Modules Noethériens

isomorphe au A-module Aⁿ.

Remarque 2.66. 1. On a X={x_i}_i∈I, donc card(X) =card(I); d’où A^(X)=A^(I),

2. Si A est un anneau unitaire, commutatif, alors toutes les bases d’un A-module libre M ont le même cardinal (que celui-ci soit fini ou non), lorsque ce cardinal est fini, il est appelé le rang de M, sinon on dit que M est libre de rang infini.

3. Lorsque l’anneau unitaire n’est pas commutatif, un tel A-module peut avoir des bases finies n’ayant pas le même cardinal.

4. Soit A un anneau principal. Alors tout idéal non nul A est libre de rang 1. En effet, soit I un idéal non nul de A, alors il existe a∈A tel queI =aA,(a) est une base de I carA est un D.I.

5. Par convetion, le module {0} est libre de rang0.

6. Libre n’implique pas une base : {2} est une famille libre du Z-module Z mais n’est pas une base. De même, famille génératrice n’implique pas une base : {1} est une famille génératrice du Z-module Z/2Z mais n’est pas une base car 1.2 = 0 mais 26= 0.

Exemple 2.67. 1. Soit K un corps. Tout K-espace vectoriel est unK-module libre.

2. L’anneau des polynômesA[X] est un A-module libre admettant pour base {1, X, X², X³, . . .}.

3. Le moduleRⁿest unR-module libre de type fini admettant pour base la famille{(1,0, ...,0), . . . ,(0,0, ...,1)}.

2.6 Modules Noethériens

Nous avons vu qu’en général un sous-module d’un module de type fini n’est pas de type fini. Nous allons maintenant étudier une classe de modules pour lesquels cette propriété est vérifiée.

Théorème 2.68. SoientA un anneau etM un A-module. Les assertions suivantes sont équiva-lentes :

i) (Max) Toute famille non vide de sous modules deM admet un élément maximal (Max : condi-tion du maximum) ;

ii) (C.C.A) Toute suite croissante de sous modules de M est stationnaire, (i.e, constante à partir d’un certain rang) (C.C.A : condition des chaines ascendantes) ;

iii) (C.F) Tout sous module de M est de type fini (C.F : condition de finitude).

Démonstration. i) =⇒ ii) Soit M₁ ⊆M₂ ⊆... une suite de sous modules de M. D’après i), {M_i}_i∈I admet un élément maximal, soitMr cet élément. Il est clair que∀n>r,Mn=Mr.

ii) =⇒i) Supposons qu’il existe un ensembleE6=∅ de sous modules deM qui n’admet pas d’élément maximal.

? E6=∅, donc il existe M1 ∈E. PuisqueE n’admet pas d’élément maximal, il existe M2 ∈E tel que M₁ M₂. De même pourM₂, il existe M₃∈Etel queM₁ M₂ M₃. Ainsi, on construit une suite strictement croissante de sous modules de M qui n’est pas stationnaire, ce qui contreditii). D’oùi).

ii) =⇒ iii) Supposons qu’il existe un sous module N de M qui n’est pas de type fini. Soit a₁ ∈N, alors a1A N ( puisque N n’est pas de type fini). Donc il existe a2 ∈ N tel que M1 := Aa1, M₂ :=Aa₁+Aa₂ etM₁ M₂ N. De même, il existea₃∈N\M₂ tel queM₃ =Aa₁+Aa₂+Aa₃ et M1 M2 M3 N. Ainsi, on construit une suite strictement croissante de sous modules de M qui n’est pas stationnaire, ce qui est absurde. D’où iii).

iii) =⇒ ii) Soit M₁ ⊆ M₂ ⊆ ... ⊆ M_n ⊆ ... une suite croissante de sous modules de M. Soit N :=

[

j∈I

Mj. AlorsN est un sous module deM, et d’après (iii),N est de type fini :N =Aa1+Aa2+...+Aan, oùai ∈N etnest un entier naturel non nul. Il existen0 un entier naturel tel queai∈Mn0 pour tout i = 1, ..., n. Ainsi on a N = M_n0 et N = M_n0 = M_n pour tout n > n₀. Cela termine la preuve du Théorème 2.68.

