D1863. Alignement à pente moitié MB Problème proposé par Pierre Leteurtre
Soit le triangle ABC, son point de Lemoine L et Ma, Mb, Mc les milieux des côtés BC, CA, AB.
La médiatrice de BC coupe AC en D et AB en D0. Les parallèles à BC passant par D et D0 coupent respectivement AB en E et AC en E0.
Démontrer queles points Ma, E, E0 et L sont alignés sur une même droite et que celle-ci est l'axe radical des cercles (BMaMb) et (CMaMc).
Question subsidiaire: Justifier le titre de l'exercice.
Coordonnées barycentriques :
Un cercle quelconque : a²YZ+b²ZX+c²XY + (pX+qY+rZ)(X+Y+Z) = 0
Si le cercle passe par B(0,1,0), Ma(0,1,1) et Mb(1,0,1) cela implique q =0, r = – a²/2 et p = (a² – b²)/2 a²YZ+b²ZX+c²XY + ((a² – b²)X – a²Z)(X+Y+Z)/2 = 0
Si le cercle passe par (0,0,1), Ma(0,1,1) et Mc(1,1,0) cela implique r =0, q = – a²/2 et p = (a² – c²)/2 a²YZ+b²ZX+c²XY + ((a² – c²)X – a²Y)(X+Y+Z)/2 = 0
Par différence on a l'équation de l'axe radical : (c² – b²)X + a²(Y – Z) = 0 . Les coordonnées de L(a²,b²,c²) vérifient cette équation.
* * * * * * * * * * * * Coordonnées cartésiennes :
Ma(0,0), A(2u,2v),B(– 2 ,0), C(+2,0), Mb(u+1,v), Mc(u-1,v) Cercle (B,Ma,Mb) : x²+y² + 2x – y(u² +v² + 4u +3)/v = 0 Cercle (C,Ma,Mc) : x²+y² – 2x – y(u² +v² – 4u +3)/v = 0
Par différence on a l'équation de l'axe radical : 4x – 8uy/v = 0 ou y/x = v/(2u) .
Réponse à la question subsidiaire → La pente de la droite (Ma,L) est la moitié de celle de la droite (Ma,A)
Les équations des droites BA et CA sont v(x+2) – (u+1)y = 0 et v(x – 2) – (u – 1)y = 0 Coordonnées de D0 : (0, 2v/(u+1)) et de D : (0, 2v/(1 – u))
La droite rouge d'équation x = 2uy/v coupe les parallèles à BC menées par D0 et D aux points E'0 et E' : E'0[4u/(u+1), 2v/(u+1)] et E'[4u/(1 – u), 2v/(1 – u)]
Le point E'0 est sur AC car v(4u/(u+1) – 2) – (u – 1)2v/(u+1) = 0 Le point E' est sur AB car v(4u/(1 – u)+2) – (u+1)2v/(1 – u) = 0 Donc E'0 = E0 et E' = E
Les points Ma, E, E0 et L sont alignés sur l'axe radical des cercles (BMaMb) et (CMaMc).
