Exercice I - Mesure de la r´ esistance d’un amp` erem` etre

INSA de Rouen - STPI1 - E.C. P3

Correction de l’I.S. de P3 du 3 novembre 2015

Exercice I - Mesure de la r´ esistance d’un amp` erem` etre

I.1.a) D’apr`es la loi des maillles que l’on applique au circuit ci-contre (le sens du courant i0 a ´et´e indiqu´e, les fl`eches de tension repr´esent´ees, et un sens arbitraire de parcours de la maille a ´et´e choisi), on obtient E−R0i0−Rai0= 0

ce qui donne finalement i0 = E R0+Ra

I.1.b)R_a est inconnue, mais la valeur du couranti₀ est maxi- mum pourR_a= 0.

Quelle que soit la valeur deR_a, on a donci₀ ≤ E R0

La puissance absorb´ee par la r´esistanceR₀ vautP(R₀) =R₀i²₀

Avec les valeurs num´eriques donn´ees i₀ <50 mA (=50 mA pourR_a= 0) doncP(R₀)<0,25 W.

Le meilleur choix est donc (100 Ω ; 0,25 W).

I.1.c)Le couranti0 vaut au maximum 50 mA , ce qui est bien inf´erieur `a 200 mA ; les limites de fonctionnement du g´en´erateur ne sont donc pas d´epass´ees.

I.1.d)Il faut que le couranti₀ ne d´epende pas de la valeur deR_aet donc R_aR₀ , ce qui donne finalement i0 = E

R₀

I.2.a) Il y a troisvaleurs de potentiels dans ce circuit : VA, VB(=VC) et VE(=VF =VD)

I.2.b) Ce circuit ne contient qu’un g´en´erateur, puisque E > 0 on a donc V_A > V_F. Le poten- tiel d´ecroit `a l’ext´erieur des g´en´erateurs, de la borne positive `a la borne n´egative, on a donc :

VA> VB > VD

I.2.c)Le courant descend les potentiels `a l’ext´erieur des g´en´erateurs, le courant fl´ech´e dans le sens conventionnel descend les potentiels. Les sens des courants sont les suivants : de E vers F vers A vers B, de B vers E et de C vers D.

I.2.d)Utilisons le th´eor`eme de l’´equivalence Th´evenin-Norton :

avec G_T = 1 RT

= 1 R0

+ 1

R =G₀+G (association de r´esistances en parall`ele)

Plusieurs m´ethodes permettent de d´eterminer le courantiadans l’amp`erem`etre. Une loi des mailles sur le dernier circuit, ou un pont diviseur de courant sur l’avant dernier donne :

1

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ia

E/R₀ = Ga

G+G₀+G_a ce qui s’´ecrit encore :ia=G0E× Ga

G+G₀+G_a et finalement : i_a= E

R₀ × 1/R_a

1 R+ _R¹

0 +_R¹

a

Analyse dimensionnelle :

"

E

R₀ × 1/Ra 1

R+ _R¹

0 +_R¹

a

#

= [E]

[R]×[G]

[G] = [E]

[R] = [I] ce qui coh´erent cari_a est l’intensit´e d’un courant.

L’expression trouv´ee est donc homog`ene.

I.3.a) On a RR0 ⇔GG0 ce qui donneia=G0E× Ga

G+Ga

I.3.b)i_a= i0

2 ⇔G₀E× Ga

G+G_a = G0E

2 ⇔ Ga

G+G_a = 1

2 ⇔G=G_a et donc finalement R=R_a I.3.c) On r´ealise le circuit ci-dessus. On mesure tout d’abord le courant i₀ lorsque l’interrupteur K est ouvert. Ensuite, on ferme l’interrupteur et on r`egle la r´esistance variableR de fa¸con `a ce que l’on mesure un courant i_a=i₀/2 avec l’amp`erem`etre. On a alorsR=R_a.

Exercice II - Incertitudes

II1)Une incertitude ´evalue uneerreur al´eatoire.

II2)On utilise la formule donnant l’incertitude sur une s´erie de mesures :

∆R= 2s_R

√n o`us_Rest l’estimateur de l’´ecart-type de la s´erie de mesures etnle nombre de mesures.

AN : ∆R= 20,8252

√

14 = 0,44109Ω. On garde ∆R= 0,5Ω car une incertitude s’arrondit `a un chiffre significatif par exc`es. Il s’agit d’une incertitude de r´ep´etabilit´e.

II3) On peut diminuer l’incertitude en augmentant le nombre de mesures n (voir formule ci-dessus).

II4)Le r´esultat de la mesure correspond `a la moyenne de la s´erie de mesure, ´ecrit avec un nombre coh´erent de chiffres significatifs par rapport `a l’incertitude trouv´ee (arrondi au plus proche).

On ´ecrit donc le r´esultat de la mesure : R= 330,5±0,5Ω , le niveau de confiance est de 95 %.

L’intervalle de confiance est donc [330,0 ;331,0] Ω.

II5)Conclusion : La valeur constructeur est de 330 Ω±1%= 330 ±3,3Ω, ce qui donne l’intervalle de confiance suivant : [326,7 ;333,3] Ω.

Les intervalles de confiance se chevauchent, les r´esultats sont coh´erents, cette mesure semble donc correcte.

Exercice III : Etude d’un circuit R,L,C

III1) voir sch´ema ci-contre, o`u CH1 repr´esente la voie 1 et CH2 le voie 2 de l’oscilloscope.

Note : les positions de la capacit´e et de la bobine peuvent ˆetre ´echang´ees.

III2) On a e(t) = E_maxcos(ωt) avec ω = 2πf et donce=Emaxexp(jωt)

III3) Un pont diviseur de tension donne : s

e = Z_R

Z_R+Z_L+Z_C c’est `a dire

s=e R

R+jLω+ 1 jCω

III4) L’amplitudeS_max de la tension s(t) est ´egale au module de l’amplitude complexe s.

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On a alors :S_max =R Emax

|R+j(Lω−_Cω¹ )| et donc S_max=R Emax

q

R²+ (Lω−_Cω¹ )² Arg(s) = Arg(Re)−Arg(R+jLω+ 1

jCω) et donc Arg(s) =ωt−arctan Lω−_Cω¹ R

!

carArg(Re) = 0

III5) La p´eriodeT vaut :T = 5×200 = 1 ms ce qui donne : ω= 2π

T = 2000π rad.s⁻¹ III6) s(t) est en avance sure(t), le d´ephasage des(t) par rapport `a e(t) est donc positif.

Soit θle d´ephasage des(t) par rapport `a e(t). On mesure un d´ecalage entre les deux courbes :

∆t= 1 (div) ce qui donne :θ= 2π∆t

T = 2π1

5 et donc finalement : θ= +2π 5 Or, on a θ=Arg(s)−Arg(e) =−arctan







Lω− 1 Cω R







Puisque θ >0, on a donc Lω− 1 Cω <0

III7) On mesure sur le graphique Smax = 2×0,5 = 1 V et E_max = 3,2×1 = 3,2 V

D’apr`es la loi d’Ohm, on as=Ri, et donc pour les amplitudes Smax=RImax

ce qui donne finalement I_max= Smax

R = 3,0 mA

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