Exercices Alternatifs
Sommes de racines cinqui` emes de l’unit´ e
°2002 Fr´ed´ericc Le Roux(copyleftLDL : Licence pour Documents Libres).
Source:sommes de racines.tex.
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Nombres complexes.DEUG premi`ere ann´ee. Angle p´edagogique : Exp´erimental.
Objectifs et commentaires. Exp´erimenter, visualiser des sommes de nombres complexes, utiliser les propri´et´es du groupe des racines de l’unit´e (somme nulle, invariance par rotation).
On consid`ere l’ensemble des racines cinqui`emes de l’unit´e. On en choisit certaines (entre une et cinq !), on fait leur somme, et on prend le module de cette somme.
Quel est le plus grand nombre que l’on peut obtenir de cette mani`ere ?
Autrement dit, si U5 d´esigne l’ensemble des racines cinqui`emes de l’unit´e, la question consiste `a calculer le nombre suivant :
Max (¯
¯
¯
¯
¯ X
w∈E
w
¯
¯
¯
¯
¯
avec E⊂U5 )
.
Suggestions
– Rassemblez vos connaissances sur les racinesni`emes de l’unit´e ;
– exp´erimentez : repr´esentez quelques-unes des sommes impliqu´ees dans le probl`eme ; pouvez-vous les calculer ? Faites une conjecture, prouvez la conjecture !
G´en´eralisation G´en´eralisez l’´enonc´e pr´ec´edent. Essayez de deviner la r´eponse au probl`eme g´en´eralis´e. Prouvez votre conjecture...