Définition 2.69. On dit qu’unA-moduleM est Noethérien s’il vérifie les conditions équivalentes du Théorème 2.68.

Remarque 2.70. On considère aussi dans l’autre sens la condition de minimum (Min) et celle des chaines descendantes (C.C.D) :

(Min) Toute famille non vide de sous modules deM admet un élément minimal.

(C.C.D) Toute suite décroissante de sous modules de M est stationnaire.

Il est facile de vérifier que (M in)⇐⇒(C.C.D). Un A module vérifiant l’une des deux conditions est dit un module Artinien.

Définition 2.71. On dit que l’anneau A est noethérien s’il est noethérien comme A-module, c-à-d si tout idéal deA est de type fini.

Exemple 2.72. 1. Les espaces vectoriels de type fini ; c’est à dire de dimension finie, sont Noe-thériens.

2. Un groupe abelien fini est un Z-module Noethérien.

3. Soitkun corps, l’anneau des polynômesA=k[X₁, ..., X_n, ...]avec un nombre infini d’indétermi-nées n’est pas noethérien. En effet, on a la suite croissante non stationnaire d’idéaux suivante : (0)((X₁)((X₁, X₂)(...((X₁, ..., X_n)(...

4. Tout anneau principal (et en particulier un corps) est noethérien puisque tous ses ideaux sont principaux donc de type fini.

Théorème 2.73. Soit A un anneau, M un A-module et N un sous-module de M. M est noe-thérien si et seulement si, N et M/N sont noethériens.

Démonstration. Les sous-modules deN sont des sous-modules de M contenus dans N. Donc, N est noethérien.

2.6. MODULES NOETHÉRIENS 45 D’autre part,Q=M⁰/N, où M⁰ =π⁻¹(Q) est un sous-module deM.M est noethérien implique que M⁰ est de type fini, doncQ l’est aussi(car siR de type fini, alors R/S l’est aussi).

Inversement, si, N et M/N sont noethériens. Soit M⁰ un sous-module de M, alors M⁰∩N est un sous-module deN donc de type fini. Nous avonsM⁰/(M⁰∩N)'(M⁰+N)/N (sous-module de M/N) orM/N est noethérien donc M⁰/(M⁰∩N) est de type fini, ce qui donne que M⁰ est de type fini(car R etS/Rde type finis =⇒S de type fini).

Corollaire 2.74. Soit 0 −→ L −→^f M −→^g N −→ 0 une suite exacte de A-modules. Alors M est Noethérien si et seulement si L et N sont Noethériens.

Démonstration. Imf est un sous-module de M tel que Imf ' L/kerf = L(car f est injectif et g surjectif). Aussi, N =Img'M/kerg =M/Imf(car kerg=Imf). On conclut à l’aide du théorème 2.73.

Corollaire 2.75. Soit M un A-module, et soient N et N⁰ deux sous-modules noethériens de M tels que M =N +N⁰. Alors M est noethérien.

Démonstration. On a une suite exacte 0 −→ N −→ⁱ N +N⁰ −→^π (N +N⁰)/N −→ 0. Or N est noethérien, et (N +N⁰)/N ' N⁰/(N ∩N⁰). Comme N⁰ est noethérien alors (N +N⁰)/N, par le corollaire 2.74 M =N⁰+N qui est noethérien.

Corollaire 2.76. Soient M et N desA-modules. Alors M ⊕N est noethérien si et seulement si M et N sont noethériens.

Démonstration. On utilise la suite exacte 0−→M −→^q M⊕N −→^p N −→0.

Dans les anneaux noethérien, nous avons la caractérisation simple suivante des modules noethérien.

