A. D´ etermination exp´ erimentale de la conductivit´ e ´ electrique du cuivre

Devoir surveill´ e de Sciences Physiques n

3 du 18-11-2021

— Dur´ee : 4 heures. Solutions —

Calculatrice interdite

Probl` eme n

1 – La loi de Wiedemann-Franz

A. D´ etermination exp´ erimentale de la conductivit´ e ´ electrique du cuivre

1.C’est le plus petit calibre 500 Ω qu’il faut bien sˆur utiliser. L’incertitude est surtout repr´esent´ee par les 3 UR, elle vaut 0,3 Ω. Elle vaut trois fois la mesure ! On a ^∆R_R = 300%. L’ohmm`etre n’est pas adapt´e `a la mesure d’une aussi petite r´esistance. Il nous situe juste l’ordre de grandeur de la valeur `a mesurer. Pour faire une mesure, il faut envisager une autre m´ethode. On peut se r´ef´erer aux deux montages propos´es utilisant un amp`erem`etre et un voltm`etre. Il ne faut pas oublier une m´ethode plutˆot sensible utilisant la structure du pont deWheastone.

2.Il faut raisonner `a l’aide des r´esistances ´equivalentes. Dans le montage 1, on a dans la branche de R une s´erie constitu´ee par R et RA de r´esistance ´equivalente R+RA. On a doncU1 = (R+RA)I1. On en d´eduit que R1 = R+RA, l’erreur syst´ematique est ε1 = <sup>R1</sup><sub>R</sub><sup>−R</sup> = <sup>R</sup><sub>R</sub><sup>A</sup>. Plus la r´esistance R est petite, plus l’erreur syst´ematique est ´elev´ee ! On peut d´ej`a pressentir que le montage 1 n’est pas int´eressant. Pour le second montage, on a une structure parall`ele deRet du voltm`etre de r´esistance interneRV. La r´esistance ´equivalente est _R+R^RRV

V. La tension U2 est reli´ee `a l’intensit´e I2 par la relation : U2 = <sub>R+R</sub><sup>RRV</sup><sub>V</sub>. On peut donc ´ecrire que R2 = <sub>R+R</sub><sup>RRV</sup><sub>V</sub>. L’erreur syst´ematique estε2=<sub>R+R</sub><sup>R</sup><sub>V</sub>. On aε2≃R<sup>R</sup>V pour toutes les r´esistancesR≪RV. Comme la r´esistance interne du voltm`etre est de l’ordre de 10 MΩ, cela laisse pas mal de cas concern´es par l’expression approch´ee.

Dans le cas du montage 2, on peut voir que l’erreur syst´ematique est d’autant plus faible queRest faible ce qui est notre cas assur´ement puisque l’ordre de grandeur a ´et´e fix´e par la mesure avec l’ohmm`etre. Le montage 2 sera plus favorable. Cela sera exact jusqu’`a ce que l’on ait ^R_R^A = _R^R_V et donc jusqu’`a R = √

RARV. Pour

´evaluer cette r´esistance discriminant le choix du montage, il faut poss´eder les valeurs deRAet de RV. Pour la r´esistance interne du voltm`etre, on retiendra RV ≃ 10 MΩ. Pour l’amp`erem`etre, c’est un peu plus compliqu´e car elle change beaucoup plus en fonction du calibre que pour le voltm`etre. Mais, ici, comme la r´esistance `a mesurer est tr`es faible, on peut s’attendre `a ce que l’intensit´e du courant la traversant soit vite de l’ordre de 1 A puisque l’on va mettre une tension de l’ordre de 1 V. Il faut plutˆot raisonner avec le calibre 10 A. On voit que la chute de tension maximale est 0,7 V obtenue donc pour 10 A. On a donc une r´esistance voisine de 0,07 Ω. Pour simplifier, on retiendraRA≃0,1 Ω. On en d´eduit que√

RARV ≃1 kΩ. On a donc bien R≪1 kΩ, cela justifie bien le choix du montage 2. Les graphiques de la figure 1 ont ´et´e r´ealis´es avec les valeurs deRAet deRV retenue ci-dessus. Sont repr´esent´ees : les courbes logεien fonction deRen ´echelle log. On constate maintenant de fa¸con plus visuelle que le montage 2 est `a privil´egier pour les r´esistancesR≤1 kΩ et qu’ensuite c’est le montage 1 qu’il faut r´ealiser.

3. On a R = ^U_I = 0,055 Ω. L’incertitude se calcule en r´ealisant ^∆R_R = q ∆U

U

2

+ ^∆I_I 2

. Pour ´evaluer ∆U comme ∆I, il faut se reporter aux tables fournies extraites des notices des appareils. On trouve que ∆U = 0,2 mV car l’incertitude est domin´ee par 2UR qui correspond `a deux fois la r´esolution. Pour ∆I, les choses sont un peu diff´erentes car comme on travaille `a la moiti´e du calibre 1% de la lecture et 3UR sont du mˆeme ordre de grandeur.

