Q,R et C sont des anneaux commutatifs unitaires.
2. L’anneau K[X]des polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps K est un anneau commutatif unitaire.
3. SoitAun anneau unitaire. L’ensembleMn(A) des matricesn×nà coefficients dansAmuni des régles de calcul habituelle, la somme de deux matrices et le produit des matrices est un anneau
7
unitaire. Si n>2, ou si A n’est pas commutatif, Mn(A) n’est pas commutatif.
4. Si A est un anneau, alors {0} et A lui-même sont des sous-anneau de A.
5. Z(A) = {x ∈ A, ax = xa pour tout a ∈ A} est un sous-anneau de A. Z(A) = A ⇐⇒ A est commutatif
6. Pour tout n>2, nZ={nx, x∈Z} est un sous anneau non unitaire de Z. 7. Dans F(I,R) les fonctions continues forment un sous anneau unitaire.
8. A1 et A2 étant deux anneaux, on considère l’ensemble produit direct : A1×A2={(a, b);a∈A1 et b∈A2}.
A1×A2est muni d’une structure d’anneau, grâce à l’addition et à la multiplication respectivement définies par les applications suivantes :
((x1, x2),(y1, y2))−→(x1+y1, x2+y2) ((x1, x2),(y1, y2)))−→(x1y1, x2y2).
A1×A2 est unitaire⇐⇒A1 etA2 sont unitaires.(1A1,1A2)est alors l’élément unité de l’anneau A1×A2.
Définition 1.4. Soient A et B deux anneaux. Une application ϕ : A −→ B est dite un homo- morphisme d’anneaux, et on note ϕ∈Hom(A, B), si ϕvérifie :
? ϕ(x+y) =ϕ(x) +ϕ(y) ∀x, y∈A.
? ϕ(x.y) =ϕ(x).ϕ(y) ∀x, y∈A. Si de plus,
? ϕ(1A) = 1B, on dit que ϕest un homomorphisme d’anneaux unitaires Nous avons,ϕ(0A) = 0B,ϕ(x−y) =ϕ(x)−ϕ(y) et ϕ(−x) =−ϕ(x).
Définition 1.5. On dit que ϕ ∈ Hom(A, B) est un isomorphisme d’anneaux, s’il existe g ∈ Hom(B, A) tel que g◦ϕ = idA et ϕ◦g = idB. Ce qui équivalent à ϕ ∈ Hom(A, B) et ϕ est bijectif. On note, dans ce cas, ϕ∈Iso(A, B).
A et B sont dits isomorphes, s’il existe un isomorphisme d’anneaux de l’un sur l’autre, dans ce cas, on écritA'B.
Un isomorphisme de A sur lui-même est appelé un automorphisme de A.
? ϕ∈Iso(A, B) =⇒ϕ−1 ∈Iso(B, A).
Notons parUA l’ensemble des éléments inversibles de A, qui sont aussi appelés les unités de A.
1.2 Diviseurs de zéro, Eléments nilpotents, Eléments unités
Soit Aun anneau unitaire, non nécessairement commutatif, soit x∈A.
On dit quex est inversible à gauche s’il existez∈Atel quezx= 1.
On dit quex est inversible à droite s’il existey ∈A tel quexy= 1.
On dit que x est inversible s’il est inversible à gauche et à droite, ie ∃a ∈ A tel que ax = xa = 1.
L’inverse d’un élément x deA sera notéx−1.
1.3. NOTION D’IDÉAUX ET D’ANNEAUX QUOTIENTS 9
Définition 1.6. Un corps est un anneau unitaire commutatif tel que tout élément non nul est inversible.
Remarque 1.7. 1. Dans tout anneau unitaireA, on aUA6=∅ car 1 et −1 sont dans UA. 2. UA est un groupe multiplicative.
3. UA est un groupe abélien si et seulement si A est commutatif.
4. UZ={−1,1}.
5. Si K est un corps, alorsUK=K∗.
Exercice 1.8. Montrer que Z/pZ est un corps si et seulement si p est un nombre premier.
Définition 1.9. Un élément non nul a∈A est dit un diviseur de zéro à gauche(resp. à droite) si ∃b(6= 0)∈A tel queba= 0 ( resp. ab= 0).
Dans un anneau commutatif on parlera seulement de diviseur de zéro.
Exemple 1.10. Dans Z/8Z, 2 et4 sont des diviseurs de zéro.
Notons quexinvesible implique quexn’est pas un diviseur de zéro. Donc un corps n’a pas de diviseur de zéro.
Définition 1.11. Un anneau est dit intègre s’il est non nul et sans diviseur de zéro.
On appellera domaine d’intégrité tout anneau unitaire, commutatif intègre.
Pour x ety dans un anneau intègre, on a :xy = 0 =⇒x= 0 ou y= 0.
Exemple 1.12. 1. Tout corps est un domaine d’intégrité.