Proposition 2.77. SoientAun anneau noethérien etM unA-module. AlorsM est un A-module noetherien si et seulement s’il est de type fini.

Démonstration. =⇒Toujours vrai car M est un sous-module de M.

⇐=M est de type fini doncM est isomorphe à un quotient d’un module libre de base fini :M 'Aⁿ/N avec N un sous-module de Aⁿ. On a Aⁿ =A⊕A⊕...⊕A,n fois, A est noethérien, donc Aⁿ l’est, d’oùM est noethérien.

Exercice 2.78. Soient A un anneau noethérien et S une partie multiplicative de A. Montrer que S⁻¹A est noethérien.

L’autre sens n’est pas juste.

Exercice 2.79. A est noethérien si et seulement si tout idéal premier deA est de type fini.

Théorème 2.80. [Théorème de Hilbert]

Soient A un anneau Noethérien et X une indeterminée sur A. AlorsA[X]est Noethérien.

Démonstration. Soit I un idéal deA[X]. Pour toutn∈N^∗, on poseJ_n l’idéal de A engendré par les coefficients dominants des polynômes de degré inférieur ou égal àndansI. La suite{J_n}_n∈N^∗ est une famille croissante d’idéaux deA. Soit J :=^U_nJ_nqui est un idéal deA, et qui sera de type fini puisque A est Noethérien. Posons J = (a1, ..., ar) et soient f1, ..., fr les polynômes de I dont les coefficients dominants sont lesa_i. Alors chaque f_i =a_iXⁿⁱ+g_i, avec n_i =deg(f_i) et deg(g_i)6n_i−1.

Soit ω=max{n_i/16i6r}. Soit f un élément quelconque deI, alorsf =aX^m+g où m=deg(f) etdeg(g)6m−1. Par constructiona∈J (coefficient dominant def), donca=^Pr_i=1a_iu_i où u_i ∈A.

Si m > ω, soit f⁰ = f −^Pr_i=1uifiX^m−ni ∈ I (car f et fi ∈ I). Ainsi on a f ≡f⁰mod(f1, ..., fr). Il suffit donc de traiter les polynômes de degré inférieur ou égal àω.

SoitBleA-module des polynômes de degré inférieur àω. Ainsi (1, X, ..., X^ω) est une base duA-module libre de type finiB.

Comme A est Noethérien, alors B est Noethérien puisque B est un A-module de type fini. Dés lors, I^TB est de type fini comme idéal de B. Soit (g₁, ..., g_s) un systéme générateur de I^TB. On a f⁰ =^Ps_i=1higi, hi ∈B ⊆A[X] et f =f⁰ +^Pr_i=1uifiX^m−ni, d’où f ∈(g1, ..., gs, f1, ..., fr). Donc I ⊆ (g₁, ..., g_s, f₁, ..., f_r). Or on a tous lesg_i ∈I^TB ⊆Iet tous lesf_i ∈I, par suite (g₁, ..., g_s, f₁, ..., f_r)⊆I.

Dés lors on aI = (g1, ..., gs, f1, ..., fr), ce qui termine la preuve du Théorème.

Corollaire 2.81. SoientA un anneau noethérien alorsA[X1, ..., Xn]est un anneau noethérien.

Démonstration. Par récurrence surnet en utilisant le Théorème de Hilbert.

CHAPITRE 3

Introduction à la géométrie algébrique

Une des applications les plus importantes et les plus intéressantes de la théorie des modules(anneaux) se trouve dans l’étude de la géométrie algébrique, c’est à dire l’étude des solutions d’un système d’équations algébrique dans l’espace affine.

3.1 Elément entier sur un anneau

Dans tout ce qui suit, les anneaux seront commutatifs.

Définition 3.1. SoitB un anneau,A un sous-anneau deB. Un élément x∈B est dit entier sur A, s’il est racine d’un polynôme unitaire à coefficients dans A c-à-d. s’il existea1, a2, ..., an∈A tel que : xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+...+a_n= 0; une telle relation est appelée relation de dépendance intégrale de x sur A.

