Exercice 2.
1. Déterminons la forme algébrique des nombres complexes z1, z2 et z3 : donc
z2
z3 = -z1 donc
2. Déterminons le module et un argument des nombres complexes z2 et z3 :
1| = 3 et
Pour z3 : z3 = -z1, donc :
|z3| = |-z1| = |z1| = 3
:
3. b) Déduisons-en le module et un argument du nombre complexe z4 :
Donc le module de z4 est égal à 3 et un argument de z4 3. c) Déterminons la forme algébrique de z4 :
Donc :
4. a) Montrons que les points A, B, C et D sont sur un même cercle : On a montré que |z1| = |z2| = |z3| = |z4| = 3.
Donc OA = OB = OC = OD = 3.
On en déduit que les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre O et de rayon 3.
4. b) Construisons les points A, B, C et D : cf graphique
4. c) Calculons la distance AC :
D'où : AC = 6.
D'où : BD = 6.
4. d) Déterminons la nature du quadrilatère ABCD :
Comme AC = BD et comme O est le milieu des segments [BD] et [AC], alors ABCD est un parallélogramme.
Donc les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires.
On en déduit que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