2. Z/nZ est un domaine d’intégrité si et seulement si nest premier.
3. Tout domaine d’intégrité fini est un corps (Exercice).
1.3 Notion d’idéaux et d’anneaux quotients
Définition 1.13. Soient A un anneau etI un sous ensemble de A. On dit que I est un idéal à gauche (resp. à droite) deA si :
i) (I,+) est un sous groupe de A.
ii) ∀x∈I,∀a∈A, ax∈I, (resp. xa∈I) càd A.I ⊆I (resp. I.A⊆I ).
On dit queI est un idéal bilatère ou simplement un idéal deA siI est à la fois un idéal à gauche et à droite deA. Dans le cas commutatif, on parle alors tout simplement d’idéal.
Exemple 1.14. 1. {0} et A sont des idéaux deA.
2. Pour tout n∈Z, nZ est un idéal de l’anneau Z.
3. Dans l’anneau F(R,R), l’ensemble des fonctions continues qui s’annulent en0 est un idéal.
4. Soient A etB deux anneaux unitaires, ϕ∈Hom(A, B). Alors kerϕ est un idéal deA
Définition 1.15. SoitS une partie non vide d’un anneauA. On appelle idéal deAengendré par S, l’intersection de tous les idéaux de A contenant S. On notera (S), c’est le plus petit idéal de A contenant S.
1. I est un idéal principal s’il est engendré par un seul élément.
2. I est de type fini s’il est engendré par un nombre fini d’éléments.
Nous avons,
(S) ={ X
16i6n
aixibi, m∈N∗, ai, bi∈A, xi∈S}.
Définition 1.16. Un anneau unitaire commutatif A est dit principal, si tout idéal de A est principal.
On appellera domaine principal, tout domaine d’intégrité dans lequel tout idéal est principal.
Exemple 1.17. Z est un domaine principal.
1.3.1 Construction d’anneau quotient
Rappelons qu’une relationRsur un ensembleXest dite relation d’équivalence si elle est réflexive (pour tout x, xRx), symétrique (si xRy, alors yRx) et transitive (sixRy etyRz, alors xRz). L’ensemble des classes d’équivalence deX pour la relationR est noté X/R.
Soient Aun anneau et I un idéal de A. En particulierI est un sous-groupe normal puisqueA est un groupe abélien pour la somme. On peut considérer le groupe quotient A/I dont les éléments sont les classes pour la relation d’équivalenceRdéfinie par :
xRy⇐⇒x−y∈I.
On note x=x+I la classe de l’élémentx de A.
-On va munir A/I d’une structure d’anneau.
On définit sur A/I l’addition et la multiplication de la façon suivante :
(a+I) + (b+I) =a+b+I, (a+I)(b+I) =ab+I, a, b∈A.
Notons que la somme et la multiplication sont compatibles avec cette relation.
On dit queA/I est l’anneau quotient deA par l’idéalI.
Si A est unitaire, 1 +I est l’élément unité pour la multiplication pour A/I. De méme, si A est commutatif alors A/I est commutatif.
La surjection canonique π : A−→ A/I est un morphisme d’anneaux. Ce morphisme est surjectif de noyau I.
Remarque 1.18. Si I ={0}, A/(0) s’identifie à A( π(a) =apour tout a∈A).
Si I =A, A/Aest l’anneau nul, car π(a) = 0 pour tou a∈A.
1.3. NOTION D’IDÉAUX ET D’ANNEAUX QUOTIENTS 11 Lemme 1.19. Soit A un anneau commutatif unitaire.
1. Si I est un idéal de A qui contient 1, alors I =A.
2. Si I est un idéal de A qui contient un élément de UA, alors I =A.
Démonstration. Supposons que 1∈I, soita∈A,a= 1a∈I. On a alorsA⊆I, doncA=I.
SiI contienne un élémentx∈UA, alors 1 =xx−1 avec x∈I etx−1∈A, donc 1∈I. On applique 1) doncA=I.
Proposition 1.20. Si I est une partie non vide d’un anneauA. Pour que I est un idéal bilatère de A, il faut et il suffit qu’il existe un anneau A0 et un morphisme d’anneux f de A dansA0 tel que kerf =I.
Démonstration. Si A0 est un anneau et f ∈ Homm(A, A0), on a kerf est un idéal bilatère de A.
Inversement, si I est un idéal bilatère de A, en prenant A0 =A/I, on a I = kerπ, oùπ :A−→ A/I est la surjection canonique.
On a la caractérisation suivante des corps :
Proposition 1.21. Soit A un anneau unitaire commutatif. Les assertions suivantes sont équi- valentes :
i) A est un corps ;
ii) Les seuls idéaux de A sont (0) et A;
iii) Tout homomorphisme non nul d’anneaux de A −→ B est injectif, où B est un anneau quelconque.
