TP n°5 - Algèbre linéaire

Stanislas

Calcul formel

TP n°5 - Algèbre linéaire

Les commandes de ce T.P.

On utilisera le paquet LinearAlgebra.

• Basis • SumBasis, IntersectionBasis

• Array • RowDimension,

ColumnDimension

• IdentityMatrix • evalm

• Multiply • Transpose

• Determinant • Trace

• NullSpace • ColumnSpace

• Rank

I - Opérations élémentaires

Exercice 1. (Bases, Array, Basis, SumBasis, IntersectionBasis) Soit e1 = (1,0,2,3), e2 = (2,1,4,2), e₃ = (4,5,6,1), e₄ = (5,2,3,1) et e₅ = (1,2,3,1). On note E₁ = Vect{e₁, e₂} et E₂ = Vect{e₃, e₄, e₅}. Déterminer une base deE₁, de E₂, de E₁+E₂ et de E₁∩E₂.

Exercice 2. (Opérations matricielles,Multiply,Transpose,Trace,Determinant)

1. SoientM =

1 2 3 4 5 6 7 8

etv=







 1 0 2 3









. CalculerM·v puis ^tv·^tM.

2. Soit N =





−1 2 3

5 −6 7 9 10 −11



. Si la matrice N est inversible, calculer son inverse, sa trace et son déterminant.

Exercice 3. (proc,DiagonalMatrix) Écrire une commande identity qui étant donné un entier naturel n renvoie la matrice identité d'ordre n.

Exercice 4. (Matrice stochastique,Nullspace,ColumnSpace,evalm)Une matrice est dite stochas- tique lorsque la somme des éléments de chacune de ses lignes vaut 1. On considère la matrice stochastique

A=





1 6

1 2

1 3

0 ¹₂ ¹₂

1 3

1 3

1 3



.

1. Calculer le produitA



 1 1 1



. En déduire que A⁵⁰ est stochastique.

2. Vérier que A−I₃ n'est pas inversible. Déterminer une base du noyau et de l'image de l'endomorphisme canoniquement associé.

3. Déterminer trois réelsa, b, ctels queP(A) =A³+aA²+bA+cI₃ = 0.

4.Soitn∈N. En utilisant les racines deP, calculer le reste de la division euclidienne deXⁿ par P.

5. ExprimerAⁿ en fonction deA², A etn.

6. Montrer que Aⁿ tend en un sens raisonnable vers une matrice A∞ que l'on précisera (on vériera que A∞ est un projecteur dont on décrira les éléments caractéristiques).

TP n°5 - Algèbre linéaire MPSI 1

II - Algorithme du pivot de Gauss

L'algorithmique avec Maple

• <nom> := <valeur> ; • proc() end ;

• while <condition> do •for <i> from <deb> to <n> do

<instructions> <instructions>

od ; od ;

• if <condition1> • =, <>, <, >, <=, >=

then <instruction1> • not, and, or elif <condition2> • true, false then <instruction2>

else <instruction3>

;

Exercice 5.Écrire un programme resout_triang_sup qui étant donnés une matrice carrée tri- angulaire supérieure inversible U et un vecteur colonneY, résout le système linéaire U X=Y. Exercice 6. Écrire un programme reduction qui étant donnée une matrice carrée A, utilise l'algorithme du pivot de Gauss pour renvoyer une matrice triangulaire supérieureU.

Exercice 7.Écrire un programme gauss qui résout les systèmes linéaires de CramerAX =Y, où A est une matrice carrée.

Sˆta’nˆiŒs„laŒš 2/2 A. C€a’m€a’n€eš