1.1 Éléments propres d’un endomorphisme.

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Table des matières

1 Vecteurs propres et espaces propres d’un endomorphisme . 2

1.1 Éléments propres d’un endomorphisme. . . 2

1.2 Obtention d’éléments propres deQ(u)oùQ∈K[X]à partir d’éléments propres deu. . . 2

2 Vecteurs propres et espaces propres d’une matrice. 2 2.1 Endomorphisme canoniquement associée àA∈ Mn(K). . . 2

2.2 Éléments propres d’une matrice . . . 2

2.3 Obtention d’éléments propres deQ(A)oùQ∈K[X]à partir d’éléments propres deA. . . 3

2.4 Recherche pratique des éléments propres d’une matriceA∈ Mn(K). . . 3

2.4.1 Cas des matrices triangulaires. . . 3

2.4.2 Cas des matrices deM2(K). . . 3

2.4.3 Cas général. . . 3

3 Propriétés générales. 4 4 Polynôme annulateur d’un endomorphisme 5 4.1 Définition d’un polynôme annulateur d’un endomorphisme . . . 5

4.2 Existence d’un polynôme annulateur. . . 5

4.3 Utilisation d’un polynôme annulateur. . . 5

5 Polynôme annulateur d’une matrice carrée 5 5.1 Définition d’un polynôme annulateur d’une matrice carrée . . . 5

5.2 Existence d’un polynôme annulateur. . . 5

5.3 Utilisation d’un polynôme annulateur. . . 5

6 Réduction des endomorphismes. 6 6.1 Diagonalisabilité. . . 6

6.2 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité. . . 6

6.3 Condition suffisante de diagonalisabilité. . . 6

7 Réduction des matrices carrées. 6 7.1 Diagonalisabilité. . . 6

7.2 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité. . . 6

7.3 Condition suffisante pour qu’une matrice soit diagonalisable. . . 7

8 Lien entre endomorphisme et matrice. 7 9 Étude de quelques matrices ou endomorphismes particuliers. 7 9.1 Endomorphisme ou matrice n’ayant qu’une valeur propre. . . 7

9.2 Endomorphisme deKn[X]qui n’augmente pas le degré. . . 7

9.3 Matrices stochastiques. . . 8

9.4 Matrices symétriques à coefficients réels . . . 8 10 Application de la diagonalisation au calcul des puissances d’une matrice carrée diagonalisable ou d’un

endomorphisme diagonalisable. 9

11 Quelques questions classiques. 9

Dans tout ce chapitre,Edésigne unK-espace vectoriel non réduit au vecteur nul,

de dimension finie

1 Vecteurs propres et espaces propres d’un endomorphisme .

1.1 Éléments propres d’un endomorphisme.

Définition Soitu∈ L(E).

•On dit queλ∈Kest unevaleur proprede l’endomorphismeusi et seulement si :

∃~x∈E− {~0_E}/u(~x) =λ~x

Un tel vecteur~xest alors appelévecteur propre deuassocié à la valeur propreλ.

Autrement dit,λest valeur propre deusi et seulement si Ker(u−λIdE)6={~0E}c’est-à-dire si et seulement si u−λIdEn’est pas injectif.

•On appellesous-espace propre deuassocié à la valeur propreλl’ensemble constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés àλ, c’est à dire l’ensemble :

E(λ) ={~x∈E|u(~x) =λ~x}=Ker(u−λId_E)

•L’ensemble des valeurs propres deus’appelle lespectredeu, on le note Sp(u). Propriété

Soitu∈ L(E).

•0∈Sp(u) ⇐⇒ Ker(u)6={~0_E}

•Si 0∈Sp(u)alorsE(0) =Ker(u).

•uest injectif ⇐⇒ 06∈Sp(u).

1.2 Obtention d’éléments propres de Q ( u ) où Q ∈ K[ X ] à partir d’éléments propres de u .

Théorème

Soientu∈ L(E),Q∈K[X],−→x ∈Eetλ∈K. Siu(~x) =λ~xalorsQ(u)(~x) =Q(λ)~x.

2 Vecteurs propres et espaces propres d’une matrice.

2.1 Endomorphisme canoniquement associée à A ∈ M

(K).

Définition

SoitA∈ Mn(K). On noteu_Al’endomorphisme deMn,1(K):X∈ Mn,1(K)7−→u_A(X) =AX ∈ Mn,1(K). On dit queu_Aest l’endomorphisme deMn,1(K)canoniquement associé àA.

