A2843 – Une, deux,trois,…2022 variables [* et *** à la main]
Q₁ Trouver les solutions en x nombre réel ou complexe de l’équation quartique x⁴ + 4x ‒ 1 = 0 Q₂ Trouver les solutions en x et y nombres réels, x ≠ y, tels que
2021x 1
x 2021 2021y
1
2021 y
xy 1
y x
= 0
Q₃ Trouver les solutions en x,y et z réels tels que x² ‒ xy ‒ xz = 5, y² ‒ yz ‒ xy = ‒ 4 et z² ‒ xz ‒ yz = ‒ 7 Q₄ Trouver les solutions positives du système de 2022 équations à 2022 inconnues x1, x2, x3, ….,x2021 ,x2022
définies par les relations : 2021
2 x
x 1
2
1 , 4042
x x 1
3
2 ,
2021 2 x
x 1
4
3 , 4042
x x 1
5
4 ,……,
2021 2 x
x 1
i 2 1 i
2 ,
x 4042 x 1
1 i 2 i
2
,...
2021 2 x
x 1
2022
2021 et 4042
x x 1
1
2022
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Q1 Résoudre l’équation x4 + 4x ‒ 1 = 0
Pour cela on utilise la méthode de Ferrari et remplace le premier terme x4 par (x² + a)² -2 a².x² - 2a² , en choisissant a tel que 2 a.x² -4x + a² +1 soit un carré parfait.
Le déterminant de cette équation du second degré doit donc être nul et a doit donc être solution de l’équation du troisième degré a*3 + a -2=0, avec comme solution évidente a=1.
L’équation initiale peut donc s’écrire comme la différence de deux carrés :
(x² + 1)² - 2.(x -1)²=0, soit le produit (x² + √2 x –(√2 -1)). (x² - √2 x +(√2 +1)) =0.
La première équation fournit les deux solutions réelles suivantes S1= (- √2 +√2. √(2.√2-1))/2 et S2 =(- √2 -√2.√(2.√2-1))/2 soit S1=0,24903838 et S2 = -1,66325194
La seconde équation fournit les deux solutions imaginaires suivantes : S3=( √2 +i.√2. √(2.√2+1))/2 et S4=( √2 - i.√2. √(2.√2+1))/2.
Q2 On constate immédiatement sur l’expression que x=2021 et y quelconque ainsi que y=2021 et x quelconque sont toujours solution.
Pour confirmer en développant l’expression et en généralisant avec 2021=a, on trouve l’expression suivants :(x- y).(a.(x+y) -xy -a²)=0.
Les solutions avec x=y étant exclues, il faut trouver des couples x et y, tels que leur somme x+y soit égale à S et leur produit P=x.y soit égal à a.S -a², ce qui confirme que les couples solution sont donc tels que x (ou y) = a et y (ou x)= a -S avec S quelconque.
Q3 En additionnant les deux premières égalités et en retranchant la troisième on obtient l’expression (x-y)² - z²=8, soit en développant (x-y+z)(x-y-z)=8.
De même en faisant (1) +(3 ) – (2), on obtient (x-z+y)((x-z -y)=2, et avec (2) +(3 ) – (1 ) (y-z+x).(y-z-x)=-16.
En divisant les deux premières expressions résultat, on obtient x-y+z=4(x-z+y), soit z=3/5 .x +y Et avec la dernière et la première y -z+x=2.(x-y-z) soit z= x-3.y
soit en résolvant en y on obtient x=10.y et z=7y.
Avec l’une des équations initiales on obtient y²=1/4, d’où les deux solutions
S1 : x=5 ;y=1/2 ;z=7/2 et S2 x=-5 ; y=-1/2 et z= -7/2
Q4 Une solution évidente répond à la question x2p+1 =1/2021 et x2p =2021.
Pour trouver que c’est la seule solution, on doit calculer tous les xi en fonction du premier élément soit x1=x.
Avec 2021 =a on montre que xn= (n-1 – (n-2).a.x) / a.(n-(n-1).a.x) pour n impair et xn=
a.(n-1 – (n-2).a.x) / (n-(n-1).a.x). La dernière égalité nous conduit à a.(a-(a-1).a.x)/((a+1)-a².x) +1/x =2a
Développée cette expression donne (a+1).(a².x² -2.a.x +1)=0, ce qui ne fournit que la solution a.x=1.
Soit au cas particulier x1= 1/2021 et donc x2p+1 = 1/2021 et x2p =2021.
