I. Éléments propres d’un endomorphisme

Réduction

¦ On noteK=R^ouC^;E,Ei,F désignent desK-espaces vectoriels.

I. Éléments propres d’un endomorphisme

II. Endomorphismes diagonalisables et trigonalisables III. Cas des matrices carrées

Définition 1 – Vecteur propre, valeur propre, sous-espace propre

Soit M∈Mn(K). On appelle valeur propre de M tout scalaireλ∈Kpour lequel il existe un vecteur u∈K^{ntel que u}6=0et Mu=λu (on dit alors que u est un vecteur propre pour M associé à la valeur propreλ). On appelle vecteur propre de M tout vecteur u∈K^ntel que u6=0et Mu∈Vect(u). Siλ∈Kest une valeur propre de M , l’ensemble

E_λ(M)=Ker(M−λI_n)=©

u∈Kⁿ|Mu=λuª

est appelée sous-espace propre de M associé àλ. On noteSp(M)l’ensemble des valeurs propres de M .

Remarque. SiM∈Mn(K^{) et f} ∈L(Kⁿ) est l’endomorphisme canoniquement associé àM, alors :

• Sp(M)=Sp(f) (les valeurs propres deM sont celles def) ;

• Quel que soitλ∈Sp(M),E_λ(M)=Ker(f −λid)=E_λ(f).

"Remarque. Une matriceM∈Mn(R) peut être considérée comme une matrice deMn(C^).

On note Sp_R(M) le spectre deM en tant que matrice deMn(R^{) et Sp}_C^(M) son spectre en

tant que matrice deMn(C^).

1

Définition 2 – Polynôme caractéristique

Soit M ∈Mn(K). On appelle polynôme caractéristique de M le polynômeχM ∈K^[X] défini par :

∀x∈K^, χM(x)=(−1)ⁿdet(M−xid)=det(xid−M)

Remarque. Si f ∈L(Kⁿ) est l’endomorphisme canoniquement associé àM, alorsχM =χf.

Proposition 3 – Caractérisation des valeurs propres Soient M ∈Mn(K^)etλ∈K. On a équivalence entre :

(i) λest valeur propre de M ; (ii) λest racine deχM;

(iii) M−λInn’est pas inversible ; (iv) rg(M−λI_n)<n ;

(v) λest valeur propre de f ∈L(Kⁿ⁾canoniquement associé à M . Définition 4 – Matrice diagonalisable, trigonalisable

Soit M ∈Mn(K). On dit que M est diagonalisable lorsqu’il existe P∈GLn(K^{)telle que} P⁻¹M P soit diagonale. On dit que M est trigonalisable (ou triangulable) lorsqu’il existe P∈GL_n(K⁾telle que P⁻¹M P soit triangulaire supérieure.

Proposition 5 – Caractérisation des matrices diagonalisables Soit M∈Mn(K). On a équivalence entre :

(i) M est diagonalisable ;

(ii) La somme des dimensions des sous-espaces propres de M est égale à n ;

(iii) Le polynôme caractéristiqueχM est scindé et pour toute valeur propreλde M , la multiplicité deλ(en tant que racine deχM) est égale à la dimension de E_λ(M); (iv) L’endomorphisme f ∈L(Kⁿ⁾canoniquement associé à M est diagonalisable.

Corollaire 6 – Condition suffisante de diagonalisabilité

Soit M∈Mn(K^{). Si}χMest scindé à racines simples, alors M est diagonalisable (réciproque fausse) et ses sous-espaces propres sont de dimension1.

Théorème 7 – Caractérisation des matrices trigonalisables Soit M∈Mn(K). On a équivalence entre :

(i) Le polynômeχM est scindé ; (ii) La matrice M est trigonalisable ;

(iii) L’endomorphisme f ∈L(Kⁿ⁾canoniquement associé à M est trigonalisable.

En particulier : toute matrice M est trigonalisable dansMn(C^).

