Correction du dernier exercice DS1 TMIC

Exercice 2.

1. Déterminons la forme algébrique des nombres complexes z₁, z₂ et z₃ : donc

z₂

z₃ = -z₁ donc

2. Déterminons le module et un argument des nombres complexes z₂ et z₃ :

1| = 3 et

Pour z₃ : z₃ = -z₁, donc :

|z₃| = |-z₁| = |z₁| = 3

:

3. b) Déduisons-en le module et un argument du nombre complexe z₄ :

Donc le module de z₄ est égal à 3 et un argument de z₄ 3. c) Déterminons la forme algébrique de z₄ :

Donc :

4. a) Montrons que les points A, B, C et D sont sur un même cercle : On a montré que |z₁| = |z₂| = |z₃| = |z₄| = 3.

Donc OA = OB = OC = OD = 3.

On en déduit que les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre O et de rayon 3.

4. b) Construisons les points A, B, C et D : cf graphique

4. c) Calculons la distance AC :

D'où : AC = 6.

D'où : BD = 6.

4. d) Déterminons la nature du quadrilatère ABCD :

Comme AC = BD et comme O est le milieu des segments [BD] et [AC], alors ABCD est un parallélogramme.

Donc les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires.

On en déduit que le quadrilatère ABCD est un rectangle.