ENS Lyon Alg`ebre 1
L3 2007-2008
TD 4 : Modules et bases
A est ici un anneau commutatif.
Exercice 1
Soit M un A-module libre de rang n ≥ 1, m = (m1, . . . , mn) une base de M et m0 = (m01, . . . , m0n) une famille d’´el´ements de M.
1. Montrer qu’il existe un unique f ∈ HomA(M, M) tel que ∀i = 1, . . . , n, f(mi) = m0i. En d´eduire que la A-alg`ebre EndA(M) est isomorphe `a Mn(A).
2. Montrer quef est un automorphisme si et seulement sim0 est une base de M.
Exercice 2
Soit M un Z-module libre de rang n, m = (m1, . . . , mn) une base de M et v = Pn
i=1λimi un ´el´ement non nul de M (les λi ∈Z).
1. V´erifier que Zv admet un suppl´ementaire (c’est-`a-dire un sous-module N de M tel que Zv ∩ N = {0} et Zv +N = M) si et seulement si v peut ˆetre compl´et´e en une base de M.
2. Montrer que Zv admet un suppl´ementaire si et seulement siλ1∧. . .∧λn= 1.
Exercice 3
Soit I un id´eal de A. Montrer que A/I est un A-module libre si et seulement si I ={0}.
V´erifier que sin etmsont deux entiers non nuls, alorsZ/(n∧m)Z est unZ/nZ-module.
A quelle condition est-ce unZ/nZ-module libre ?
Exercice 4
Soit d6= 0 un entier sans facteur carr´e.
1. Montrer que l’anneau Z[√
d] est un Z-module libre de type fini de rang 2 et en donner une base (e1, e2).
2. Soitx∈Z[√
d] non nul. Montrer que xZ[√
d] est un Z-module libre de rang 2 et en donner une base.
3. Calculer les diviseurs ´el´ementaires de xZ[√
d] dans Z[√ d].
Exercice 5
Soit I un id´eal de A. Soit M un A-module engendr´e par n ´el´ements x1, . . . , xn et ϕ∈End(M) tel que ϕ(M)⊂IM.
1. Montrer qu’il existe une famille {ai,j/ 1≤ i, j ≤ n} d’´el´ements de I telle que pour tout i, Pn
j=1(δi,jϕ−ai,j)xj = 0. En d´eduire que ϕ v´erifie ϕn+α1ϕn−1+. . .+αn = 0,
o`u les αi ∈I.
2. En d´eduire que si IM =M, il existe x∈A tel que xM ={0} etx∈1 +I.
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