La matrice de cet endomorphisme dans la base canonique deMn,1(K)estA.

2.2 Éléments propres d’une matrice

Définition

SoitA∈ Mn(K). Les éléments propres deAsont les éléments propres deu_A. En d’autres termes :

•On dit queλ∈Kest unevaleur proprede la matriceAsi et seulement si :

∃X∈ Mn,1(K)− {0}/AX =λX

•Une telle matrice colonneX est alors appeléevecteur proprede la matriceAassocié à la valeur propreλ.

•On appellesous-espace proprede la matriceAassocié à la valeur propreλ le sous-espace vectoriel deMn,1(K)constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés àλc’est-à-dire :

E(λ) ={X ∈ Mn,1(K)|AX =λX}=Ker(A−λI_n)

•On appellespectrede la matriceAl’ensemble Sp(A)constitué des valeurs propres deA.

(on le note aussi Sp_K(A). Sp_R(A)⊂Sp_C(A), mais l’inclusion peut être stricte) Propriétés

SoientA∈ Mn(K)etλ∈K.

•λest une valeur propre de la matriceA⇐⇒Ker(A−λI_n)6={0}.

•λest une valeur propre de la matriceA⇐⇒A−λI_nn’est pas inversible.

•En particulier, la matriceAest inversible si et seulement si 0∈/Sp(A).

•λest une valeur propre de la matriceA⇐⇒rg(A−λI_n)<n.

•Siλ∈Sp(A), alorsE(λ) =Ker(A−λI_n)est un sous-espace vectoriel deMn,1(K)de dimensionn−rg(A−λI_n).

2.3 Obtention d’éléments propres de Q ( A ) où Q ∈ K[ X ] à partir d’éléments propres de A .

Théorème

SoitA∈ Mn(K),Q∈K[X],X ∈ Mn,1(K)etλ∈K. SiAX=λX alorsQ(A)X =Q(λ)X.

2.4 Recherche pratique des éléments propres d’une matrice A ∈ M

(K).

2.4.1 Cas des matrices triangulaires.

Théorème

SiA∈ Mn(K)est triangulaire (supérieure ou inférieure), les valeurs propres deAsont exactement ses éléments diagonaux.

2.4.2 Cas des matrices deM2(K). SoientA=

a b c d

∈ M2(K)etλ∈K.

λest une valeur propre deAsi et seulement si(a−λ)(d−λ)−bc=0.

Exercice 1 Déterminer les éléments propres de la matrice suivante :

A=

3 −5 1 −3

2.4.3 Cas général.

SoitA∈ Mn(K).

•Méthode 1

On utilise le résultat :

λest une valeur propre de la matriceA⇐⇒rg(A−λI_n)<n.

On recherche alors le rang de la matriceA−λI_nen utilisant des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes deA−λI_n.

On noteC₁, . . . ,C_nles colonnes de la matriceA−λI_netL₁, . . . ,L_nles lignes de la matriceA−λI_n. Le rang de la matriceA−λI_nest inchangé par une des opérations élémentaires suivantes :

C_j←−C_j+βC_iaveci6=j.

C_j←−βC_javecβ6=0.

Permutation des colonnes.

L_j←−L_j+βL_iaveci6= j.

L_j←−βL_javecβ6=0.

Permutation des lignes.

Exercice 2 Déterminer les éléments propres des matrices suivantes :

B=







1 1 0

1 1 1

0 −1 1





 , C=







3 −2 −2

−2 3 −2

−2 −2 3







•Méthode 2

On utilise le résultat :

λest une valeur propre de la matriceA⇐⇒Ker(A−λI_n)6={0}. On recherche alors le noyau de la matriceA−λI_n.

Exercice 3 Soit J=



















0 1

0 ... ... (0) ... ... ... ...

0 . . . 0 0 1

1 0 · · · 0



















∈ Mn(C). Déterminer les éléments propres de J .

3 Propriétés générales.

Théorème

Soitu∈ L(E). On suppose queλ1, . . . ,λp(p∈N^?) sontp valeurs propres deudeux à deux distinctes.

Pour touti∈[[1,p]], on noteE(λi)l’espace propre deuassocié àλi. Alors : La sommeE(λ1) +· · ·+E(λp)est directe.

Remarque

Si pour touti∈[[1,p]], on considère une baseBideE(λi)alorsB1∪ · · · ∪ Bpest une famille libre deE.

