Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d’un endomorphisme
2013 – 2014
Référence : Xavier Gourdon,Algèbre (2e édition), Ellipses, 2009, p.195.
SoitE un espace vectoriel de dimension finie.
Soituun endomorphisme dont un polynôme annulateur est : F :=
r
Y
i=1
(X−λi)αi
On décompose 1
F en éléments simples : 1
F =
r
X
i=1
Ui(X) (X−λi)αi D’où :
1 =
r
X
i=1
UiQi où Qi=Y
j6=i
(X−λj)αj (1)
Si on posepi :=UiQi(u), alors pi est le projecteur surEλi := ker(u−λiid)αi parallèlement àM
j6=i
Eλj.
En effet,F divise (X−λi)αiUiQidonc Im(pi)⊂Eλi et, inversement, six∈Eλi, alorsQj(x) = 0 pourj 6=i donc par (1) :
x=
r
X
j=1
UjQj(u)(x) =pi(x)
De plus, sii6=j alorsF diviseQiQj, doncpipj= 0. Par (1), on en déduit : pi =
r
X
j=1
pipj =p2i
1
On peut désormais calculer l’exponentielle deupar sa décomposition de Dun- ford. Pour cela, on pose :
d:=
r
X
i=1
λipi et n:=u−d=
r
X
i=1
(u−λiid)pi
Les projecteurspi étant des polynômes en u,det nle sont aussi et par consé- quent commutent. De plus, lespi commutent et sont diagonalisables donc sont codiagonalisables, doncdest diagonalisable.
Si on poseα:= max
1≤i≤r(αi), on a : nα=
r
X
i=1
(u−λiid)αpi= 0
Doncnest nilpotent etu=d+nest la décomposition de Dunford deu.
On a alors :
exp(u) = exp(d) exp(n)
=
r
X
i=1
eλipi
! r X
i=1
exp(u−λiid)pi
!
=
r
X
i=1
eλi
αi−1
X
p=0
(u−λiid)p p! pi
Application
A:=
1 4 −2
0 6 −3
−1 4 0
Le polynôme caractéristique de A est (X−2)2(X−3). On a doncQ1=X−3 etQ2= (X−2)2.
Pour trouver lesUi, on peut ici faire un algorithme d’Euclide étendu surQ1 et Q2 pour trouver une relation de Bezout. On obtient U1= 1−X etU2 = 1, ce qui donnep1 = (I3−A)(A−3I3) etp2= (A−2I3)2 les projecteurs surE2 et E3respectivement.
On en déduit :
exp(A) =e2(A−I3)p1+e3p2
2