Démonstration. i) =⇒ii), Supposons que A est un corps. SoitI un idéal deA tq I 6={0}. Montrons que I =A. En effet, I 6={0} implique qu’il existe unano nul tq a∈I ⊂A.A est un corps implique qu’il existe b∈A tqab= 1. OrI est un idéal donne 1 =ab∈I doncA=I par le lemme ??.
ii) =⇒i), Soitx∈A non nul. Montrons quex est inversible.
On a xA est un idéal non nul de A, donc A =xA, ie il existe y ∈ A non nul tq xy = 1, d’où x est inversible.
ii) =⇒iii), Soitϕ:A−→B,ϕ∈Hom(A, B). On aϕ6= 0 donc kerϕ6=A et kerϕest un idéal de A d’où kerϕ={0}.
iii) =⇒ii), Soit I un idéal de A tqI 6=A. Nous avons I ={0}. En effet, soit ϕ:A−→A/I x−→ x non nul. On a kerϕ=I etϕest injectif donc I ={0}
Théorème 1.22. Soit I un idéal bilatère d’un anneau A.
1. Tout sous-anneau(resp. idéal) deA/I est l’image parπd’un unique sous anneau(resp. idéal) contenant I. D’une autre manière, si J est un sous anneau(resp. idéal) deA/I, alors J =
π(J), où J =π−1(J)⊇I ainsi J =J/I.
2. Si F est un sous anneau(resp. idéal) de A tel que I "F, alors I+F est le plus petit sous anneau(resp. idéal) de A contenant I et π(F) = (I+F)/I.
Exemple 1.23. Pour n>2; dansN, les idéaux de Z/nZ sont les kZ/nZ tels que k|ndans N. Ce sont aussi les seuls sous anneau de Z/nZ.
L’importance de la structure d’anneau quotient vient notamment du théorème de factorisation que nous démontrons maintenant :
Théorème 1.24. Soient A et B deux anneaux et f ∈ Hom(A, B) un morphisme d’anneaux.
Si I est un idéal de A contenu dans kerf , il existe un unique homomorphisme d’anneaux fe∈ Hom(A/I, B) tel quef =fe◦π. On a le diagramme commutatif suivant : A f //
π !!
B
fe
A/I
Démonstration. Unicité, on afe(π(a)) =f(a) pour tout a∈A.
∀x ∈ A/I, x = π(a) avec a ∈ A ce qui montre l’unicité de fe: A/I −→ B. Sinon, si ∃fe1,fe2, on a fe1(x) =fe1(π(a)) =f(a) et fe2(x) =fe2(π(a)) =f(a) pour tout x∈A/I. D’où,fe1 =fe2.
Existence, soit x ∈A/I, alors il existe a ∈A tel que x =π(a). Si a0 un autre représentant de x tel quex=π(a0), alorsπ(a−a0) = 0 =⇒a−a0 ∈I. On aI ⊆kerf doncf(a−a0) = 0 =⇒f(a) =f(a0).
On peut poserfe(x) =f(a). Le résultat est indépendant de représentant choisi.
Montrons que fe est un homomorphisme d’anneaux. Comme π(0A) = 0A/I et π(1A) = 1A/I on a fe(0A/I) = 0B etfe(1A/I) = 1B.
Soient x=π(a) et y=π(b)∈A/I on ax+y=π(a+b),
fe(x+y) = fe(π(a+b)) =f(a+b)
= f(a) +f(b)
= fe(π(a)) +fe(π(b)) =fe(x) +fe(y).
etfe(xy) =f(ab) =f(a)f(b) =fe(x)fe(y). D’où, feest un homomorphisme d’anneaux.
Corollaire 1.25. – f est surjectif=⇒ feest surjectif.
– I = kerf =⇒feest injectif.
– f est surjectif et I = kerf =⇒feest isomorphisme.
Théorème 1.26. (1er Théorème d’isomorphisme)
Pour tout morphisme f d’un anneauA dans un anneauB, on a :Imf 'A/kerf.
Démonstration. Soitf1 la restriction surjectif def, définie parf1:A−→Imf,x−→f1(x) =f(x).
kerf1 = kerf, d’après le Théorème 1.24, il existe un unique morphisme fe∈Hom(A/kerf,Imf) tel que le diagramme suivant commute
1.3. NOTION D’IDÉAUX ET D’ANNEAUX QUOTIENTS 13
A π//
f1 ##
A/kerf
∃!fe
Imf Donc,fe◦π =f1.
Comme f1 est surjectif, alors fe est surjectif et kerf1 = kerf =⇒ fe injectif, par suite fe est un isomorphisme de A/kerf sur Imf etfe(x) =f(π(x)) =e f(x), pour tout x=π(x)∈A/kerf.
Lemme 1.27. Soit deux anneaux A et A0 et deux idéaux bilatères I dans A et I0 dans A0; alors, pour tout morphisme f ∈ Hom(A, A0) tel que f(I) ⊆ I0, il existe un unique morphisme fe∈Hom(A/I, A0/I0) tel que fe◦π=π0◦f, où πetπ0 sont les surjections canoniques A−→A/I et A0 −→A0/I0.