Corollaire

Une concaténation de familles libres de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes forme une famille libre deE.

En particulier, une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est une famille libre deE.

Théorème

Soitu∈ L(E). Alorsuadmet un nombre fini de valeurs propres. Plus précisément : Card(Sp(u))¶dim(E).

Les sous-espaces propres sont en somme directe et par suite : X

λ∈Sp(u)

dim ker(u−λId_E)¶dim(E).

Théorème

SoitA∈ Mn(K). AlorsAadmet au plusnvaleurs propres distinctes.

Card(Sp_K(A))¶n.

Les sous-espaces propres deAsont en somme directe et par suite : X

λ∈SpK(A)

dim ker(A−λI_n)¶n.

4 Polynôme annulateur d’un endomorphisme

4.1 Définition d’un polynôme annulateur d’un endomorphisme

Définition

Soitu∈ L(E). On dit queQ∈K[X]est unpolynôme annulateur deusi et seulement siQ(u) =0.

Exemples Soitu∈ L(E)

•uest un projecteur si et seulement siX²−X est un polynôme annulateur deu.

•uest une symétrie si et seulement siX²−1 est un polynôme annulateur deu.

•uest une homothétie si et seulement siuadmet un polynôme annulateur de degré 1.

4.2 Existence d’un polynôme annulateur.

Théorème d’existence d’un polynôme annulateur

Tout endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie admet au moins un polynôme annulateur non nul.

4.3 Utilisation d’un polynôme annulateur.

Théorème

SiQest un polynôme annulateur deuetλune valeur propre deu, alorsλest racine deQ.

c’est à dire que :

λ∈Sp(u) =⇒ Q(λ) =0 Attention toutefois, la réciproque est fausse.

5 Polynôme annulateur d’une matrice carrée

5.1 Définition d’un polynôme annulateur d’une matrice carrée

Définition

SoitA∈ Mn(K). On dit queQ∈K[X]est unpolynôme annulateur deAsi et seulement siQ(A) =0.

5.2 Existence d’un polynôme annulateur.

Théorème d’existence d’un polynôme annulateur

Toute matrice deMn(K)admet un polynôme annulateur non nul.

Corollaire

SoitA∈ Mn(C), alorsAadmet au moins une valeur propre complexe.

5.3 Utilisation d’un polynôme annulateur.

Théorème

SoitA∈ Mn(K). SoitP∈K[X].

SiPest un polynôme annulateur deAalors les valeurs propres deAsont parmi les racines deP, c’est à dire que : λ∈Sp(A) =⇒ P(λ) =0

6 Réduction des endomorphismes.

6.1 Diagonalisabilité.

Définition Soitu∈ L(E).

L’endomorphismeuest ditdiagonalisablelorsqu’il existe une baseB deEconstituée exclusivement de vecteurs propres deu.

C’est-à-dire si et seulement si il existe une baseBdeEtelle que Mat_B(u)soit une matrice diagonale.

Remarque

Dans ce cas, la diagonale de cette matrice est constituée de valeurs propres deuécrites dans l’ordre des vecteurs propres de la base.

6.2 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité.

Théorème : condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité Soitu∈ L(E).

•uest diagonalisable⇐⇒E= M

λ∈Sp(u)

ker(u−λId_E)

•uest diagonalisable⇐⇒dim(E) = X

λ∈Sp(u)

dim ker(u−λId_E)

Remarque

•Tout projecteurp∈ L(E)est diagonalisable.

•Toute symétries∈ L(E)est diagonalisable.

6.3 Condition suffisante de diagonalisabilité.

Théorème

Siu∈ L(E)admetn=dim(E)valeurs propres deux à deux distinctes alorsuest diagonalisable et ses sous-espaces propres sont tous de dimension 1.

7 Réduction des matrices carrées.

7.1 Diagonalisabilité.

Théorème et définition

SoitA∈ Mn(K). On noteu_Al’endomorphisme deMn,1(K)canoniquement associé àA.

•Aest diagonalisable ^définition⇐⇒ u_Aest diagonalisable

•Aest diagonalisable⇐⇒Aest semblable à une matrice diagonale.

c’est-à-dire

•Aest diagonalisable si et seulement s’il existe une matricePinversible telle queP⁻¹AP est une matrice diagonale.

Remarque

Les colonnes de Pforment une base deMn,1(K)constituée de vecteurs propres deA.