2

Corollaire 8 – Trace et déterminant fonction des valeurs propres

Si M∈Mn(K⁾et le polynômeχM est scindé, noté sous la forme : χM=

p

Y

k=1

(X−λk)^mk avecλ1, . . . ,λp disctinctes et m₁, . . . ,m_p∈N^{∗, alors :}

detM=

p

Y

k=1

λ^m_k^k trM=

p

X

k=1

m_kλk

Remarque. Ce résultat est valable même siM∈Mn(R^{) etλ}1, . . . ,λnsont les valeurs propres

complexes deA.

Proposition 9 – Invariants sur les matrices semblables

Soient A,B ∈Mn(K). Si A et B sont des matrices semblables, alorsrgA=rgB ,detA = detB ,trA=trB etχA=χB(réciproque fausse).

Les résultats à connaitre

• Définition : valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre.

• Si deux endomorphismes commutent, les sous-espaces propres du premier sont stables par le second.

• Une somme de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est directe.

• Définition : polynôme caractéristique.

• Caractérisation des valeurs propres d’un endomorphisme en dimension finie.

• Comparaison entre la dimension d’un sous-espace propre et la multiplicité de la valeur propre.

• Définition : endomorphisme diagonalisable.

• Caractérisation : somme des dimensions des sous-espaces propres, base de vecteurs propres, matrice diagonale.

• Caractérisation par le polynôme caractéristique.

• Cas d’un endomorphisme possédantnvaleurs propres distinctes. Connaitre un contre- exemple pour la réciproque.

• Définition : endomorphisme trigonalisable.

• Caractérisation par le polynôme caractéristique.

• Calcul de la trace et du déterminant lorsque le polynôme caractéristique est scindé.

• Cas des matrices carrées : reformulation des résultats précédents.

• Deux matrices semblables ont même trace, même déterminant et même polynôme caractéristique. Contre-exemple pour la réciproque.

Quelques objectifs du chapitre

• Savoir diagonaliser des matrices et des endomorphismes donnés explicitement.

• Savoir passer d’un endomorphisme à une matrice et inversement pour obtenir des informations sur la réduction.

• Savoir appliquer la réduction à la recherche du commutant, de racines carrées de matrices ou d’endomorphismes, au calcul de puissances, à l’étude des sous-espaces stables.

• Savoir obtenir des informations sur les éléments propres à partir du rang, du noyau, de la trace, du déterminant, etc.

• Savoir traduire matriciellement une relation de récurrence linéaire et utiliser la réduc- tion.

En pratique

Ï

Comment déterminer les éléments propres ?

Pour déterminer les éléments propres def ∈L(E) :

— Si E est de dimension finie, les valeurs propres sont les racines deχf (polynôme caractéristique de f) et pour chaque valeur propre, on détermine le sous-espace propre associé ;

— On peut également partir de l’équation f(x)=λxdont on cherche les solutions avec λ∈K^etx∈E,x6=0.

Dans le cas d’une matrice A ∈Mn(K), on peut obtenir certains éléments propres de la manière suivante :

— Si rgA=p<n, alors 0 est valeur propre deAet le sous-espace propre associé,E₀(A), est de dimensionn−p;

— Si la somme des coefficients de chaque ligne deAest constante, égale às∈K^{, alorss} est valeur propre deAet le vecteur

µ₁

... 1

¶

est un vecteur propre associé ;

— De manière plus générale, si on notec₁, . . . ,c_nle colonnes deAetx= µ_x1

... xn

¶

∈K^{n, alors} Axest une combinaison linéaire des colonnes deA, précisément :

Ax=x₁c₁+ · · · +x_nc_n

ce qui permet parfois de trouver des vecteurs propres particuliers.

Lorsqu’il ne manque que quelques valeurs propres, se rappeler que trAet detAsont res- pectivement la somme et le produit des valeurs propres (dansC^{) de} A, comptées avec multiplicité.

Ï

Utilisation d’un polynôme

Supposons quef ∈L(E) et que l’on dispose de scalairesa₀, . . . ,a_p ∈K^{tels que :} a_pf^p+ · · · +a₁f +a₀id=0

Siλest une valeur propre de f etxest un vecteur propre associé, alors : a_pλ^px+ · · · +a₁λx+a₀x=0

et commex6=0, on aapλ^p+ · · · +a1λ+a0=0 de sorte queλest une racine du polynôme P=a_pX^p+ · · · +a₁X+a₀. Les valeurs propres def se trouvent doncparmiles racines deP (il faut savoir refaire ce raisonnement).

