Activit´e de math´ematiques
Nombres complexes et g´eom´etrie
1 Interpr´ etation g´ eom´ etrique des nombres complexes
D´efinitions
Dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e, on peut d´efinir :
L’affixe d’un pointM(x;y) par le nombre complexe zM =x+iy.
L’affixe d’un vecteur −→ u
x
y
par le nombre complexe z−→u =x+iy.
Propri´et´es
Prouver les r´esultats suivants : 1. Sik∈Ralorszk−→u =kz−→u. 2. z−→u+−→v =z−→u +z−→v.
3. z−→AB =zB−zA.
4. SiG=bar(A;α),(B;β),(C;γ) alors zG= αzA+βzB+γzC
α+β+γ .
2 Application : Droite d’Euler d’un triangle
Le but de cette partie est de d´emontrer que le centre O du cercle circonscrit, le centre de gravit´e Get l’orthocentreH d’un triangleABC quelconque sont align´es et que −−→
OH= 3−−→ OG.
1. Faire une figure, construire ´egalement les pointsI,J etK sym´etriques respectifs du point O par rapport aux droites (BC), (AC) et (AB).
Le plan est d´esormais muni d’un rep`ere orthonorm´e d’origine O.
2. Prouver quezG= zA+zB+zC
3 .
3. Prouver que les quadrilat`eresOBIC,OAJ C etOAKBsont des losanges donc des paral- l´elogrammes, en d´eduire quezI =zB+zC,zJ =zA+zC etzK =zA+zB.
4. On consid`ere le pointP tel quezP =zA+zB+zC, prouver que −→
AP =−→ OI,−−→
BP =−→ OJ et
−−→ CP =−−→
OK. En d´eduire que P =H.
5. Prouver que−−→
OH = 3−−→ OG.
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