Partie I. Commutant d’un endomorphisme diagonalisable.

SESSION 2002 E3A

Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques 3 MP

Partie 0. Un exemple.

1. On aM=diag(1, 2, . . . , n). Soit alorsA= (a_i,j)_1≤i,j≤n∈ Mn(C). La matriceAMest la matrice(ja_i,j)_1≤i,j≤n et la matriceMAest la matrice(ia_i,j)_1≤i,j≤n. Par suite,

AM=MA⇔∀(i, j)∈{1, . . . , n}², iai,j=jai,j⇔∀(i, j)∈{1, . . . , n}², (i−j)ai,j =0⇔∀i6=j, ai,j=0.

⇔A∈ Dn(C).

On a montré que

C(M) =D_n(C).

2. Donc immédiatement,

dim(C(M)) =n.

Partie I. Commutant d’un endomorphisme diagonalisable.

1. Soitv∈ C(u). Soienti∈J1, pKet x∈E_λi(u). Puisquevcommute avecu,v commute encore avecf−λ_iIdet (f−λ_iId)(v(x)) =v((f−λ_iId)(x)) =v(0) =0.

Ainsi,∀i∈J1, pK, ∀x∈E, (x∈Eλi(u)⇒v(x)∈Eλi(u))et on a donc montré que siv∈ C(u), chaqueEλi(u)est stable parv.

2. Soiti∈J1, pK.ui est l’homothétie de rapportλi.

3. Siv∈ C(u), d’après 1., pour chaquei, la restrictionv_idevàE_λi(u)est un endomorphisme deE_λi(u). Dans une base adaptée à la somme directeE= ⊕^p

i=1E_λi(u), la matrice deva la forme voulue.

Réciproquement, s’il existe une base adaptée à la somme directeE = ⊕^p

i=1E_λi(u) dans laquelle la matrice de v est de la forme de l’énoncé, chaquevi est un endomorphisme du Eλi(u) correspondant. Comme ui est une homothétie, ui et vi

commutent. Ainsi,v◦uet u◦v coïncident sur chaqueEλi(u) et commeE est somme directe de ces sous-espaces, on a bienu◦v=v◦u.

4. C(u)est donc isomorphe à l’espace des matrices de la forme







V₁ 0

. ..

0 Vp





où∀i∈J1, pK, Vi∈ M_ni(C), lui-même isomorphe àMn1(C)×...× Mnp(C)qui est de dimensionn²₁+...+n²_p.

dim(C(u)) = Xp

i=1

n²_i.

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5. Chaque n_i est supérieur ou égal à 1. Donc∀i∈J1, pK, n²_i ≥n_ipuis dim(C(u)) =

Xp

i=1

n²_i ≥ Xp

i=1

ni=n.

dim(C(u))≥n.

Autre solution.D’après l’inégalité deCauchy-Schwarz, Xp

i=1

1×n_i

!2

≤ Xp

i=1

1²

! _p X

i=1

n²_i

! (∗).

Commeuest diagonalisable, on a Xp

i=1

1×ni=net Xp

i=1

n²_i =dim(C(u))et d’autre part,pest le nombre de valeurs propres deux à deux distinctes ce qui impose1≤p≤n. Donc,

(∗)⇒n²≤p×dim(C(u))⇒dim(C(u))≥ n² p ≥n²

n =n.

Remarque.L’inégalité dim(C(u))≥ n²

p est plus précise que l’inégalité dim(C(u))≥n.

6. Si u est l’endomorphisme de Cⁿ dont la matrice dans la base canonique est la matrice M de la partie 0, u est diagonalisable et dim(C(u)) =n.

Partie II. Commutant d’un endomorphisme nilpotent d’indice 2

1. On a

u²=0⇔∀x∈E, u(u(x)) =0⇔∀x∈E, u(x)∈Keru⇔Imu⊂Keru.

D’après le théorème du rang,

n=dim(Keru) +dim(Imu)≥2dim(Imu) =2r, et donc,

r≤n 2.

2. 1 ère solution.(où l’on redémontre le théorème du rang). Soit (e₁^′, ..., e_r^′) une base de G supplémentaire de Keru dansEet soit(α₁, ...α_r)∈C^r.

