D368. Distances à la queue leu-leu D3. Cubes, parallélépipèdes, sphères
Montrer qu’il existe un ensemble de points dans l’espace à trois dimensions tels que les carrés de toutes distances qui séparent les points pris deux à deux permettent d’obtenir exclusivement au moins une fois les valeurs entières de 1 à 10.
Solution de Paul Voyer
Si tous les points ont des coordonnées entières, on n'obtient pas 7 comme carré de la distance.
On va donc placer les points O (0,0,0) et A (0,0, 2),
et tous les autres avec des coordonnées entières dans le plan z = 0.
Ainsi tous les carrés des distances sont entières.
Le point le plus distant de A doit être à une distance < 3 du point O afin d'éviter un carré de distance ≥ 11.La distance maximale entre points de ce plan doit être 10, obtenue par exemple entre (-1,0) et (+2,1).
Avec les points B,C,D,E,F,G,H on obtient tous les carrés des distances : OC² = 1 1
OA² = 2 2 AD² = 3 2+1 AF² = 4 2+1+1 OG² = 5 4+1 AB² = 6 2+4 AG² = 7 2+5 BH² = 8 4+4 BC² = 9 9 CG² = 10 1+9