Ï

Quelques « types » particuliers de matrices et d’endomorphismes

— Pour un endomorphisme f :Kn[X]→Kn[X], écrire l’équationf(P)=λPet chercher les solutions λ∈K ^{et P} ∈Kn[X],P 6=0. Considérer en particulier le degré d’une solutionPde cette équation. On peut aussi écrire la matrice def dans une base bien choisie et s’intéresser à ses éléments propres ;

— Pour un endomorphisme f :Mn(K⁾→Mn(K) dont l’expression fait intervenir une matriceA, utiliser les éléments propres deA;

— Pour une matrice définie avec des blocsA₁, . . . ,A_p, utiliser les éléments propres de ces blocs.

Ï

Comment montrer qu’un endomorphisme/une matrice est diago- nalisable ?

Pour montrer quef est diagonalisable, on peut :

— Montrer que la somme des dimensions des sous-espaces propres de f est égale à dimE;

— Montrer que la dimension de chaque sous-espace propreE_λ(f) est égale à la multipli- cité deλen tant que racine deχf.

Les raisonnements suivants sont également souvent utilisés :

— Siχf est scindé à racines simples dansK^{, alors f} est diagonalisable ;

— Sif possèdenvaleurs propres distinctes avecn=dimE, alorsf est diagonalisable.

Ces deux derniers points sont des conditions suffisantes mais non nécessaires. On verra plus tard le résultat suivant :

— Si une matrice carréeAest symétrique et réelle, alors il existe une matrice orthogonale P telle queP^>AP soit diagonale (en particulier,Aest diagonalisable puisqueP^>=P⁻¹ siP est orthogonale).

Ï

Comment montrer qu’un endomorphisme/une matrice est trigo- nalisable ?

Pour montrer queA∈Mn(K) est trigonalisable, on peut montrer que son polynôme caracté- ristique est scindé (surK). Toute matrice carréeAest trigonalisable dansC^.

Ï

Comment utiliser le fait que f est diagonalisable ?

Supposonsf ∈L(E) diagonalisable, alors :

— Dans une base deEconstituée de vecteurs propres pour f, la matrice def est diago- nale ce qui permet de caculer facilement les f^k pourk∈N^{(et mêmek}∈Z^{si f est} inversible) ;

— Notonsλ1, . . . ,λkles valeurs propres distinctes de f,E₁=E_λ1(f), . . . ,E_k=E_λk(f) les sous-espaces propres associés, alorsE=E₁⊕ · · · ⊕E_ket en notantp₁, . . . ,p_kles projec- teurs associés à cette décomposition, on peut écrire f comme combinaison linéaire :

f =λ1p₁+ · · · +λkp_k

— Ceci permet également de résoudre des systèmes d’équations différentielles associés à f, ou de déterminer l’expression de suites récurrentes ;

— SiF est un sous-espace vectoriel deEstable parf, alors l’endomorphisme induitfF

est diagonalisable.

Diagonaliser permet également de « simplifier » certains problèmes, notamment :

— Les systèmes d’équations différentielles linéaires et les systèmes de suites récurrentes linéaires ;

— Les équations matricielles.

Ï

Quels sont les exemples à retenir ?

Sipun projecteur deEetsune symétrie, alors :

— L’endomorphismepest diagonalisable et il existeBbase deEtelle que : Mat_B(p)=

µ I_r (0) (0) (0)

¶

avecr=rgp=trpet les sous-espaces propres depsont Kerpet Ker(p−id) ;

— L’endomorphismesest diagonalisable et il existeBbase deEtelle que : Mat_B(p)=

µ I_r (0) (0) −I_n−r

¶

avecr=dim Ker(s−id) et les sous-espaces propres dessont Ker(s−id) et Ker(s+id).

Sif ∈L(E) avec rgf =1 etn=dimEÊ1, alors :

— 0 est valeur propre de f et dimE₀(f)=n−1 ;

— Le polynôme caractéristique de f estXⁿ⁻¹(X−tr(f)) ;

— L’endomorphisme f est diagonalisable si, et seulement si, trf 6=0.