Xr

i=1

αiu(e_i^′) =0⇒u Xr

i=1

αie_i^′

!

=0⇒ Xr

i=1

αie_i^′ ∈Keru∩G⇒ Xr

i=1

αie_i^′ =0⇒∀i∈J1, rK, αi=0.

La famille(u(e_i^′))1≤i≤r est donc une famille libre de Imu. D’autre part, en notant(e_r+1^′ , . . . , e_n^′)une base de Ker(u), la famille(e₁^′, . . . , e_n^′)est une base deE(carGest un supplémentaire de Ker(u)) et

Im(u) =Vect(u(e₁^′), . . . , u(e_r^′), u(e_r+1^′ ), . . . , u(e_n^′)) =Vect(u(e₁^′), . . . , u(e_r^′)), ce qui montre que la famille(u(e_i^′))_1≤i≤r est une famille génératrice de Im(u)et finalement que

la famille(u(e_i^′))_1≤i≤r est une base deImu.

2 ème solution. (en supposant acquis l’énoncé général du théorème du rang). On sait que la restriction de u à G, supplémentaire de Ker(u) dansE, réalise un isomorphisme de G sur Im(u). On en déduit que l’image par ude la base (e₁^′, . . . , e_r^′)deG est une base de Im(u). On a de nouveau montré que la famille(u(e_i^′))_1≤i≤rest une base deImu.

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3. SoitG un supplémentaire de KerudansE.G est de dimensionr et (en changeant les notations de l’énoncé) on note (e_n−r+1^′ , . . . , e_n^′)une base deG. Pour1≤i≤r, posons alorse_i^′=u(e_i+(n−r)^′ ).

Puisque1≤i≤r⇒n−r+1≤i+ (n−r)≤n, d’après ce qui précède, la famille(e_i^′)_1≤i≤rest une base de Imu. Puisque Imu⊂Keruet que dim(Keru) =n−r, on peut compléter la famille libre(e_i^′)_1≤i≤rde Keruen une base(e_i^′)1≤i≤n−rde Keru.

Puisque Gest un supplémentaire de Keru,B^′= (e_i^′)1≤i≤n est une base deEet par construction, pour1≤i≤n−r, on au(e_i^′) =0et pourn−r+1≤i≤non au(e_i^′) =e_i−(n−r)^′ . Par suite, dans la baseB^′, la matrice deuest bien de la forme voulue.

4. Les découpages effectués permettent un calcul par blocs :

v∈ C(u)⇔





0 0 Ir

0 0 0 0 0 0









A1 A2 A3

A4 A5 46

A7 A8 A9



=





A1 A2 A3

A4 A5 46

A7 A8 A9









0 0 Ir

0 0 0 0 0 0



.

⇔





A7 A8 A9

0 0 0

0 0 0



=





0 0 A1

0 0 A₄ 0 0 A₇



⇔









A4=0s,r

A7=0r,r

A₈=0_r,s A₉=A₁

.

5. C(u)est donc isomorphe à l’espace des matrices de la forme





A1 A2 A3

0 A5 A6

0 0 A1



. Donc,

dim(C(u)) =r²+rs+r²+s²+sr=2r²+2rs+s²=2r²+2r(n−2r) + (n−2r)²=2r²−2rn+n²

=2 r−n

2 2

+ n² 2 ≥n²

2 .

siuest nilpotent d’indice2, dim(C(u))≥n² 2 .

Partie III. Commutant d’un endomorphisme vérifiant la relation (1)

1. Les polynômes(X−1)et (X−2)²sont premiers entre eux car ces polynômes n’ont pas de racine commune dansC, et le polynôme(X−1)(X−2)²est annulateur de u. D’après le théorème de décomposition des noyaux, on a

E=Ker(u−Id)⊕Ker(u−2Id)²=E1⊕E2.

2. NotonsF la fraction considérée. Il existe trois réelsa,betc tel que F= a

X−1 + b

X−2 + c (X−2)².

• a= lim

x→1(x−1)F(x) = lim

x→1

1

(x−2)² =1.

• c= lim

x→1(x−2)²F(x) = lim

x→2

1 x−1 =1.