On a donc ∆I= 0,05+0,03 = 0,08 A. On peut calculer (`a la main. . . ) l’incertitude relative sur la r´esistance. On trouve <sup>∆R</sup><sub>R</sub> = 1,5%. En majorant un peu l’incertitude ∆R que l’on calcule, on peut afficher le r´esultat suivant : R= (0,055±0,001) Ω . Dans l’incertitude de mesure deR, il intervient <sup>∆U</sup><sub>U</sub> =<sub>287,5</sub><sup>0,2</sup> et <sup>∆I</sup><sub>I</sub> = <sup>0,08</sup><sub>5,23</sub>. On voit tr`es clairement que c’est le terme sur l’intensit´e qui domine nettement l’incertitude surR car il est beaucoup plus grand que celui surU. Si l’on veut am´eliorer la mesure, il faut commencer par am´eliorer la qualit´e intrins`eque de l’amp`erem`etre. On peut aussi songer `a changer de m´ethode de mesure et utiliser, comme cela a ´et´e ´evoqu´e avant, l’´equilibrage d’un pont deWheastone.

4.La r´esistance ´electrique d’un conducteur cylindrique de longueurL et de section ^πd₄² est donn´ee parR=

1 γ

4L

πd². On en tire que γ= _πd^4L2R = 6×10⁷Ω⁻¹·m⁻¹ .

R(log) logεi

bbbb b

b b b b

b

b

2

-4

ε2Montage-82

ε1

Montage1

1 Ω 10 Ω 1 kΩ

RA

RV

0,01 Ω 1 MΩ

Figure1 – ´Evolution des erreurs syst´ematiques

B. Relation entre conductivit´ es thermique et ´ electrique dans un m´ etal

5.Dans le r´ef´erentiel galil´een du laboratoire, on ´ecrit le principe fondamentalm^d~_dt^v =−e ~E−^mτ~v`a condition de n´egliger le poids ce qui est tr`es classique et justifi´e. En r´egime permanent^d~_dt^v =~0. On en d´eduit que~vlim=−^eτmE.~ Par d´efinition de la densit´e volumique de courant, on a~j=−ne~vlim. Cela conduit `a~j= ^ne_m^2τE. On peut donner~ l’expression de la conductivit´e ´electrique : γ= ^ne_m^2τ .

6.La quantit´e de mouvement `a la datet+ dtest la r´esultante de deux choses possibles : il y a un choc ou bien il n’y a pas de choc. La probabilit´e qu’il se produise un choc entret ett+ dtest donn´ee par ^dt_θ, il y correspond une quantit´e de mouvement~p_i,0⁺. Le probabilit´e qu’il ne se produise pas de choc est l’´ev´enement compl´ementaire du pr´ec´edent, sa probabilit´e est donc 1−^dtθ pour une quantit´e de mouvement~pi(t). Quelle que soit la situation (choc ou non), la variation de la quantit´e de mouvement est donn´ee par le principe de la Dynamique ^d~_dt^pi =f~C

d’o`u d~pi =f~Cdt se r´ealise. On int`egre entre t et t+ dt si l’on peut dire et cela correspond `a une quantit´e de mouvementf~Cdt. On a donc bien la relation : ~pi(t+ dt) =^dt_θ~p_i,0⁺ + 1−^dtθ

~pi(t) +f~Cdt.

7.A partir de la relation de la question pr´ec´edente, on peut ´ecrire que` ^d~_dt^pi+^~p_θⁱ =^~p

+ i,0

θ +f~Ccar on raisonne pour dt→0. On a~p=PN

i=1p~i. Il faut donc sommer la relation diff´erentielle pr´ec´edente suripour arriver `a l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la quantit´e de mouvement sans oublier de diviser parN. On notera quePN

i=1~p_i,0⁺ =~0 car toutes les orientations des vecteurs quantit´e de mouvement juste apr`es un choc sont ´equiprobables. On obtient alors ^d~_dt^p +^~p_θ =f~C. On comprend imm´ediatement que θ=τ .

8.On raisonne entret ett+ dt. Π(t+ dt) est la probabilit´e de ne pas avoir subi de choc depuis la datet= 0 jusqu’`a la date t+ dt. Il faut remplir deux conditions : tout d’abord ne pas avoir subi de choc entre la date t = 0 et la datet. Ensuite, il ne faut pas subir de choc pendant la dur´ee dt qui suit la date t. La probabilit´e de remplir ces deux conditions ind´ependantes est le produit de deux probabilit´es : d’une part Π(t) et 1−<sup>dt</sup>τ. On a donc Π(t+ dt) = Π(t)(1−<sup>dt</sup>τ). On obtient alors l’´equation diff´erentielle <sup>dΠ</sup><sub>dt</sub> +<sup>Π</sup><sub>τ</sub> = 0. La solution est de la forme Π(t) = Aexp−τ<sup>t</sup>. Pour d´eterminer la constante d’int´egration, on dit qu’`a t = 0, la probabilit´e de ne pas avoir subi de choc depuis la date t = 0 est certaine puisque l’´electron vient juste de sortir d’un choc. On a donc Π(t = 0) = 1 = A. La loi de probabilit´e est donc : Π(t) = exp−τ^t . Si le choc se produit entre les dates t et t+ dt, la dur´ee entre deux chocs est t. Mais cet ´ev´enement est r´egi par la probabilit´e que nous venons de d´eterminer Π(t) = exp−τ^t. La dur´ee moyenne qui s’´ecoule entre deux chocs est donc

∆tmoy,choc=R_∞

0 Π(t)dt=R_∞

0 exp−τ^tdt. On trouve ∆tmoy,choc= [−τexp−τ^t]^∞₀ =τ. La dur´ee caract´eristiqueτ repr´esente la dur´ee moyenne qui s’´ecoule entre deux chocs.

