D40165. Pavage du cube par des triangles
Quel est le nombre minimal de triangles en papier n´ecessaires pour recouvrir enti`erement les six faces d’un cube sans qu’il y ait la moindre superposition de ces triangles ?
Solution
Observons un coin du cube : ce coin ne peut pas ˆetre couvert par un point int´erieur `a un triangle. Il est couvert n´ecessairement par au moins deux triangles, le sommet du cube ´etant situ´e sur le bord de chacun des triangles qui concourent `a couvrir le coin. Si l’on d´eveloppe le coin on voit que l’angle
`a couvrir est de 3π/2.
– Si l’un des triangles couvre le sommet du cube en l’ayant sur un de ses cˆot´es mais pas en un de ses sommets, alors il couvre π et il reste π/2 `a couvrir avec un ou plusieurs angles de triangles dont les sommets co¨ıncident tous n´ecessairement avec celui du cube.
– S’il n’y a que des sommets de triangle pour couvrir le coin, alors il y a 3π/2 angles de triangle utilis´es.
Ainsi dans tous les cas, pour un coin donn´e du cube, on utilise au moinsπ/2 angles de triangle, et donc pour les 8 sommets on utilise au moins 4π angles de triangle. Il faut donc au moins 4 triangles.
R´eciproquement 4 triangles conviennent puisque le cube peut ˆetre d´evelopp´e en deux rectangles de trois faces, qui peuvent chacun ˆetre partag´es en deux triangles par une diagonale.
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