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Puissances des racines 90` emes de l’unit´ e

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Academic year: 2022

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Exercices Alternatifs

Puissances des racines 90` emes de l’unit´ e

°2001 Fr´ed´ericc Le Roux(copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

Source: racines-90.tex.

Version imprimable: racines-90.pdf

Nombres complexes. DEUG premi`ere ann´ee. Angle p´edagogique : Exp´erimental.

Objectifs et commentaires. Savoir exp´erimenter pour d´ecouvrir une formule ; un peu de th´eorie des groupes sans le dire...

Exp´erience : un ´etudiant motiv´e peut trouver la formule ; la preuve est beaucoup plus d´elicate.

Soit z un nombre complexe qui est une racine 90`eme de l’unit´e. On consid`ere toutes les puissances positives dez:

z0, z1, z2, z3, . . . Combien obtient-on ainsi de nombres complexes distincts ?

Autrement dit, quel est le cardinal de l’ensemble Gz ={zk|k∈N} ? Suggestion Exp´erimentez !

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