9. On fixe une section S `a l’abscisse x. On va compter les ´electrons qui passent `a travers cette section en provenant d’une abscisse inf´erieure `a x. Les ´electrons sont suppos´es tous poss´eder la vitesse v, ceux qui traversent la section S pendant dt sont contenus dans un volume Svdt. La densit´e est n mais la moiti´e des

´electrons vont sur la droite et l’autre moiti´e vers la gauche. Il y aura donc ¹₂nSvdt´electrons qui vont contribuer au transfert d’´energie `a travers S. Il faut connaˆıtre l’´energie de ces ´electrons. Comme le dernier choc subit l’a ´et´e `a la date t−τ, leur ´energie est E(T(x−vτ)) car le choc s’est produit `a une abscisse x−vτ o`u se situait l’´electron avant d’arriver surS. L’apport ´energ´etique est ¹₂nvE(T(x−vτ))Sdt. En divisant parSdt, on obtient bien des W·m⁻², ce qui correspond `a un flux surfacique d’´energie. Il faut compl´eter le raisonnement en

´etudiant les ´electrons qui traversentS dans l’autre sens. Le raisonnement est le mˆeme sauf qu’il faut consid´erer des ´electrons qui se d´eplacent de la droite vers la gauche qui ont subi leur dernier choc `a la date t−τ. Ils proviennent de l’abscissex+vτ. On oriente le flux surfacique dans le sens de l’axe Ox croissant, en comptant positivement l’´energie des ´electrons se d´epla¸cant `a x croissant et n´egativement les autres. On arrive bien `a :

jq = ¹₂nv[E(T(x−vτ))− E(T(x+vτ))] .

10. On va effectuer un d´eveloppement limit´e de l’´energie par rapport `a la temp´erature : E(T(x−vτ)) = E(T(x)) + <sub>dT</sub><sup>dE</sup>(T(x−vτ)−T(x)). Pour exprimer la temp´erature, on effectue encore un d´eveloppement limit´e T(x−vτ) =T(x)−vτ<sup>dT</sup><sub>dx</sub>. On peut donc ´ecrire queE(T(x−vτ)) =E(T(x))−CVvτ<sup>dT</sup><sub>dx</sub>. Pour l’autre terme du flux surfacique, il suffit de changerven−v. On aura doncE(T(x+vτ)) =E(T(x)) +CVvτ<sup>dT</sup><sub>dx</sub>. En combinant ces deux expressions dansjq, on obtientjq = <sup>1</sup><sub>2</sub>nv(−2CVvτ<sup>dT</sup><sub>dx</sub>). Cela conduit `a une loi deFourierdans laquelle jq =−CVnv²τ^dT_dx. Cela nous permet de donner l’expression de la conductivit´e thermique du gaz d’´electrons dans le cuivre : λ=CVnv²τ .

11. Pour un gaz parfait classique monodimensionnel, on a une ´energie cin´etique moyenne ¹₂mv² = ¹₂kBT puisqu’il n’y a qu’un seul degr´e de libert´e quadratique repr´esenter par la vitesse sur l’axeOx. On peut remplacer v²= ^kB_m^T dans l’expression pr´ec´edente mais cela permet aussi de donner l’expression de la capacit´e thermique CV = ¹₂kB. On obtient l’expression de la conductivit´e thermique en fonction de la temp´erature : λ= ^k2B_2m^nτT . 12.Nous avons d´emontr´e queγ=^ne_m^2τ ce qui donne^nτ_m =_e^γ2. On peut donc ´ecrire queλ=_2e^k2B2γT. On identifie le coefficient de Lorenzcomme ´etant : κ=¹₂^k_e^2B2 . Si l’on passe au cas tridimensionnel, il faut faire attention au fait que sur chaque direction, on auraλ=CVnv_i²τ. Par ´equipartition de l’´energie sur les trois directions, la norme de la vitesse quadratique est donc le triple dev_i². On a doncλ= ¹₃CVnv²τ. L’´energie cin´etique moyenne pour une boule dure dans un mouvement `a trois degr´es de libert´e est <sup>1</sup><sub>2</sub>mv<sup>2</sup>= <sup>3</sup><sub>2</sub>kBT. On a en plusCV = <sup>3</sup><sub>2</sub>kB. Le coefficient deLorenz´evolue un peu par rapport `a l’expression unidimensionnelle : κ3D= ³₂^k_e^2B2 .

13.On aǫF =¹₂mv_F²,λ=¹₃CVnv_F²τ etγ=^ne_m^2τ. En utilisant la mˆeme d´emarche qu’`a la question pr´ec´edente et l’expression quantique de la capacit´e thermique, on arrive `a κq =^π₃^2k_e^2B2 .

14.On constate que κq ≃2κ3D . On reste dans le mˆeme ordre de grandeur mais le mod`ele classique n’est pas satisfaisant pour l’´energie carE=³₂kBT ≃ ^ǫ30^F.