Sif ∈L(E) est nilpotent etn=dimE, alors :

— La seule valeur propre de f est 0 ;

— L’endomorphisme f est diagonalisable si, et seulement si, il est nul.

SiA∈Mn(K) est de la formeA=





λ ? ··· ? 0. .. ... ...

... . .. ... ? 0··· 0 λ



avecλ∈K^{, alors :}

— Le polynôme caractéristique deAestχA=(X−λ)ⁿ;

— La seule valeur propre deAestλ;

— La matriceA−λInest nilpotente ;

— La matriceAest diagonalisable si, et seulement si,A=λIn(c’est à dire si, et seulement si, la partie supérieure deAest nulle).

Les deux derniers cas sont des cas particuliers du résultat suivant : sif ∈L(E) n’a qu’une seule valeur propreλ∈K^{, alorsf} est diagonalisable si, et seulement si,f =λid_E.

Illustrations du cours

Exercice 1Éléments propres en dimension infinie. Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme deE=C^∞(R^,R^{) :}

f : C^∞(R^,R⁾ → C^∞(R^,R⁾

u 7→

· R ^→ R

t 7→ u⁰(t)+t u(t)

¸

Exercice 2Éléments propres de matrices. SoitnÊ2. Déterminer les éléments propres des matricesJ,A,B∈Mn(K^{) :}

J=

Ã1··· ··· 1

... ...

... ...

1··· ··· 1

!

; A=





0 1 ··· 1 1. .. ... ...

... . .. ... 1 1··· 1 0



; B=

Ã_{0 1··· 1}

1 0··· 0 ... ... ... 1 0··· 0

!

Exercice 3Endomorphisme deKn[X]. SoientnÊ1 etf l’endomorphisme deKn[X] : f : Kn[X] → Kn[X]

P 7→ (X²−1)P⁰⁰+X P⁰ Démontrer quef est diagonalisable.

Exercice 4Endomorphisme deMn(K⁾. Soient A∈Mn(K) et l’endomorphisme f : Mn(K⁾ → Mn(R⁾

M 7→ AM

On suppose queAest diagonalisable. Démontrer que f est diagonalisable.

Exercice 5Matrices définies par blocs. SoientA∈Mn(K^{) etB}=

³ A (0) (0) In

´

(matrice par blocs).

On suppose queAest diagonalisable. Démontrer queB est diagonalisable.

Exercice 6Utilisation d’un polynôme annulateur (1). On reprend la matriceJ de l’exercice 2. CalculerJ²et en déduire que Sp(J)⊂{0,n}. Retrouver Sp(J).

Exercice 7Utilisation d’un polynôme annulateur (2). SoitM∈Mn(R) telle queM³+M²+ M=0. Démontrer que tr(M) est un entier négatif.

Exercice 8Utilisation d’un polynôme annulateur (3). SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie,f ∈L(E) eta,b∈K. On suppose que (f −aid)◦(f −bid)=0.

(a) On suppose ici quea6=b. Démontrer que Ker(f−aid)⊕Ker(f −bid)=E. Que peut-on en déduire concernantf et concernant Sp(f) ?

(b) On suppose ici quea=b. Montrer au moyen d’exemples qu’il existe des situations où f est diagonalisable et des situations où f ne l’est pas.

Exercice.À faire vous-même pour voir si vous avez compris. SoitA=











2 1 · · · 1

1 2 ^{. . . ..}.

... . . . . . . 1

1 · · · 1 2









 . (a) Dans le cas où Aest une matrice de taille 3, déterminer le spectre deAainsi que ses

sous-espaces propres. Démontrer que Aest diagonalisable et déterminer une matrice P∈GL3(R) telle queP⁻¹AP est diagonale.

(b) Dans le cas général où Aest une matrice de taillen, déterminer le spectre deAainsi que les sous-espaces propres deAet étudier la diagonalisabilité deA.