Démonstration. f(I)⊆I0 ⇐⇒I ⊆f−1(I0), d’autre part, on a ker(π0◦f) =f−1(I0).D’après le théo- rème 1.24,I ⊆ker(π0◦f) implique l’existence d’un unique morphisme d’anneauxfe∈Hom(A/I, A0/I0) tel que le diagramme suivant commute :
A
π
f //B
π0
A/I ∃!fe//A0/I0 Donc,fe◦π =π0◦f.
Remarque 1.28. – Siπ0◦f est surjectif, alorsfeest surjectif. On notera queπ0◦f peut être surjectif, sans quef le soit.
– Si ker(π0◦f) =I(⇐⇒f−1(I0) =I), alors f est injectif.
Théorème 1.29. (2em Théorème d’isomorphisme)
Soient I et J deux idéaux bilatères d’un anneaux A, on a :I/(I∩J)'(I+J)/J.
Démonstration. Soitα l’injection canonique de I dansI +J, alors,α(I∩J) =I∩J ⊆J. D’après le lemme 1.27, il existe un uniqueαe∈Hom(I/(I ∩J),(I+J)/J) tel que le diagramme suivant :
I
π
α //I+J
π0
I/(I∩J) ∃!eα //(I+J)/J commute,αe◦π=π0◦α.
On aπ0◦α(I) =π0(I) = (I+J)/J, doncπ0◦αest surjectif. D’autre part, α−1(J) =I∩J, doncαe est injectif par suite αe est un isomorphisme.
Remarque 1.30. Si I∩J ={0}, alors J '(I+J)/I etI '(I+J)/J.
Théorème 1.31. (3em Théorème d’isomorphisme)
Soient I et J deux idéaux bilatères d’un anneau A tel que I ⊆J, on a :A/J '(A/J)/(J/I).
Démonstration. Soit σ la surjection canoniqueA −→ A/I. I ⊆J =⇒ σ(J) = J/I. Il existe alors un unique morphisme σ∈Hom(A/J,(A/J)/(J/I)) tel que le diagramme suivant commute
A
π
σ //A/I
π
0
A/J ∃!eσ//(A/J)/(J/I) σe◦π =π0◦σ.
π0◦σ surjectif =⇒ et ker(π0◦σ) =J =⇒σe surjectif donc σe est un isomorphisme.
Soit Aun anneau unitaire. Soit φ:Z−→A,n−→n1A.
Définition 1.32. On appelle caractéristique de A, l’unique entier k∈Ntel quekerφ=kZ. On écrit alors : carA=k.
Exemple 1.33. 1) L’anneau Z, ainsi que les corps Q,R,C sont de caractéristique 0.
2) Pour n >1 dansN, l’anneauZ/nZ est de caractéristique n.
1.4 Idéaux premiers d’un anneau unitaire commutatif
1.4.1 Opérations sur les idéaux d’un anneau Dans ce qui suit, A est un anneau unitaire commutatif.
Soit {Iλ}λ∈Λ une famille non vide d’idéau de l’anneau A, alors : 1. \
λ∈Λ
Iλ est un idéal deA.
2. [
λ∈Λ
Iλ n’est pas, en général, un idéal deA. (l’est, la famille est totalement ordonnée par l’inclu- sion, en particulier, tous les idéaux sont inclus dans un idéal Iβ).
SoientI et J deux idéaux deA.
3. Somme : La somme de I et J est définie par :
I +J ={a+b, a∈I, b∈J}.
I +J est un idéal de A et c’est l’idéal engendré par I∪J.(C-à-d I +J est le plus petit idéal contenantI ∪J.)
4. Produit : Le produit deI parJ est défini par : IJ:={X
f ini
aibi, ai∈I, bi∈J}.
IJ est un idéal deA.
Nous avons,IJ ⊆I∩J.
SiI+J =A (I etJ sont étrangés), alors IJ =I∩J.
1.4. IDÉAUX PREMIERS D’UN ANNEAU UNITAIRE COMMUTATIF 15
Définition 1.34. Soit P un idéal de A. On dit que P est premier si : 1. P est un idéal propre de A (P 6=A).
2. ∀x, y∈A on a : xy∈P =⇒x∈P ou y ∈P.
Théorème 1.35. Dans A, I est premier si et seulement si A/I est un domaine d’intégrité.
Démonstration. Supposons I premier ; alors I 6=A et par suite A/I est non nul. A/I est un anneau unitaire commutatif, montrons qu’il est intègre. Soit x, y ∈A/I, tels que xy = 0. xy = 0 ⇐⇒xy = 0⇐⇒xy ∈I.I étant premier, doncx∈I ou y∈I donc A/I est intègre. On en conclut queA/I est un domaine d’intégrité.