C. D´ etermination exp´ erimentale de la conductivit´ e thermique du cuivre

15.Pour mesurer la masse volumique du cuivre, on peut imaginer de peser sur une balance de pr´ecision un morceau de cuivre pour obtenir sa masse et l’incertitude associ´ee. . . Pour mesurer le volume, on peut proposer une mesure par d´eplacement d’eau. Dans un r´ecipient rempli, on plonge le morceau de cuivre et on recueille l’eau qui d´eborde. La mesure du volume de l’eau donnera celle du bloc de cuivre. La masse volumique (moyenne) sera ρ= ^m_V . Pour mesurer la capacit´e thermique massique du cuivre, il faut envisager une mesure tradition- nelle de calorim´etrie. On peut placer dans un calorim`etre un certain volume d’eau `a la temp´erature ambiante que l’on mesure T1. On place un bloc de cuivre dont on connaˆıt la masse dans de l’eau bouillante suffisam- ment longtemps pour que la temp´erature T2 de celui-ci soit uniforme, selon toute vraisemblance 100^◦C. En prenant ce bloc de cuivre rapidement s´ech´e, on le plonge dans le calorim`etre. On enregistre l’´evolution de la temp´erature jusqu’`a ce que l’´equilibre soit atteint `a la temp´eratureT3. Le calorim`etre est suppos´e parfait, la transformation est monobare. On a donc ∆H = 0. Le syst`eme est d´ecompos´e en la capacit´e thermique propre du calorim`etre Γ qu’il faut connaˆıtre (soit une donn´ee pr´ealable, soit une premi`ere exp´erience par m´elange d’eau

`

a des temp´eratures diff´erentes), la capacit´e thermique de l’eau mece et la capacit´e thermique du cuivre mc.

∆H = 0 = (Γ +mece)(T3−T1) +mc(T3−T2) permet de d´eterminer la capacit´e thermique massique du cuivre : c=^(Γ+m_m^ece)T_T^3−T1

2−T3 .

16.On ´etudie un morceau de la plaque compris entrexetx+ dxde sectionS. On ´ecrit le bilan ´energ´etique en puissance ^dE_dt =Pentre−Psort+Pcr´e´ee. Il n’y a que de la conduction, pas de terme de cr´eation ou de disparition Pcr´e´ee= 0. La puissance qui entre correspond au flux de conduction enx`a la datet Pentre =jcond(x, t)S, celle qui sort est Psort =jcond(x+ dx, t)S. La capacit´e thermique du syst`eme estρcSdx. On peut donc ´ecrire que

ρc^∂T_∂tSdx=jcond(x, t)S−jcond(x+dx, t)S. On d´eduit de cette ´equation le bilan local d’´energie : ^∂j_∂x^cond+ρc^∂T_∂t = 0. La loi de Fourierpermet d’´ecrire que jcond =−λ^∂T_∂x. Cela conduit `a l’´equation de diffusion thermique :

∂²T

∂x² = _D^{1 ∂T}_∂t avec un coefficient de diffusion thermiqueD= _ρc^λ.

17.Les d´erivations partielles conduisent `a ´ecrire que <sup>∂T</sup><sub>∂t</sub> =f(x)<sup>dg</sup><sub>dt</sub> et <sup>∂</sup><sub>∂x</sub><sup>2T</sup>2 = <sup>d</sup><sub>dx</sub><sup>2f</sup>2g(t). En s´eparant les variables, on obtient l’´egalit´e entre une fonction du temps et une fonction de x: D<sub>f(x)</sub><sup>1 d</sup><sub>dx</sub><sup>2f</sup>2 = <sub>g(t)</sub><sup>1 dg</sup><sub>dt</sub>. Cette ´egalit´e doit ˆetre vraie∀xet ∀t. Les deux membres ne peuvent donc qu’ˆetre ´egaux `a la mˆeme constante que l’on noteK. On obtient les deux ´equations diff´erentielles : ^dg_dt−Kg(t) = 0 et ^d_dx^2f2 −^KDf(x) = 0 .

18. L’´equation temporelle ne peut pas proposer de solution divergente du temps, ni non plus de solution oscillante. Ce serait contraire au sens physique qui veut que, sans pertes, avec un apport d’´energie va tendre vers une temp´erature d’´equilibre. La constanteK est forc´ement un r´eel n´egatif que l’on poseraK=−α∈R⁺. La solution est de la formeg(t) = exp−αten reportant l’amplitude dimensionn´ee sur la fonction f(x). Dans ces conditions, l’´equation diff´erentielle spatiale devient ^d_dx^2f2 +_D^αf(x) = 0. On posek ∈Rtel quek² = _D^α. Les solutions sont de la formef(x) =Acoskx+Bsinkx. La solution est de la formeT(x, t) = exp−αt(Acoskx+ Bsinkx) +Tmoy o`u Tf correspond `a la temp´erature finaleTf que prendra la plaque. En effet, elle re¸coit une certaine ´energie fournie par le flash et on suppose qu’il n’y a aucune perte vis-`a-vis de l’ext´erieur. La temp´erature finale correspond `a la moyenne du profil temp´erature `a la datet= 0 juste apr`es le flash. Notre ´etude ne porte que sur de la conduction thermique cons´ecutive au gradient de temp´erature dans la plaque. Avec le mod`ele propos´e, le gradient est infini en x=δet nul ailleurs, c’est un pic deDiraccons´equence du mod`ele de temp´erature en marche d’escalier. Quoi qu’il en soit, on a Tf = _L¹ RL