• enfin,0= lim

x→+∞xF(x) =a+bet doncb= −a= −1.

1

(X−1)(X−2)² = 1

X−1 − 1

X−2 + 1 (X−2)².

En multipliant les deux membres par(X−1)(X−2)², on obtient

1= (X−2)²+ (X−1)[−(X−2) +1] = (−X+3)(X−1) +1×(X−2)², et les polynômesU= −X+3 etV=1conviennent.

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3. SoitxdansE.

x=Id(x) = [U(u)◦(u−Id) +V(u)◦(u−2Id)²](x) =U(u)◦(u−Id)(x) +V(u)◦(u−2Id)²(x).

Posonsx1=V(u)◦(u−2Id)²(x)etx2=U(u)◦(u−Id)(x). Puisque des polynômes en ucommutent, (u−Id)(x1) = (u−Id)(V(u)◦(u−2Id)²(x)) =V(u)((u−Id)◦(u−2Id)²(x)) =V(u)(0) =0, etx1∈E1. De même,

(u−2Id)²(x₂) = (u−2Id)²(U(u)◦(u−Id)(x)) =U(u)((u−Id)◦(u−2Id)²(x) =U(u)(0) =0, et doncx2∈E2.

On a montré que∀x∈E, U(u)◦(u−Id)(x) =p2(x)et∀x∈E, V(u)◦(u−2Id)²(x) =p1(x)et donc que p1=V(u)◦(u−2Id)²etp2=U(u)◦(u−Id).

4. Il est immédiat que dans une base adaptée à la somme directe E=E1⊕E2, la matrice ded est diag(1, .., 1, 2, ..., 2).

dest donc diagonalisable.

Autre solution : on ap1+p2=Idet donc

(d−Id)◦(d−2Id) = (p₁+2p2−Id)◦(p₁+2p2−2Id) =p2◦(−p₁) =0.

Le polynôme(X−1)(X−2)est à racines simples et annulateur ded. On en déduit que dest diagonalisable.

5. d laisse stableE1 et E2 (cardest un polynôme en u). De plus,d_/E1 =Id_/E1 et d_/E2 =2Id_/E2. Par suite, w_/E1 = u/E1−Id/E1 =0=w²_/E1 etw²_/E2 = (u_/E2−Id/E2)²=0. Les restrictions dew²àE1etE2sont nulles. On en déduit que w²=0et donc quewest nilpotent d’indice au plus 2.

(w=0) ou (w6=0et w²=0).

6. (a)Puisque d et w sont des polynômes en u, tout endomorphisme v commutant avecucommute encore avecd et w. Réciproquement, si un endomorphismevcommute avec detw, il commute avecu=w+d.

∀v∈ L(E), (v∈ C(u)⇔v∈ C(d)etv∈ C(w).

(b)On a déjà vu quew1=w_/E1 =0et quew2=w_/E2=u_/E2−Id_/E2 est un endomorphisme deE2, nilpotent d’indice au plus2. Dans une baseBadaptée à la somme directeE=E1⊕E2 la matrice deE2a la forme désirée.

(c)On a Ker(w2) =E₂∩Ker(u−2Id) =Ker(u−2Id). Par suite, rgN=rgw2=n₂−dim(Ker(u−2Id)).

(d)Sivest dansC(u), vcommute encore avecu−Idet (u−2Id)²et donc laisse stableE1 etE2. Dans B, la matrice de vest bien diagonale par blocs. De plus, matB(u) =

In1 0 0 2In2+N

. Un calcul par blocs montre immédiatement que sivu=uv, alorsV2N=NV2. La réciproque est immédiate.

(e) uest diagonalisable si et seulement si Ker(u−2Id)² = Ker(u−2Id) si et seulement si rgN = 0 (d’après (c)) si et seulement siN=0.

(f )Immédiatement, d’après II. 5.,

dim(C(u)) =n²₁+dim(C(N)) =n²₁+2r²₂−2r₂n₂+n²₂=n²₁+ (n₂−r₂)²+r²₂

=n²₁+ (dim(Ker(u−2Id)))²+ (n2−dim(Ker(u−2Id)))².

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