−→ Les éléments deA sont entier surA.

−→ Lorsque Aest un corps, un élément est entier sur A s’il est algébrique surA.

Proposition 3.2. Soit A un sous-anneau d’un anneauB et x un élément de B. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. x est entier sur A;

2. le sous-anneau A[x]engendré parA et x est un A-module de type fini ;

3. il existe un sous-anneau C de B, tel que A[x]⊆C et C est un A-module de type fini.

Démonstration. 1) =⇒2)xest entier surA, donc∃a₁, a2, ..., an∈Atel quexⁿ+a1xⁿ⁻¹+...+an= 0.

Montrons que A[x] =< 1, x, x², ..., xⁿ⁻¹ >. En effet, on a xⁿ = −a₁xⁿ⁻¹ −...−a_n donc ∀r > n x^r ∈<1, x, x², ..., xⁿ⁻¹>d’où A[x] est engendré par {1, x, x², ..., xⁿ⁻¹}.

2) =⇒3) Il suffit de prendre C=A[x].

3) =⇒ 1) Soit C un sous-anneau de B tel que C est un A-module de type fini engendré par {y₁, y₂, ..., y_n} et A[x] ⊆ C, alors y_ix ∈ C, pour tout i = 1, ..., n. Donc, il existe (a_i,j)_16j6n tel quey_ix=

n

X

j=1

a_ijy_j,a_i,j ∈A. Nous avons

(x−a1,1)y1−a1,2y2−...−a1,nyn= 0 a_2,1y₁−(x−a_2,2)y₂−...−a_2,ny_n= 0

47

...

an,1y1−...−an,n−1yn−1−(x−an,n)yn= 0

Si on note α_ij le cofacteur de l’élément (i, j) de la matrice de ce système, si l’on multiplie par α_ij la i-ème ligne et que l’on somme on obtiendra :

det[δ_ijx−a_ij].y_j = 0

où δij est le symbole de Kronecker et [δijx−aij] est la matrice du système précédent. Posons d = det[δ_ijx−a_ij] ; on aura donc dy_j = 0, 1 6 j 6 n. D’où dC = 0 et d= d.1 = 0. En développant le déterminant d, on obtient une équation de la forme : f(x) = 0 oùf ∈A[x] est un polynôme unitaire de degré n.

Corollaire 3.3. Soit A un sous-anneau d’un anneau B, soient x₁, x₂, ..., x_n ∈ B; on suppose x_i entier surA et pour 26i6n, xi entier sur l’anneauA[x1, ..., xn]. Alors l’anneauA[x1, ..., xn]est un A-module de type fini.

Démonstration. Par récurrence sur n. Pour n = 1, A[x] est un A-module de type fini d’après la proposition 3.2.

Corollaire 3.4. Soit Aun sous-anneau d’un anneau B.L’ensemble C des éléments de B entiers sur A est un sous-anneau de B qui contient A.

Démonstration. ∀x∈A,x est entier sur A doncA⊆C.

Soient x, y∈C, alorsA[x, y] est unA-module de type fini d’après le corollaire 3.3. On a xy et x+y dansA[x, y], orA[xy]⊆A[x, y]⊆C etA[x±y]⊆A[x, y]⊆C par 3) du proposition 3.2, doncxy ∈C etx−y ∈C.

Définition 3.5. Soit Aun sous-anneau d’un anneauB. L’anneau C de tous les éléments entier sur A, est appelé la fermeture intégrale de A dans B. On la note A^B.

SiA=A^B, on dit que A est intégralement fermé dansB.

SiB =A^B, on dit queB est entier surA, ou queB est une extension entière deA. C-à-d,B est entier surA, ou queB est une extension entière deA si tout élément deB est entier sur A.

D’après la proposition 3.2 : On a si B est unA-module de type fini alorsB est entier sur A.