Réciproquement, on suppose que l’anneau A/I est un domaine d’intégrité, nécessairement, A/I est non nul, doncI est un idéal propre deA. SoientxetydansAtels quexy ∈I. DansA/I :xy = 0 =⇒ x= 0 ou x= 0 ; par suite : x∈I ou y∈I. Donc I est premier.
Corollaire 1.36. SiA est un anneau unitaire et commutatif, alors Aest un domaine d’intégrité si et seulement si (0)est un idéal premier.
Exemple 1.37. Z/nZest intègre si et seulement si n= 0 oun est premier. On déduit que les idéaux premiers de Z sont (0) et les pZ, p premier.
Définition 1.38. Le Spectre premier ou seulement Spectre deA, noté parSpec(A), est l’ensemble de tous les idéaux premiers de A.
Lemme 1.39. SoientI,J et P des idéaux de A. SiP est premier et si IJ⊆P, alors I ⊂P ou J ⊂P.
Démonstration. SiI *P, il existex∈I tel que x /∈P. De même, siJ *P, soit y∈J tel que y /∈P.
Alors, xy∈IJ mais P étant premier, xy /∈P. Par suite IJ*P.
Proposition 1.40. Soit A un anneau. Alors on a :
1. Soient P1, ..., Pn des idéaux premiers de Aet I un idéal deA. SiI ⊆
n
[
i=1
Pi pour un certain n∈N∗, alors I ⊆Pi0 pour un certain i0= 1, ..., n.
2. Soient I1, ..., In des idéaux de A et P un idéal premier de A. Si
n
\
i=1
Ii ⊆P, alors Ii0 ⊆P pour un certain i0= 1, ..., n.
Démonstration. 1. Par induction sur n sous la forme :I *Pi ∀i⇒I *Sni=1Pi. – n= 1, c’est clair.
– Supposons que l’hypothèse de récurrence est vraie pour n−1. On a ∀i = 1, ..., n et ∀j 6= i (avecj= 1, ..., n), on peut supposer queI *Snj=1,j6=iPj (car sinon, l’hypothèse de récurrence donne le résultat). Ainsi ∃xi∈I\Snj=1,j6=iPj pour touti= 1, ..., n. Deux cas se posent : – Cas 1. xi 6∈ Pi pour un certain i. Dans ce cas, on a xi ∈/ Snj=1Pj puisque xi ∈/ Pi et
xi∈/ Snj=1,j6=iPj. Ainsi on a xi ∈I\Snj=1Pj puisque xi ∈I.
– Cas 2. xi ∈Pi, ∀i= 1, ..., n. Alors soity =Pni=1x1...xi−1xi+1...xn=x2...xn+x1x3x4...xn+ x1x2...xn−1.On a y /∈Pi et par suite y /∈Sni=1Pi. D’oùy∈I\Sni=1Pi.
Ainsi, dans tous les cas on aI *Sni=1Pi.
2. Par contraposée sous la forme : Ii*P ∀i= 1, ..., n⇒Tni=1Ii*P.
Soitxi ∈Ii\P pour touti= 1, ..., n. On aQni=1xi∈I1I2...In⊆Tni=1Ii, orQni=1xi ∈/ P (puisque xi ∈/P ∀i= 1, ..., n etP est un idéal premier). D’où le résultat.
Corollaire 1.41. P étant un idéal premier de A, pour tout n∈N∗ : 1) (x∈A et xn∈P) =⇒x∈P.
2) (I idéal de A et In⊆P =⇒)I ⊆P.
1.4.2 Idéaux maximaux d’un anneau unitaire
Définition 1.42. I est un idéal bilatère maximal d’un anneau A, si 1. I est un idéal bilatère propre de A.
2. (J idéal bilatère deA etI ⊆J ⊆A) =⇒J =I ou J =A.
Théorème 1.43. Dans un anneau unitaire et commutatif A, on a : I est un idéal maximal si et seulement si A/I est un corps.
Démonstration. SiA/I est un corps, on a nécessairement I 6=A. D’autre part, supposons J idéal de Atel queI J; alorsJ/I est un idéal non nul du corpsA/I, doncJ/I =A/I. Par suiteJ =A, donc I est un idéal maximal deA. Réciproquement, soitI un idéal maximal deA, alorsA/I est non nul et c’est un anneau unitaire commutatif ; la maximalité de I implique que A/I n’a pas d’autre idéal que (0) etA/I, donc A/I est un corps.
−→ Dans tout corpsK, (0) est le seul idéal maximal.
Corollaire 1.44. Pour un idéalI d’un anneau unitaire commutatifA, on aI maximal=⇒ I premier.
Démonstration. Il suffit de voir queI maximal =⇒A/I est un coprs =⇒A/I est un domaine d’inté- grité =⇒ I est premier.
1.5. NILRADICAL ET RADICAL DE JACOBSON 17
−→La réciproque du corollaire est fausse. Par exemple, dans Z, (0) est un idéal premier qui n’est pas maximal.
