Document compl´ementaire I, 2015-2016 MM1 Step 2 1
1 R´ esoudre l’´ equation de degr´ e 2:
R´esoudreaz2`bz`c“0 dans C: Example: z2´iz`2“0
Etape 1: ´´ Ecrire a, b, c explicitement Example: a“1,b “ ´i, c“2
Etape 2: calculer´ ∆“b2´4˚ paq ˚ pcq
Example: ∆ “b2´4ac“ p´iq2´4˚ p1q ˚ p2q “i2´8“ ´1´8“ ´9
Etape 3: trouver´ δ, une seule racine car´ee de ∆: δ2 “∆
Si ∆ est un nombre r´eel, alors on peut ´ecrire δ directement. Par exem- ple, si ∆“3 on prend δ“?
3, si ∆“ ´3 on prend δ“? 3i.
Si ∆ n’est pas un nombre r´eel, on pose δ“x`yi. On obtient:
x2´y2 “Rep∆q (.)
2xy“Imp∆q (.)
Puis, on prend le module de δ2 et on obtient que
x2`y2 “ |∆| (.) La somme de p1.1q etp1.3q nous donne la valeur dex2. On fixe un seul nombre r´eel x. En suite, on utilise p1.2q pour d´eduire la valeur de y. On obtient alors δ“x`yi.
Example: ∆ “ ´9, c’est un nombre r´eel, donc on prend δ “3i.
Etape 4: calculer les racines de l’´´ equation Finalement, on calcule z1 “ ´b`δ
2a et z2 “ ´b´δ
2a . Si vous avez du temps, oubliez-pas de v´erifier queaz12`bz1`c“0 etaz22`bz2`c“0. Si c’est pas 0 alors vous vous ˆetes tromp´es quelque part!
Example: z1 “ ´ p´iq `3i 2˚1 “ 4i
2 “ 2i et z2 “ ´ p´iq ´3i
2˚1 “ ´2i
2 “
´i. On v´erifie quep2iq2´ip2iq `2“4i2´2i2`2“2i2`2“ ´2`2“0 etp´iq2´ip´iq `2“i2`i2 `2“2i2`2“0
Document compl´ementaire I, 2015-2016 MM1 Step 2 2
2 Exercices:
Ex 1. zpz´iq “iz`2
Etape 1: Simplifier cette ´´ equation:
z2´ “iz`2 (.)
z2´ z´ “0 (.)
Donc a“ ,b “ , c“ .
Etape 2:´
∆“ pbq2´4˚ paq ˚ pcq “ p q2´4˚ p q ˚ p q (.)
“ ` (.)
“ (.)
Etape 3: Trouver un seul´ δ tel que δ2 “∆. (Esc-ce que ∆ est un nom- bre r´eel?) On prend δ “ .
Etape 4:´
z1 “ ´b`δ
2a “ ´ p q`
“ “ , (.)
z2 “ ´b´δ
2a “ “ “ . (.)
Ex 2. z2´2iz´i“0
Etape 1:´ a“ , b“ ,c“ . Etape 2:´
∆“ pbq2´4˚ paq ˚ pcq “ p q2´4˚ p q ˚ p q (.)
“ ` (.)
“ (.)
Etape 3: Trouver un seul´ δ tel que δ2 “∆. (Esc-ce que ∆ est un nom- bre r´eel?) On pose δ “x`yi.
x2´y2 “ (.)
2xy “ (.)
Document compl´ementaire I, 2015-2016 MM1 Step 2 3
On prend le et on obtient:
x2`y2 “ . (.)
Donc x2 “ . On fixex“ et alorsy“ . Etape 4:´
z1 “ ´b`δ
2a “ ´ p q`
“ “ , (.)
z2 “ ´b´δ
2a “ “ “ . (.)
3 Racines de l’unit´ e
1. ´Ecrire les racines carr´es de l’unit´e sous la forme exponentielle puis al- g´ebrique:
e0 “1 et eiπ “ . (.)
2. ´Ecrire les racines cubiques de l’unit´e sous la forme exponentielle et puis alg´ebrique:
“ , “ et “ .
(.) 3. ´Ecrire les 4i`eme racines de l’unit´e sous la forme exponentielle puis al- g´ebrique:
“ , “ , (.)
“ et “ . (.)
4. R´esoudre z3 “w o`u w est un nombre complex donn´e:
D’abord, trouver u tel que u3 “ w. Par exemple, si w “reiθ, on peut prendre u“?3
reiθ3
Puis on a z3 “u3. Donc z{u est une racine cubique de l’unit´e.
On a z{u“1, , ou .
On en d´eduit quez “u,u˚ ou u˚ .
Par exemple, si w“8, on prendu“ . Doncz “ , “
ou “ .
Si w “ i, donc w “ e , on prend u “ e “ cos `isin .
Donc z“ , “ ou “
Document compl´ementaire I, 2015-2016 MM1 Step 2 4
4 Formule de Newton
px`yqn “
n
ÿ
k“0
ˆn k
˙
xkyn´k (.)
Attention! x´y“x` p´yq.
Ex 1: px´yq5 “ px` p´yqq5 “
= .
Ex2: px´iyq3 “
=
Ex3: pix`yq4=
=
5 La chose la plus importante!
Oubliez-pas les parenth`eses!
Oubliez-pas les parenth`eses!
Oubliez-pas les parenth`eses!