0 T(x,0)dx= _L¹ Rδ 0

ΓL

δ dx= Γ. La forme de la solution est donc provisoirementT(x, t) = Γ + exp−αt(Acoskx+ sinkx). Comme nous allons le comprendre, cette solution n’est pas satisfaisante. En effet, si l’on se place `a la date t = 0, on aT(x,0) = Γ +Acoskx+Bsinkx. Cette solution est incapable de repr´esenter une marche d’escalier. Il faut encore progresser dans la s´election de la solution dans l’ensemble de la famille des solutions. Commen¸cons par les conditions aux limites. La plaque est suppos´ee isol´ee sur toutes ses faces. On a doncjcond(x= 0, t) =jcond(x=L, t) = 0∀t. En utilisant la loi de Fourier, cela correspond `a ^∂T_∂x

x=0= 0 et ^∂T_∂x

x=L= 0. Or,^∂T_∂x = exp−αt(−Aksinkx+Bkcoskx). La premi`ere

´equation conduit `aB = 0. La forme de notre solution test ´evolue et devientT(x, t) = Γ +Acoskx. Passons maintenant `a la seconde condition aux limites enx=L. On obtient−exp−αtAksinkL= 0. ChoisirA= 0 n’a aucun int´erˆet physique puisque la solution se r´esumerait `a la temp´erature finale Γ. Il faut donc que sinkL= 0.

Cette condition am`ene une quantification kL=nπ avecn∈N<sup>∗</sup>. On a donck= <sup>nπ</sup><sub>L</sub> etα=Dk<sup>2</sup><sub>n</sub> = <sup>n2</sup><sub>L</sub><sup>π</sup>2<sup>2D</sup>. La forme de la solution ´evolue pour ˆetre maintenant : T(x, t) = Γ +Anexp−<sup>n2π</sup>L<sup>22Dt</sup>cos<sup>nπx</sup><sub>L</sub> pour ndonn´e. On a l’impression de ne pas avoir progress´e car la solutionT(x,0) ne permet toujours pas de repr´esenter le profil de temp´erature `a t= 0. Mais grˆace `a la lin´earit´e de l’´equation de diffusion thermique et `a la th´eorie des s´eries de Fourier, on sait qu’en superposant,∀n∈N∗, la solution pr´ec´edente on peut repr´esenter la marche d’escalier du profil initial de temp´erature. La forme de la solution est donc : T(x, t) = Γ +P_∞

n=1Anexp−^n2πL^22Dtcos^nπx_L . 19.Nous avons d´emontr´e `a la question pr´ec´edente que wn= 0 ainsi que kn= <sup>nπ</sup><sub>L</sub> et αn =<sup>n2</sup><sub>L</sub><sup>π</sup>2<sup>2D</sup> . 20.On se place `a la datet= 0 pour laquelleT(x,0) = Γ +P_∞

n=1Ancos^nπx_L . Il faut calculer les coefficients de la s´erie deFourieren se servant du formulaire fourni ou de ses propres connaissances. Pour y parvenir, il faut d´eterminer la p´eriode de la fonctionT(x,0), c’est ´evidemment la plus basse fr´equence qui fixe la p´eriode ce que l’on appelle le fondamental qui correspond `a n = 1. On doit donc examiner cos<sup>πx</sup><sub>L</sub> = cos<sup>2πx</sup><sub>2L</sub>. Il est alors ´evident que la p´eriode est 2L. Le calcul des coefficients de la s´erie deFourierest donc men´e `a partir de An = _2L² Rx0+2L

x0 T(x,0) cos^nπx_L dx. La s´erie deFourier est paire en x, il est int´eressant de choisir x0 =−L pour calculerAn selon la formuleAn= _L¹RL

−LT(x,0) cos^nπx_L dx. Une difficult´e survient li´e au fait que la plaque poss`ede une extensionLselonxet non pas 2L. On prolonge donc la fonctionT(x,0) par parit´e sur [−L,0] pour obtenir la fonction ˜T(x,0) qui est un cr´eneau d’amplitude ^ΓL_δ dans [−δ, δ] et nulle ailleurs.T(x,0) cos^nπx_L est une fonction paire, son int´egrale sur [−L, L] est le double de son int´egrale sur [0, L]. On peut donc ´ecrire que An = _L²RL

0 T(x,0) cos^nπx_L dx= _L²Rδ 0

ΓL

δ cos^nπx_L dx. Le calcul est simple : An = ^2Γ_δ [_nπ^L sin^nπx_L ]^δ₀. On peut donc conclure que : An = 2Γ^sinnπδ^nπδL

L

.

21.Dans un d´eveloppement en s´erie de Fourier, il est classique que l’amplitude des harmoniques de rang

´elev´e soit d´ecroissante avecn, c’est bien sˆur le cas ici. Pour le physicien, seules les premi`eres harmoniques vont avoir de l’int´erˆet.nsera au maximum de quelques unit´es. Dans ces conditions et avecδ≪L, on peut proposer de consid´erer que ^sinnπδ^nπδL

L ≃ 1. Cela simplifie pas mal l’expression de la loi de temp´erature. Si l’on se place en x = L, on aura cos^nπx_L = cosnπ = (−1)ⁿ. On peut donc facilement conclure que T(L, t) ≃ Γζ(t) avec

ζ(t) = [1 + 2P_∞

n=1(−1)ⁿ exp(−αnt)] .

