D1849. Virage à angle droit – janvier 2020
Soit un triangle ABC. Une parallèle (∆) à la droite BC coupe la droite [AB] en un point D et la droite [AC] en un point E. Par un point P quelconque du plan, on trace les droites [P B] et [P C] qui coupent la droite (∆) respectivement aux points F et G. Démontrer que la droite [AP] fait un angle droit avec la droite joignant les centres des cercles circonscrits aux triangles P DG etP EF.
Solution proposée par Michel ROME
On va démontrer queA a mème puissance par rapport aux deux cercles.
Ceci montrera que la droite AP, axe radical des deux cercles, est per- pendiculaire à leur ligne des centres.
A
B C
(∆) D
P
G
H
X
Soit le cercle passant parP BC. Il recoupeABenH. SoitXl’intersection deABetP C. On aXB·XH =XP·XC. Mais avec Thalès XD
XB = XG XC doncXD·XH =XP·XG. Conclusion le cercleP DGpasse parH.
Soit I l’autre intersection de AC avec le cercle P BC. En remplaçant X par Y l’intersection de P B avec AC, on démontrerait de mème façon qu’auparavant que le cercle P EF passe par I.
A
B C
(∆) D E
P
F G
H I
X Y
Pour finir on a AH·AB =AC ·AI et AD
AB = AE
AC. Ce qui montre que AH·AD=AE·AI
CQFD.
