Mini DM 3
Diagonalisation d’un endomorphisme
Soit (ei)1≤i≤n la base canonique deCn et soitf l’endomorphisme de Cn d´efini par f(e1) = en, f(e2) = e1, f(e3) = e2, . . . , f(en) =en−1.
1. Donner la matrice A def dans la base canonique.
2. Consid´erons le polynˆome P(X) = Xn − 1. Donner les racines de P sur C, et les repr´esenter dans le plan complexe (on pourra chercher ces racines sous forme exponentielle reiθ).
3. Calculer fn et en d´eduire que f est diagonalisable. Donner les valeurs propres possibles def.
4. Pour chaque racine de λ deP, d´ecrire les solutions de l’´equation Av=λv
d’inconnue v ∈Cn.
En d´eduire le spectre de f, et donner les espaces propres associ´ees.
5. Donner Q∈Mn(C) et D∈Mn(C) diagonale telles que A=QDQ−1.
6. Montrer en calculant det(A−XIn) que le polynˆome caract´eristique def est (−1)nP. Aurait-on pu retrouver ce r´esultat `a l’aide des questions pr´ec´edentes?
7. Etudier le polynˆomeP surR. Peut-on trouverQ∈Mn(R) et D∈Mn(R) diagonale telles queA=QDQ−1.
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