22.Il faut rechercherζ= ¹₂ sur le graphique propos´e. On peut voir que cela correspond `a α1t1/2= 1,4 . 23. Nous avons d´emontr´e que α1 = <sup>π</sup><sub>L</sub><sup>2D</sup>2 = <sub>t</sub><sup>1,4</sup><sub>1/2</sub>. Comme D = <sub>ρc</sub><sup>λ</sup>, on peut ´ecrire que λ = <sup>1,4ρcL</sup><sub>π</sub>2t1/2<sup>2</sup>. Sur le graphique du flash lumineux, on peut voir que le maximum deT(L, t) est de 7ua. On peut supposer que la baisse ensuite de la temp´erature est li´ee aux pertes que l’on a n´eglig´ees. Cela veut dire que le rep´erage det1/2doit ˆetre effectu´e pour une temp´erature de 3,5ua. Cela se produit `a la date 60 ms. Comme le flash a eu lieu `a la date 48 ms, on peut d´eterminert1/2 = 12 ms. L’application num´erique permet d’arriver `a λ= 410 W·m⁻¹·K⁻¹ . Cette valeur num´erique est tout `a fait conforme `a la valeur de la conductivit´e thermique du cuivre que l’on trouve dans la litt´erature.

24. Nous avons trouv´e γ = 6×10⁷Ω⁻¹·m⁻¹ et λ = 410 W·m⁻¹ ·K⁻¹. Avec T = 300 K, on trouve κ= 2,3×10⁻⁸V²· K⁻² . Si l’on prend le mod`ele quantique que nous avons d´eclar´e adapt´e, on trouve κq =

π² 3

k²_B

e² = 2,5×10⁻⁸V²· K⁻². L’accord est tout `a fait satisfaisant.

Probl` eme n

2 – Moteur thermoacoustique

A. Onde sonore dans un tube ferm´ e

1.Le mod`ele est celui d’une onde stationnaire, comme on pouvait s’y attendre. La recherche des modes propres s’effectue en utilisant les conditions aux limites du tube de gaz. Les couches d’air situ´ees enx= 0 et enx=Lne peuvent pas se d´eplacer puisque le tube est ferm´e `a ses deux extr´emit´es. On a doncu(x= 0, t) =u(x=L, t) = 0

∀t. La condition enx= 0 est v´erifi´ee par la forme propos´ee. Par contre, enx=L, on obtientasinkLcosωt= 0 valable `a toute date. Cela impose que sinkL= 0 et donckL=nπavecn∈N<sup>∗</sup>. Le vecteur d’onde v´erifie donc la relationk=n<sup>π</sup><sub>L</sub> = <sup>2π</sup><sub>λn</sub> o`u λn est la longueur d’onde du mode propren. On en d´eduit que λn = ^2L_n . La plus grande longueur d’onde correspond au mode propre pour lequel on an= 1. On a donc λmax= 2L etk= ^π_L.

2.Le volume de la tranche d’air ´etudi´ee est `a l’´equilibre, en l’absence d’onde sonore,V0=S∆x. Sa limite situ´ee enxse d´eplace deu(x, t) alors que celle situ´ee enx+ ∆xse d´eplace deu(x+ ∆x, t). Le volume de la couche d’air varie et s’exprime selonV(x, t) =S(∆x+u(x+ ∆x, t)−u(x, t)) =V0+Sacosωt(sink(x+ ∆x)−sinkx). On d´eveloppe sink(x+∆x) = sinkxcosk∆x+coskxsink∆x. Commek=<sub>L</sub><sup>π</sup>, on peut constater quek∆x= <sup>π∆x</sup><sub>L</sub> . Or, nous savons que ∆x≪L. On peut effectuer un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 pour ´ecrire que cosk∆x≃1 et sink∆x ≃ k∆x. L’expression du volume ´evolue pour devenir : V(x, t) = V0+Sacosωt k∆xcoskx. On peut ´ecrire cette expression selon V(x, t) =V0+V0kacoskxcosωt. On peut identifier l’expression du volume demand´ee : V1(x) =V0kacoskx.

3.On consid`ere toujours la tranche de volumeV0 au repos et donc de massem=ρ0V0. On n´eglige toutes les forces autres que celles de pression exerc´ees sur ses deux extr´emit´es. On applique la relation de la Dynamique dans le r´ef´erentiel du laboratoire o`u le tube est au repos que l’on consid`ere comme galil´een. Enx, la couche d’air subit une force de pression orient´ee dans le sens +~ex li´ee `a la pressionp(x, t). Enx+ ∆x, la force est orient´ee dans le sens −~ex et due `a la pressionp(x+ ∆x, t). L’acc´el´eration de la tranche d’air est la d´eriv´ee seconde de son d´eplacement. On a donc ρ0V0∂²u