Nous avons le résultat suivant :
Théorème 1.45. (Exercice) Dans un domaine principal tout idéal premier non nul est maximal.
Lemme 1.46. (Axiome de Zorn) Tout ensemble non vide, partiellement ordonné et inductif, a au moins un élément maximal.
Théorème 1.47. Tout anneau unitaire a au moins un idéal bilatère (resp. à gauche, à droite) maximal.
Démonstration. Soit Σ l’ensemble de tous les idéaux propres deA. Σ est ordonné par inclusion.
Soit {Iα}α une chaîne d’éléments de Σ et posons I =∪αIα. On a I ∈Σ, en effet :
• I 6=A car si I =A, alors 1∈I =∪αIα et par suite il existeα tel que 1∈Iα de sorte queIα =A, absurde. DoncI 6=A.
• I est un idéal, en effet :
Soientxety∈I. Alors il existeα1, α2 tels quex∈Iα1 ety∈Iα2. Comme{Iα}α est une chaîne, alors x, y∈Isup(α1,α2) et par suite x−y∈Isup(α1,α2)⊆I.
Soient x∈I eta∈A. Alorsx∈Iα pour un certain α et par suiteax∈Iα⊆I.
• Ainsi Σ6=∅(car (0)∈Σ ) et toute chaîne de Σ admet un élément maximal.
D’après le lemme de Zorn, Σ admet un élément maximal de A. Si M est cet élément maximal, il est naturellement un idéal maximal de A.
Corollaire 1.48. Tout idéal propre de A est contenu dans un idéal maximal.
Démonstration. SoitI un idéal propre deA. Considèrons l’anneau quotient A/I. D’après le théorème 1.47, A/I admet au moins un idéal maximal N. Or, N = M/I, où M est un idéal de A contenant I. Ainsi, M est un idéal maximal contenant I ( car sinon, N = M/I ne serait pas maximal dans A/I).
Définition 1.49. On appellera anneau local tout anneau unitaire commutatif n’ayant qu’un seul idéal maximal.
−→ Tout corps est un anneau local. La réciproque est fausse.
1.5 Nilradical et Radical de Jacobson
A est un anneau unitaire commutatif. Un élément non nul a∈ A est dit nilpotent si an = 0 pour un certain n∈N∗.
Remarque 1.50. Tout élément nilpotent est un diviseur de zéro. La réciproque est fausse car 3 est un diviseur de zéro dans Z/6Z mais n’est pas nilpotent.
Proposition 1.51. L’ensemble N(A) de tous les éléments nilpotents de A est un idéal de A et A/N(A) n’admet aucun élément nilpotent autre que zéro.
Démonstration. Montrons queN(A) est un idéal de A.
– On aN(A)6=∅car 0∈N(A).
– Soient x∈N(A) eta∈A. Alors il existe n∈N∗/xn= 0. Ainsi on a, (ax)n=anxn= 0 (car A est commutatif) et par suite ax∈N(A).
– Soient x ety ∈A. Alors il existe n1 ∈N∗/xn1 = 0 et n2 ∈N∗/yn2 = 0. Ainsi on a (x−y)n1+n2 = Pn1+n2
p=0 Cnp1+n2xp(−y)n1+n2−p= 0.
Dés lors, N(A) est un idéal de A. Montrons que A/N(A) n’admet aucun élément nilpotent.
– Soit a un élément nilpotent de A/N(A), où a∈ A. Il existe alors n ∈ N∗ tel que an = 0 ; c’est à dire que an∈N(A). Dés lors, il existem∈N∗ tel que (an)m(=anm) = 0 de sorte quea∈N(A) et a= 0 dansA/N(A).
Proposition 1.52. On a :
N(A) = \
P∈Spec(A)
P est appelé le nilradical de A.
Démonstration. Soientx∈N(A) et P ∈Spec(A). Comme il existe n∈N∗ tel quexn= 0 (∈P) et P est premier, alorsx∈P.
Inversement, soitx∈TP∈Spec(A)P. Supposons quex /∈N(A) et considèrons : Σ ={IdéauxI de A/n>1⇒xn∈/ I}.
En appliquant le lemme de Zorn à Σ, l’élément (c’est à dire l’idéal) maximal de Σ donne la contradic- tion. D’où le résultat.
Remarque 1.53. Si A est un domaine d’intégrité, alors son nilradical est nul, car(0) étant un idéal premier, TP∈Spec(A)P = (0); mais la réciproque est fausse.
En effet, N(A/N(A)) = (0) est nul, cependant A/N(A) n’est pas nécessairement intègre, car N(A) n’est pas nécessairement premier.
Définition 1.54. Le radical de Jacobson, noté J(A), est défini comme étant l’intersection de tous les idéaux maximaux de A :
J(A) = \
M∈max(A)
M.
