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Puissances des racines 90` emes de l’unit´ e

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Academic year: 2022

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Exercices Alternatifs

Puissances des racines 90` emes de l’unit´ e

c

°2001 Fr´ed´ericLe Roux(copyleftLDL : Licence pour Documents Libres).

Source:racines-90.tex.

Version imprimable:racines-90.pdf

Nombres complexes.DEUG premi`ere ann´ee. Angle p´edagogique : Exp´erimental.

Objectifs et commentaires. Savoir exp´erimenter pour d´ecouvrir une formule ; un peu de th´eorie des groupes sans le dire...

Exp´erience : un ´etudiant motiv´e peut trouver la formule ; la preuve est beaucoup plus d´elicate.

Soit z un nombre complexe qui est une racine 90`eme de l’unit´e. On consid`ere toutes les puissances positives de z :

z0, z1, z2, z3, . . . Combien obtient-on ainsi de nombres complexes distincts ?

Autrement dit, quel est le cardinal de l’ensemble

Gz={zk|k∈N} ? Suggestion Exp´erimentez !

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− 2 2 2 2 U ( Cm ) 1,0 × 10 × 6,2820 ⎛ ⎞ exp ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − 3 − 1 U ( Cm ) U ( V ) U ( C ) exp C = E = 3,14 × 10 2 mol × L 1 ⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Cm exp Cm V C ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ exp ⎠ E 2 € € €

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