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D10258. Pavage pythagoricien

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Academic year: 2022

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D10258. Pavage pythagoricien

Au mus´ee d’une ville o`u a s´ejourn´e Pythagore, Pierre Leca-Nonnier est tomb´e en arrˆet devant un pavage antique, dont le motif (ci-dessous) est form´e de deux carr´es de taille diff´erente.

∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

“A n’en pas douter, il y a l`a une preuve du c´el`ebre th´eor`eme !” s’exclame-t-il.

Voyez-vous comment ? Solution

Dans ce morceau de pavage, rep´erons quelques points (a, b, c, d, e, e0, f, f0).

∗ ∗ c f

∗ ∗

∗ ∗ ∗ d f0 e0

∗ ∗ ∗ b

∗ ∗ ∗

a e

Les mˆemes translations (de vecteurab=dcoubc=ad) permettent de paver le plan sans lacune ni recouvrement, que ce soit avec le motifaef ce0f0 form´e de deux carr´es, ou avec le quadrilat`ereabcd qui est un carr´e. On en conclut que leurs aires sont ´egales :

|ab|2=|ae|2+|eb|2.

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