∂t² = S(p0−p1(x) cosωt)−S(p0−p1(x+ ∆x) cosωt). On en d´eduit que

−ρ0V0ω²asinkxcosωt=S(p1(x+ ∆x)−p1(x)) cosωt. Cette ´equation ´etant valable quel que soitt et comme

∆x repr´esente une tr`es fine couche d’air, on peut assimiler le taux de variation et la d´eriv´ee pour ´ecrire que

−ρ0V0ω²asinkx = S^dp_dx¹∆x= V0dp1

dx. On a donc ^dp_dx¹ = −ρ0ω²asinkx. Cette ´equation diff´erentielle s’int`egre selonp1(x) =ρ0ω²

k acoskx+ Cte. On sait que le d´eplacement de la couche d’air est nul enx= 0, par cons´equent la surpression acoustique doit ˆetre maximale. Il faut donc prendre Cte = 0. On en d´eduit l’expression de la surpression acoustique : p1(x) =ρ0ω²

k acoskx.

4.La loi de Laplaceest pV^γ = Cte. On la diff´erentie de fa¸con logarithmique et on arrive `a ^dp_p +γ^dV_V = 0.

Il faut traiter cette ´equation `a l’ordre le plus bas : on prendV =V0 et p=p0. Pour les variations dpet dV, on ne prend en compte que les termes variables en −p1(x) cosωt et V1(x) cosωt. Cela nous permet d’´ecrire que −^p1p^(x)0 +γ^V1_V^(x)

0 = 0. Or, nous avons vu que V1(x) = V0kacoskx et p1(x) = ρ0ω²a

k coskx. On a donc ρ0ω²a

k 1

p0 = γka. Apr`es simplification, on arrive `a ^ω_k2² = ^γp_ρ0⁰. Comme l’onde ´evolue selon le mod`ele id´eal de D’Alembert, la relation de dispersion est de la forme k²= ^ω_c2². On peut donc identifier la c´el´erit´e des ondes acoustiques : c=q_γp

0

ρ0 .

5.On utilise encore la loi deLaplaceen privil´egiant les variablesT etV. Grˆace `apV<sup>γ</sup> = Cte et la loi des gaz parfaitsP V =nRT, on peut donner la forme ´equivalenteT V<sup>γ−1</sup> = Cte’. On pratique de la mˆeme fa¸con qu’`a la question pr´ec´edente en diff´erentiant ^dT_T + (γ−1)^dV_V = 0. Cette relation devient, toujours au premier ordre,

T1(x)

T0 = (γ−1)^V1_V^(x)

0 . On peut donc obtenir la forme de l’amplitude de variation de la temp´erature le long du tube : T1(x) =T0(γ−1)kacoskx.

6.Enx= 0 etx=L, les couches sont fortement comprim´ees (et d´etendues. . . ). Cela engendre la plus grande variation de temp´erature entre les deux instants s´epar´es par une demi-p´eriode temporelle. On a aux points A et C une variation de temp´erature ∆T = 2T0(γ−1)^πa_L. Au contraire au point B, la couche d’air ne fait que se d´eplacer sans ˆetre comprim´ee ou d´etendue, on a ∆T = 0. On peut conclure qu’ en B la temp´erature restera la mˆeme . En A et C, il y a en permanence des compressions et des d´etentes du fluide. Les ph´enom`enes d’irr´eversibilit´e qui en d´ecoulent vont certainement faire augmenter la temp´erature locale du tube, un peu comme lorsque l’on utilise une pompe `a v´elo, l’extr´emit´e basse de la pompe voit sa temp´erature augmenter sous l’effet des irr´eversibilit´es des compressions de l’air que l’on admet dans la pompe.

B. Amplification des ondes sonores induite par contact thermique externe

7.Enx0=L/4, on akx0= ^π_L^L₄ =^π₄. Le d´eplacement de la couche d’air est donn´e paru1(x) =asinkx0=√^a 2. On a doncTenv(t) =T0−^√a₂^τℓcosωt. On en d´eduit que : Tst=_ℓ^aτ√

2 . 8. Il faut que Tst ≥ T0(γ −1)kacoskx0. Cela permet d’´ecrire que _ℓ^aτ√

2 ≥ T0(γ −1)_L^πa√

2. On aboutit `a τ≥T0(γ−1)^πℓ_L. On peut en d´eduire l’amplitude critique de temp´erature demand´ee : τcr=T0(γ−1)kℓ .

9. On ´ecrit le premier principe de la Thermodynamique appliqu´e `a une transformation infinit´esimale de la tranche de gaz. On a dU = δQ+δW en l’absence d’´energie cin´etique macroscopique et d’´energie potentielle li´ee aux forces ext´erieures. Le travail ´el´ementaire est envisag´e dans une transformation r´eversibleδW =−pdV, la variation d’´energie interne s’exprime avec la capacit´e thermique `a volume constant puisque le gaz est parfait dU = CVdT = _γ^nR₋₁dT. On a donc δQ = _γ^nR₋₁dT +pdV. La loi des gaz parfaits dit que nRT = pV que l’on diff´erentie nRdT = d(pV) = pdV +Vdp. En utilisant les deux relations pr´ec´edentes, on obtient δQ =

1

γ−1(Vdp+γpdV). On peut passer `a la relation demand´ee, par unit´e de temps, en travaillant toujours `a l’ordre le plus bas ce qui consiste, ici, `a ´ecrire quep=p0etV =V0. On arrive finalement `a ^δQ_dt = _γ−¹₁

V0dp

dt+γp0dV dt

.

