Sur un théorème général de convergence

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

J.-L.-W.-V. J ENSEN

Sur un théorème général de convergence

Nouvelles annales de mathématiques 3^e série, tome 7 (1888), p. 196-198

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SUR l \ THÉORÈME GÉNÉRAL DE CONVERGENCE;

PAR M. J.-L.-W.-V. JENSEN.

Des recherches que j'ai entreprises en vue d'une géné- ralisation de la théorie de convergence d'une série à termes positifs ont en même temps donné une simplifi- cation imprévue de la présente théorie. Les critères de Cauchy, de Duhamel et Raabe, de Bertrand, etc., peuvent dès lors être exposés en quelques lignes comme simples corollaires d'un théorème général, comme nous le ver- rons immédiatement.

THÉORÈME. — La série à ternies positifs I>un sera convergente, si, à partir d'une certaine valeur du nombre entier et positif n,

( I ) " a > ^ ( I ) n n \ \ > ^ ,

lfn+i

an étant une fonction positive de n et y. une constante positive.

De l'inégalité ( 1 ) en découle une autre

- ( an un —

{ l97 ) d'où il suit

i . . i

Le théorème est donc démontré.

En posant an = i, on a le critère de convergence de Cauchy

Un ^ Un

l > H- OU î— > I -h {JL,

et le reste de la série à partir du terme un sera plus petit que — ui n.

Si, au contraire,

— ~ < i . d'où un<ufl+u

uⁿ est croissant avec rc, et la série sera divergente.

En posant an= n, on a le critère de Duhamel

Un ^ / Un \ . /i Al — I > \X O U Al I >

W 1 \ M+i /

|JL,

et le reste sera plus petit que - nun. Si, au contraire,

A I ( — d'où

7ia,j est croissant avec rc, et la série sera divergente.

Pour an = n log/z, TI log« log log rc, . . . , nous aurons les critères de M. Bertrand.

Étant donnée une série quelconque à termes positifs SM,M il n'y a aucune difficulté à démontrer que Ton peut toujours trouver un an satisfaisant à l'inégalité ( i ) et que l'on peut même choisir an d'une telle manière que ^ — soit divergente. Le théorème en question esl

donc général dans le domaine des séries à termes positifs, aussi bien que le suivant :

THÉORÈME. — La série à termes positifs Sw/2 sera

convergente ) . , . *, . , -.

j. } 7 si. a partir ci une certaine valeur de n, divergente \

aⁿ et p. étant positifs et la série ^ — divergente.

Dans le second cas, qui seul reste à démontrer, on a pour n 5 72',

anUn>ctn>ictl> o u un> — an' i in> . C . Q . F . D .

En général, nous pouvons prendre an = n 1 •> si

"kn reste fini, tandis que bn grandit sans cesse et infini- ment avec //.