D1949 - En passant par Espaly Solution proposée par Michel Vanel
Le point A est le centre radical des tris cercles.
Donc (AF)2 = (AO)2 – R2 et (AO)2 – (AF)2 = R2
Théorème Le lieu géométrique des points dont le carré des distances à deux points donnés ont une différence constante est une droite
perpendiculaire à la droite qui joint les deux points.
En conséquence le point A décrit une droite perpendiculaire à EF.
Le point B est le centre d’une inversion qui fait correspondre l’un à l’autre les deux cercles intérieurs au grand cercle (cercle directeur).
BM’*BN’ = BM*BN = BF2 = (BO)2- R2
En conclusion le point B décrit la même droite que le point A. Soit H le point de rencontre des droites EF et AB.
Soit P le point d’intersection des droites MN’ et M’N.
La polaire du point A par rapport au cercle directeur est par construction la droite BP.
La polaire du point B par rapport au cercle directeur est par construction la droite AP.
Le point P est donc le pole de la droite AB et se trouve sur la perpendiculaire abaissée du point O sur la droite AB.. Il appartient donc à la droite OEFH
Le faisceau de droites BA, BM’, BP, BM est par construction un faisceau harmonique qui découpe sur une sécante quelconque une division harmonique.
Sur la sécante OH, on connaît trois points de cette division harmonique, a savoir F, P, H. Le quatrième se trouve sur la droite BM’ qui passe donc par un point fixe.