10. On a ^δQ_dt = −βV0(Tst−T1) cosωt. On calcule les d´eriv´ees utiles ^dp_dt = paωcosωt+pbωsinωt et ^dV_dt = Vaωcosωt−Vbωsinωt. On peut en d´eduire l’expression de la puissance thermique transf´er´ee ^δQ_dt =_γ−¹₁((V0pa+ γp0Va)ωcosωt+ (V0pb−γp0Vb)ωsinωt). On compare les deux expressions du transfert thermique par unit´e de temps, l’´egalit´e entre elles doit ˆetre vraie `a toute date. Cela conduit `a deux relations :γVbp0=pbV0 et V0pa+ γp0Va =−^(γ−1)βVω ⁰(Tst−T1). On utilise aussi Tst= ^aτ

ℓ√

2 et k= _T ^τcr

0(γ−1)ℓ, cela permet d’´ecrire queT1 = ^aτcr

ℓ√ 2. Apr`es calcul, on obtient les deux expressions demand´ees : Vb= _γp^pb

0V0 et Va =−γp^V00(^(γ_ωℓ^−1)βa√

2 (τ−τcr) +pa) . 11.Le travail ´el´ementaire estδWproduit=δWpr=−δW =pdV =p^dV_dtdtqu’il va falloir, `a la fin du calcul, int´e- grer sur une p´eriodeTω= ^2π_ω. Pour obtenir le travail par unit´e de volume, il faut encore diviser par le volume de la tranche de gaz consid´er´eeV0=S∆x. On a doncWpr=R2π/ω

0 (p0+pasinωt−pbcosωt)(Vaωcosωt−Vbωsinωt)dt.

Dans ce calcul, on retrouveR

sinωtdt =R

cosωtdt= 0 sur une p´eriode et R

sin²ωtdt= R

cos²ωtdt = _ω^π. On trouveWpr =−(paVb+pbVa)π d’o`u le travail par unit´e de volume w =−(paVb+pbVa)_V^π

0. Pour tout le gaz affect´e par les lamelles entre la source chaude et la source froide, il faut multiplier par son volume Sℓ. On obtient donc Wtot = −(paVb +pbVa)^πSℓ_V

0 . On utilise maintenant les expressions des volumes Va et Vb d´eter- min´ees avant. On arrive dans un premier temps `a l’expression Wtot = _γp^πS

0pb(γ−1)aβ ω√

2 (τ−τcr). Ensuite, il faut

´eliminerpbde cette expression en le rempla¸cant par la pressionp1(x0) puisque l’´enonc´e nous incite `a ´ecrire que la pression reste assimilable `a celle de l’onde stationnaire sans la pr´esence des sources chaude et froide. On a donc pb = p1(x0) = ρ0ω²a

k√

2. En utilisant le fait que ^ω_k²2 = c² = ^γp_ρ⁰

0 , on peut aboutir `a l’expression voulue : Wtot= _2ω^π(γ−1)βka²S(τ−τcr) .

12. On a Qtot = R

−δQ. Pour faire le calcul, il est important de consid´erer une p´eriode temporelle ^2π_ω mais aussi de prendre en compte le d´eplacement u(x0, t) = √^a

2cosωt. On a donc Qtot = R2π/ω

0 βV0(Tst− T1) cosωt_∆x^a√

2cosωtdt. On trouve Qtot=_2ω^{π βa}_ℓ²S(τ−τcr) .

13.Le rendementηd’un moteur correspond au rapport de l’´energie utile `a savoir le travail produit sur l’´energie coˆuteuse, c’est-`a-dire l’´energie fournie par la source chaude. Dans notre cas, il s’agit deWtot et deQtot. On a donc η = ^W_Qtot^tot = (γ−1)kℓ. Nous avons d´emontr´e que τcr = T0(γ−1)kℓ. On peut en d´eduire une premi`ere expression du rendement :η = <sup>τ</sup><sub>T</sub><sup>cr</sup><sub>0</sub>. Le rendement de Carnot est ηc = <sup>TH</sup><sub>T</sub><sup>−</sup><sub>H</sub><sup>TC</sup> = <sub>T</sub><sup>τ</sup><sub>H</sub>. Or,TH =T0+<sup>τ</sup><sub>2</sub>. On en d´eduit queTH= <sub>η</sub><sup>τ</sup><sub>c</sub>. On a donc <sub>η</sub><sup>τ</sup><sub>c</sub> =T0+<sup>τ</sup><sub>2</sub> d’o`uT0=τ(_η¹_c−¹2) =τ²_2η^−η_c^c. Cela permet de conclure sur le rendement du moteur thermoacoustique : η=^τ_τ^cr₂^2η_−η^c

c . Ce rendement est n´ecessairement inf´erieur `a 1 puisque l’on a d’une partτ > τcr pour qu’il y ait des transferts thermiques de la source chaude vers la source froide. Le terme ₂^2ηc

−ηc est aussi inf´erieur `a 1 puisque ηc= _T^τ

H ≃ T^τ0 carτ ≪T0. On a donc bien ηc <1.