Proposition 1.55. On a :
[x∈J(A)]⇐⇒[1−xy∈U(A), ∀y∈A]
1.6. ANNEAU DE FRACTION 19 où U(A) est le groupe multiplicatif des éléments inversibles de A.
Démonstration. Soitx∈J(A). Supposons qu’il existey ∈Atel que 1−xy /∈U(A). Donc (1−xy)A A et par suite il existe un idéal maximal M tel que (1−xy)A⊆M A. Ainsi on a 1−xy ∈M et donc 1 ∈ M (car x ∈ M puisque x ∈ J(A)) ; c’est à dire que M = A, absurde. Et on a (1−xy) ∈ U(A) pour touty∈A.
Inversement, supposons que (1−xy)∈U(A), pour touty∈A. Par absurde, supposons quex /∈J(A).
Donc, il existeM ∈max(A) tel quex /∈M. Dès lors, on a M+Ax=A car M M+AxetM est maximal . Ainsi, il existe y ∈ A et m ∈ M tels que 1 = m+yx et par suite 1−xy(= m) ∈/ U(A), absurde. Par conséquent, x∈J(A) est cela termine la preuve de la proposition.
Définition 1.56. Un anneau A est dit local s’il admet un seul idéal maximal.
Dans un anneau local, on a J(A) =M et :
x∈M ⇔(1−xy∈U(A)∀y∈A)
1.6 Anneau de fraction
Dans ce qui suit, A est un anneau unitaire commutatif.
Définition 1.57. Soit S une partie non vide de l’anneau A, on dit que S est une partie multi- plicative de A si :
1. ∀a, b∈S, ab∈S.
2. 1∈S et 0∈/ S.
Exemple 1.58. 1. SiA est un domaine d’intégrité, alorsA∗ =A{O}est une partie multiplicative de A.
2. Les éléments réguliers (non diviseurs de zéro) de A est une partie multiplicative de A. Lorsque A est intègre, les éléments réguliers sont les éléments non nuls.
3. Si P est un idéal premier de A, alors S =A P est une partie multiplicative de A.
4. Pour tout x∈A∗,S ={xn;n∈N} est une partie multiplicative de A.
5. Pour tout idéal non nul I de A, S = 1 +I ={1 +x;x∈I} est une partie multiplicative de A.
6. UA est une partie multiplicative de A.
Soit S une partie multiplicative deA, on définie une relation sur S×A par : (s, a)∼(s0, a0)⇐⇒ ∃t∈S, t(sa0−s0a) = 0.
C’est une relation d’équivalence. En effet :
Il est visible que∼est réflexive et symétrique. Pour la transitivité, si (a, s)∼(´a,´s) et (´a,´s)∼(a00, s00) alors on a :
(as0−a0s)t= 0,et(a0s00−a00s0)t0 = 0 pour certainst, t0 ∈S. On a donc :
(as00−sa00)s0tt0 =as0s00tt0−sa0s00tt0 +sa0s00tt0−sa00s0tt0 = 0 + 0 = 0.
On obtient alors une relation d’équivalence.
On note par as la classe d’équivalence de (a, s) qu’on appelle fraction. L’ensemble quotient A×S :=
{as, a∈A, s∈S}sera notéS−1A. On définit l’addition et la multiplication par : a
s +a0
s0 = as0+sa0 ss0 et
a s×a0
s0 = aa0 ss0. On vérifie facilement que + et× sont bien définies :
Puisque S et une partie multiplicative, as0ss+sa0 0 et aass00 sont des élément de S−1A.
Si as = bc, as00 = bc00, on doit montrer que : as0ss+sa0 0 = bc0cc+cb0 0 et aass00 = bbcc00.
a
s = bc et as00 = bc00 =⇒ ∃t, t0 ∈S tel que t(ac−bs) = 0 ett0(s0c0−s0b0) = 0 donc ts0c0(ac−bs) = 0 et t0sc(s0c0−s0b0) = 0 donc
tt0(cc0(as0+sa0)−ss0(bc0+cb0)) =c0s0tt0(ac−sb) +cstt0(c0a0−s0b0) = 0 + 0 = 0.
Montrons qu’il existe λ∈S tqλ(aa0cc0−ss0bb0) = 0. Prenonsλ=tt0,
tt0(aa0cc0−ss0bb0) =tt0((ac(a0c0−s0b)+(acs0b0−sbs0b0)) =tt0(ac(a0c0−s0b0))+tt0(s0b0(ac−sb)) = 0+0 = 0.
Ainsi, + et × définissent deux lois de composition internes dans S−1A. Les éléments 01 et 11 sont, respectivement, éléments neutres pour l’addition et la multiplication dans S−1A. L’ensemble S−1A muni d’une structure d’anneau unitaire et commutatif induite par celle deA.
L’homomorphisme
ϕ: A −→ S−1A a −→ a/1
applique les éléments de S sur les unités de S−1A, on dit que ϕest S−inversant. (∀s∈S,ϕ(s) = s1 est inversible dansS−1A)
Définition 1.59. L’anneau S−1A est appelé anneau des f ractions de A par rapportàS.