7.2 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité.

Théorème SoitA∈ Mn(K).

•Aest diagonalisable⇐⇒ Mn,1(K) = M

λ∈Sp(A)

E(λ)

•Aest diagonalisable⇐⇒n= X

λ∈Sp(A)

dim E(λ)

7.3 Condition suffisante pour qu’une matrice soit diagonalisable.

Théorème

Si A∈ Mn(K)admet n valeurs propres deux à deux distinctes alors Aest diagonalisable et ses sous- espaces propres sont tous de dimension 1.

8 Lien entre endomorphisme et matrice.

Théorème :

Eest unK-espace vectoriel de dimensionn∈N^?.Best une base deE.

Soitu∈ L(E). On noteA=Mat_B(u)∈ Mn(K). Alors

•λest valeur propre deu⇐⇒λest valeur propre deA.

•~xest un vecteur propre deuassocié à la valeur propreλ⇐⇒X est un vecteur propre deAassocié à la valeur propreλ. (oùXest la matrice colonne des coordonnées de~xdans la baseB.)

•uest diagonalisable⇐⇒A est diagonalisable dansK. Théorème

Soitu∈ L(E)de matriceAdans la baseB. On suppose queuest diagonalisable dans une base de vecteurs propresB⁰= (e~⁰₁, . . . ,~e⁰_n)associés aux valeurs propres respectivesλ1, . . . ,λn

(non nécessairement deux à deux distinctes). On pose :

D=diag(λ1, . . . ,λn) et P=P_B,B0

Alors :

D=P⁻¹AP ou bien A=P DP⁻¹

Exercice 4 Soit n∈N^?. Soit u:

¨

Rn[X]−→Rn[X]

P7−→P−¹_nP⁰ . Déterminer les éléments propres de u.

u est-il diagonalisable ?

Exercice 5 Soit a∈Rfixé. Soit u:

R3[X]−→R3[X]

P7−→(X−a)P⁰+aP . Déterminer les valeurs propres de u.

u est-il diagonalisable ?

9 Étude de quelques matrices ou endomorphismes particuliers.

9.1 Endomorphisme ou matrice n’ayant qu’une valeur propre.

Propriété

Un endomorhismeudeEn’ayant qu’une seule valeur propreλest diagonalisable si et seulement si il est égal àλId_E

Une matriceAdeMn(K)n’ayant qu’une seule valeur propreλest diagonalisable si et seulement si elle égale àλI_n

9.2 Endomorphisme de K

[ X ] qui n’augmente pas le degré.

Propriété

Soituun endomorphisme deKn[X]tel que :

∀P∈Kn[X] , degu(P)¶degP.

Alors la matrice deudans la base canonique deKn[X]est triangulaire supérieure et par suite sa diagonale fournit les valeurs propres deu.

9.3 Matrices stochastiques.

Exercice 6 On considère l’espace vectorielCⁿ(où n¾2) rapporté à sa base canonique, notéeB= (e₁,e₂, . . . ,e_n). On se propose d’étudier l’ensemble S_ndes matricesstochastiquesd’ordre n, c’est-à-dire des éléments

M= (m_{i j})1¶i,j¶n∈ Mn(C)dont les coefficients sont réels positifs ou nuls et tels que, pour tout nombre entier i appartenant à[[1,n]]:

m_i,1+m_i,2+· · ·+m_i,n=1

(Ces matrices jouent un rôle important, notamment en calcul des probabilités.) 1. Soit V₁la matrice colonne d’ordre n dont les coefficients sont tous égaux à1.

(a) Montrer qu’une matrice M deMn(C)à coefficients réels positifs ou nuls est stochastique si et seulement si M V₁=V₁.

(b) En déduire que, pour tout couple(A,B)d’éléments de S_n, le produit AB appartient encore à S_n, de même que les puissances positives de A et B.

2. On désigne par f un endomorphisme deCⁿdont la matrice M= (m_i,j)dans la baseBest stochastique. Pour tout vecteur x= (x₁,x₂, . . . ,x_n)deCⁿ, on convient de noter :

kxk=max( x₁

, x₂

, . . . , x_n

) On admettra que, pour tout x∈Cⁿ, pour toutλ∈Ckλxk=|λ| kxk.

(a) Établir que, pour tout élément x deCⁿ,kf(x)k¶kxk.

(b) En déduire que les modules de toutes les valeurs propres de f sont inférieurs ou égaux à1.