Vrai/Faux

Dans toute la suite,nest un entier tel quenÊ2 etEest unK-espace vectoriel de dimension finie égale àn. On considère f un endomorphisme deE.

(1) Si rg(f)=n−2 etf possède deux valeurs propres distinctesaetb, alorsf est diagona- lisable.

(2) Si rg(f)=n−1, alorsf est diagonalisable si, et seulement si,χf possède au moins une racine non nulle dansK^.

(3) Si rg(f)=n−2 et f possède un sous-espace propre de dimension 2 et f n’est pas diagonalisable, alorsn=4.

(4) Si f ne possède qu’une seule valeur propre, alors f n’est pas diagonalisable.

(5) Si f possèdenvaleurs propres distinctes, alors tous ses sous-espaces propres sont de dimension 1.

(6) Si tous les sous-espaces propres de f sont de dimension 1, alorsf possèdenvaleurs propres distinctes.

(7) Si f est diagonalisable, alors il existeλ1, . . . ,λn∈K^{tels queχ}f(X)=(X−λ1)· · ·(X−λn).

(8) Siχf n’est pas scindé à racines simples, alorsf n’est pas diagonalisable.

(9) Si (e₁, . . . ,e_n) est une famille denvecteurs propres de f, alors f est diagonalisable.

(10) Siλ1, . . . ,λp sont les valeurs propres distinctes def etm₁, . . . ,m_p sont leurs multiplici- tés respectives, alors tr(f)=m₁λ1+ · · · +m_pλp.

(11) Siλ∈Sp(f) etx∈E_λ(f), alorsxest un vecteur propre pour f.

(12) Siλ1, . . . ,λp sont des valeurs propres distinctes def et si dimE_λ1(f)+· · ·+dimE_λp(f)Ê n, alors f est diagonalisable.

(13) Siλ1, . . . ,λp sont des valeurs propres distinctes def et si dimE_λ1(f)+· · ·+dimE_λp(f)Ê n−1, alors f est trigonalisable.

(14) Siλ∈Sp(f) etxetysont deux vecteurs propres pour f associés à la valeur propreλ, alorsx+yest un vecteur propre pourf.

On considère des endomorphismesf etg deE.

(15) Sif etg ont les mêmes valeurs propres et les mêmes sous-espaces propres, alorsf =g. (16) Sif ◦g=g◦f,λ∈Sp(f) etx∈E_λ(f), alorsx∈E_λ(g).

(17) Sif ◦g=g◦f,λ∈Sp(f) etx∈E_λ(f), alors f(x)∈E_λ(g).

(18) Sif ◦g=g◦f,λ∈Sp(f) etx∈E_λ(f), alorsg(x)∈E_λ(f).

On considère des matricesAetB appartenant àMn(K^).

(19) SiAetB commutent et sixest une vecteur propre pourA, alors c’est également un vecteur propre pourB.

(20) SiBest semblable à Aet Aest diagonalisable, alorsBest diagonalisable.

(21) SiAest triangulaire supérieure, alorsAn’est pas diagonalisable.

(22) SiAest triangulaire supérieure etAest diagonalisable, alors les coefficients diagonaux de Asont deux à deux distincts.

(23) SiAn’est pas trigonalisable, alorsAn’est pas diagonalisable.

(24) SiAn’est pas diagonalisable, alorsA²n’est pas diagonalisable.

(25) SiA²est diagonale, alorsAest diagonale.

(26) Il existe exactement quatre matricesA∈M2(R) telles queA²= µ1 0

0 2

¶ .

III. Cas des matrices carrées

(27) Il existe exactement quatre matricesA∈M2(R) telles queA²= µ1 0

0 1

¶ . (28) Il existe au moins une matriceA∈M2(R) telle queA²=

µ−1 0 0 −1

¶ . (29) Il existe au moins une matriceA∈M2(R) telle queA²=

µ−1 0

0 1

¶ . (30) Il existe une unique matriceA∈M2(R) telle queA²=

µ0 0 0 0

¶ .

1F2V3V4 F5V6F7V8

F9F10 F11F1 2V13V14F

15F1 6F17F 18V 19F 20V 21F 22F23 V2 4F25 F26V27F 28V29F 30F

11