S−1A possède la propriété universelle suivante : L’homomorphisme
ϕ: A −→ S−1A a −→ a/1
applique les éléments deS sur les unités deS−1A, on dit que ϕest S−inversant.
Définition 1.60. L’anneau S−1A est appelé anneau des f ractions de A par rapportàS.
S−1A possède la propriété universelle suivante :
1.6. ANNEAU DE FRACTION 21
Théorème 1.61. Soient A un anneau et S une partie multiplicative de A. Pour tout anneau unitaire, commutatif B et le morphisme d’anneaux unitairesf :A−→B vérifiant f(S)⊆UB, il existe un unique homomorphisme :
f :S−1A−→B tel que f oϕ=f.
A ϕ //
f
S−1A
|| f
B
Démonstration. Soitf :A−→B un homomorphisme S−inversant. Considèrons :
f : S−1A −→ B
a
s −→ f(a)
f(s) =f(a).(f(s))−1.
• Montrons quef est bien défini : Soit as = a
0
s0 ∈S−1A. On doit montrer que f(as) =f(a
0
s0).
Comme on a as = a
0
s0, alors (as0 − a0s)t = 0 pour un certain t ∈ S de sorte que (f(a)f(s0) − f(a0)f(s))f(t) = 0. Or, commef(t) est inversible (carf est un homomorphismeS-inversant ett∈S), alorsf(a)/f(s) =f(a0)/f(s0) et par suite f(a)f(s)−1=f(a0)f(s0)−1. D’où f(a/s) =f(a0/s0).
•Pour toutx∈A, on af◦ϕ(x) =f(ϕ(x)) =f((x/1) =f(x)f(1)−1 =f(x)1B =f(x). D’oùf◦ϕ=f.
• Montrons quef est unique :
Supposons qu’il existe deux homomorphismesf etg tels quef◦ϕ=g◦ϕ=f. Alors on a :
∗ ∀x∈A, f(x/1) =f ◦ϕ(x) =g◦ϕ(x) =g(x/1).
∗ ∀s∈S, f(1/s) =f(1)f(s)−1 = 1B(f(s))−1 = (f(s))−1. D’où :
f(x/s) = f((x/1)(1/s))
= f((x/1))(f(s))−1
= g((x/1))(f(s))−1
= g(x/1)(g◦ϕ(s))−1
= g(x/1)(g(s/1))−1
= g(x/1)g(1/s)
= g(((x/1)(1/s))
= g(x/s).
D’où g=f.
Montrons quef est un morphisme d’anneaux unitaire.
Soient as, as00 ∈S−1A, on a
f(a s +a0
s0) = f(as0+a0s
ss0 ) =f(as0+a0s)f(ss0)−1
= f(a)f(s)−1+f(a0)f(s0)−1
= f(a
s) +f(a0 s0).
f(a s
a0
s0) = f(aa0)f(ss0)−1 =f(a)f(a0)f(s)−1f(s0)−1
= f(a)f(s)−1f(a0)f(s0)−1
= f(a s)f(a0
s0).
D’autre part, f(11) =f(1)f(1)−1 = 1B.
Remarque 1.62. 1. Il est clair que l’homomorphisme ϕ:A−→S−1A est injectif si et seulement si S ne contient pas de diviseurs de zéro.
2. Si A est un domaine d’intégrité et S =A\{0}, alors S−1A est le corps des fractions de A.
3. Si S est la partie des éléments non diviseurs de zéro, alors S−1A s’appelle l’anneau total des fractions de A noté T(A).
Exemple 1.63. 1. Localisation:
Soit P un idéal premier de A. On a S =A\P est une partie multiplicative de A. Dans ce cas on note S−1A par AP. Les éléments de a/s où a ∈P et s∈S forment un idéal M de AP. Si a/s6∈M alors a6∈P et par suite 1/a∈AP et donc s/a∈AP. Donc a/s∈U(AP) de sorte que M est l’unique idéal maximal de Ap. Ainsi on a :
M =P AP ={a/s telque a∈P et s∈S=A\P}.
AP est appeléanneau local en P ou localisation de A en P.
INe pas confondre A/P qui annule tous les éléments de P et AP qui inverse tous les éléments de A\P.
2. Soit 0 6=s∈A tel que s est non nilpotent (sinon 0∈S). L’ensemble S ={sn/ n∈N} est une partie multiplicative de A. En particulier si A=Z et s= 10, alorsS−1A=D est l’anneau des nombres décimaux.
Proposition 1.64. Soient A un anneau et S une partie multiplicative deA.
1. Si I est un idéal de A, l’ensemble des fractions a/s où a∈I et s∈S est l’idéal de S−1A engendré parϕ(I) et est noté S−1I (ou IS) :
S−1I ={a
s;a∈I et s∈S}.