Montrer que1est valeur propre de f .

9.4 Matrices symétriques à coefficients réels

Théorème

Toute matrice deMn(R)symétrique est diagonalisable dansMn(R).

Exercice 7 Soit n¾2. On considère la matrice J=















1 · · · 1 ... ... 1 ... ... 1 ... ...

1 · · · 1















∈ Mn(R).

1. Montrer que J est diagonalisable.

2. Montrer que J²=nJ . 3. Montrer Sp J={0,n}.

4. Montrer que l’espace propre de J associé à la valeur propre 0 est l’hyperplan deMn,1(R)déquation : x₁+· · ·+x_n=0.

5. Montrer que l’espace propre de J associé à la valeur propre 0 est la droite vectorielle dirigée par











 1 1 ... 1













6. a et b sont deux réels. On considère la matrice M(a,b) =













 a

... (b) (b) ...

a















∈ Mn(R).

(a) Déterminer un polynôme Q∈R1[X]vérifiant M(a,b) =Q(J). (b) En déduire les éléments propres de M(a,b).

10 Application de la diagonalisation au calcul des puissances d’une ma- trice carrée diagonalisable ou d’un endomorphisme diagonalisable.

Théorème : Puissances successives d’une matrice diagonalisable

SoitA∈ Mn(K)une matrice diagonalisable dansKtelle queA=P D P⁻¹oùPest inversible etDest diagonale.

Alors :

∀k∈N,A^k=P D^kP⁻¹

Exercice 8 Soit u∈ L(E).(E est un espace vectoriel surKde dimension finie). On suppose que u admet exactement 2 valeurs propres distinctesαetβet que u est diagonalisable. Ansi

E(α)⊕E(β) =E

On peut donc considérer le projecteur p sur E(α)parallèlement à E(β)et le projecteur q sur E(β)parallèlement à E(α). 1. Déterminer p+q , αp+βq , p◦q et q◦p.

2. Montrer que :

∀n∈N , uⁿ=αⁿp+βⁿq.

11 Quelques questions classiques.

1 Eest un espace vectoriel surKde dimension finien¾2. Soitu∈ L(E)de rang 1.

Montrer queuest diagonalisable si et seulement siu²n’est pas l’endomorphisme nul.

2 Soitn∈N, n¾2. On considère une matriceA∈ Mn(K)de rang 1.

Montrer queAest diagonalisable si et seulement si la trace deAn’est pas nulle.

Exercice 9 Soit n∈N, n¾2.

On considère a₁,· · ·,a_nn nombres complexes non tous nuls.

On pose A=













a₁ a₁ · · · a₁ a₂ a₂ · · · a₂ ... ... ... ... a_n a_n · · · a_n













∈ Mn(C).

Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de A . A est-elle diagonalisable ?

Indication : Remarquer queAest une matrice de rang 1 et écrireAsous la formeC LoùCest une matrice colonne etLune matrice ligne

3 SoitA∈ Mn(K)

Montrer que : Sp(A) =Sp(^tA)(une matrice et sa transposée ont les mêmes valeurs propres)

Soitλ∈Sp(A) =Sp(^tA), montrer que l’espace propre deAassocié à la valeur propreλa la même dimension que l’espace propre de^tAassocié à la valeur propreλ.

4 SoitA∈ Mn(K)diagonalisable. Ainsi :∃P∈ G Ln(K)et(λ1, . . . ,λn)∈Kⁿ/P⁻¹AP=diag(λ1, . . . ,λn). Montrer que Tr(A) =

n

X

i=1

λi.

5 SoitA∈ Mn(K)ayantnvaleurs propres distinctes. SoitM∈ Mn(K)telle queAM=M A.

Montrer que tout vecteur propre deAest un vecteur propre deM.

En déduire qu’il existe une matrice P∈ G Ln(K)telle queP⁻¹AP etP⁻¹M Psoient diagonales.

6 SoitA∈ Mn(K)ayantnvaleurs propres distinctes. SoitM∈ Mn(K)telle queM²=A.

Montrer queAM=M A. En déduire que tout vecteur propre deAest un vecteur propre deM. En déduire qu’il existe une matrice P∈ G Ln(K)telle queP⁻¹AP etP⁻¹M Psoient diagonales.

7 Soitu∈ L(E). SoitDune droite vectorielle deE.

AlorsDest stable paru⇐⇒Dest dirigée par un vecteur propre deu.