Chapitre 3 - Puissances et Racines

(1)

GYMNASE DE BURIER

Chapitre 3 - Puissances et Racines

Sarah D´ egallier Rochat

(2)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3

= 9

x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

=

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(3)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3

= 9

x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

=

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

= 3

⁵

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(4)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3

= 9

x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

=

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(5)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3

= 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

=

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

= 3

⁵

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(6)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9

x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

=

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(7)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

=

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

= 3

⁵

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(8)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

=

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(9)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

=

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

= 3

⁵

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(10)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

=

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(11)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

=

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

= 3

⁵

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(12)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

=

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(13)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

=

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

= 3

⁵

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(14)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3

= 3

⁵

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

= z }| {

3 · 3 · 3 · z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(15)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(16)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

= z }| {

3 · 3 · 3 · z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(17)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(18)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x

=

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(19)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x =

3+1=4

z }| { x · x · x · x

= x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(20)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x =

3+1=4

z }| { x · x · x · x = x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(21)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x =

3+1=4

z }| { x · x · x · x = x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(22)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x =

3+1=4

z }| { x · x · x · x = x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| {

x

⁴

· x

⁴

(23)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x =

3+1=4

z }| { x · x · x · x = x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3

= 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(24)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x =

3+1=4

z }| { x · x · x · x = x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| {

x

⁴

· x

⁴

(25)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x =

3+1=4

z }| { x · x · x · x = x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(26)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x =

3+1=4

z }| { x · x · x · x = x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| {

x

⁴

· x

⁴

(27)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x =

3+1=4

z }| { x · x · x · x = x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| { x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(28)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x =

3+1=4

z }| { x · x · x · x = x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| {

x

⁴

· x

⁴

(29)

1. Puissances ` a exposants entiers

Soit a ∈

R

et m, n ∈

N

.

R` egle g´ en´ erale Exemple

a

ⁿ

=

n

z }| { a · a · ... · a

3

²

=

2

z}|{ 3 · 3 = 9 x

⁴

=

4

z }| { x · x · x · x

a

ⁿ

· a

^m

= a

^n+m

3

²

· 3

³

=

2

z}|{ 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 =

2+3=5

z }| { 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

⁵

x

³

· x =

3+1=4

z }| { x · x · x · x = x

⁴

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m·n

3

³

2

=

2

z }| { 3

³

· 3

³

=

3

z }| { 3 · 3 · 3 ·

3

z }| { 3 · 3 · 3 = 3

⁶

x

⁴

2

=

2

z }| {

x

⁴

· x

⁴

= x

⁸

(30)

D´ efinition 1.1

Soit a ∈

R

et n ∈

N.

Dans l’expression

aⁿ

,

on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(31)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

N.

Dans l’expression

aⁿ

,

on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

= 2

³

= 8

⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

= 8 8 = 1

Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(32)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

N. Dans l’expressionaⁿ

,

on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(33)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

, on appelle

a

la base de la puissance

et

n

son exposant. Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

= 2

³

= 8

⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

= 8 8 = 1

Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(34)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

, on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(35)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

, on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

= 2

³

= 8

⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

= 8 8 = 1

Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(36)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

, on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(37)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

, on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

= 2

³

= 8

⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

= 8 8 = 1

Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(38)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

, on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

= 2

³

= 8 ⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(39)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

, on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

= 2

³

= 8

⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

= 8 8 = 1

Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(40)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

, on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

= 2

³

= 8 ⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

= 8 8 = 1 Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(41)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

, on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

= 2

³

= 8 ⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

= 8

8 = 1

Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(42)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

, on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

= 2

³

= 8 ⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

= 8

8 = 1 Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(43)

D´ efinition 1.1 Soit a ∈

R

et n ∈

, on appelle

a

la base de la puissance et

n

son exposant.

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

= 2

³

= 8 ⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

= 8

8 = 1 Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(44)

Cas particulier : a

⁰

Que vaut 2

⁰

· 2

³

?

2

⁰

· 2

³

= 2

⁰⁺³

= 2

³

= 8 ⇒ 2

⁰

= 2

³

2

³

= 8

8 = 1 Le mˆ eme raisonnement s’applique pour tous les nombres r´ eels non-nuls :

a⁰ = 1

pour tout

a∈R^∗

Attention :

0⁰

n’est pas d´ efini.

(45)

Soit a, b ∈

R

et n ∈

N.

R` egle g´ en´ erale Exemple

(a · b)

ⁿ

= a

ⁿ

· b

ⁿ

(3·2)²

= (3·2)·(3·2)

= 3·3·2·2 = 3²·2²

5

³

· 2

³

= (5 · 2)

³

= 10

³

= 1000

a b

n

= a

ⁿ

b

ⁿ

(b 6= 0)

2 3

3

=

3

z }| { 2 3 · 2

3 · 2 3 =

3

z }| { 2 · 2 · 2 3 · 3 · 3

| {z }

3

= 2

³

3

³

46

³

23

³

= 46

23

3

= 2

³

= 8

(46)

Soit a, b ∈

R

et n ∈

N.

R` egle g´ en´ erale Exemple

(a · b)

ⁿ

= a

ⁿ

· b

ⁿ

(3·2)²

= (3·2)·(3·2)

5

³

· 2

³

= (5 · 2)

³

= 10

³

= 1000

a b

n

= a

ⁿ

b

ⁿ

(b 6= 0)

2 3

3

=

3

z }| { 2 3 · 2

3 · 2 3 =

3

z }| { 2 · 2 · 2 3 · 3 · 3

| {z }

3

= 2

³

3

³

46

³

23

³

= 46

23

3

= 2

³

= 8

(47)

Soit a, b ∈

R

et n ∈

N.

R` egle g´ en´ erale Exemple

(a · b)

ⁿ

= a

ⁿ

· b

ⁿ

(3·2)²

= (3·2)·(3·2)

= 3·3·2·2 = 3²·2²

5

³

· 2

³

= (5 · 2)

³

= 10

³

= 1000

a b

n

= a

ⁿ

b

ⁿ

(b 6= 0)

2 3

3

=

3

z }| { 2 3 · 2

3 · 2 3 =

3

z }| { 2 · 2 · 2 3 · 3 · 3

| {z }

3

= 2

³

3

³

46

³

23

³

= 46

23

3

= 2

³

= 8

(48)

Soit a, b ∈

R

et n ∈

N.

R` egle g´ en´ erale Exemple

(a · b)

ⁿ

= a

ⁿ

· b

ⁿ

(3·2)² = (3·2)·(3·2)

= 3·3·2·2 = 3²·2²

5

³

· 2

³

= (5 · 2)

³

= 10

³

a b

n

= a

ⁿ

b

ⁿ

(b 6= 0)

2 3

3

=

3

z }| { 2 3 · 2

3 · 2 3 =

3

z }| { 2 · 2 · 2 3 · 3 · 3

| {z }

3

= 2

³

3

³

46

³

23

³

= 46

23

3

= 2

³

= 8

(49)

Soit a, b ∈

R

et n ∈

N.

R` egle g´ en´ erale Exemple

(a · b)

ⁿ

= a

ⁿ

· b

ⁿ

(3·2)² = (3·2)·(3·2) = 3·3·2·2

= 3²·2²

5

³

· 2

³

= (5 · 2)

³

= 10

³

= 1000

a b

n

= a

ⁿ

b

ⁿ

(b 6= 0)

2 3

3

=

3

z }| { 2 3 · 2

3 · 2 3 =

3

z }| { 2 · 2 · 2 3 · 3 · 3

| {z }

3

= 2

³

3

³

46

³

23

³

= 46

23

3

= 2

³

= 8