E1 - Pont de Wheatstone 1°) La formule du pont diviseur de tension donne avec u

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E1 - Pont de Wheatstone

1°) La formule du pont diviseur de tension donne avec uM=0 :

u_A = R₂

R₁ + R₂e₀ et u_B = R₃

R₃ + R₄e₀⇒ u_AB = u_A −u_B =� R₂

R₁+ R₂ − R₃

R₃ + R₄�e₀ 2°) La formule du pont diviseur de courant donne :

i₁ = R₃+ R₄

R₁+ R₂ + R₃+ R₄i₀ et i₂ = R₁+ R₂

R₁ + R₂+ R₃+ R₄i₀ d^′où u_AB = u_A −u_B = R₂i₁−R₃ i₂ = � R₂R₄ −R₁R₃

R₁ + R₂+ R₃+ R₄�i₀ 3°)

D^′où u_AB = � rR−Xr

2r + X + R�i₀ = r� R−X

2r + X + R�i₀ Pour θ=100°, le pont est équilibré d’où R= X= X0(1+aθ100)

Donc : uAB = rX0�^a(θ−θ_2r+X+R¹⁰⁰⁾�i0~_2(r+R)^r X0a(θ − θ100) = 0,45µV

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E2 - Cellules photovoltaïques

1°) Le voltmètre permet de mesurer la tension à vide, l'ampèremètre l'intensité de court- circuit.

2°) Le domaine de fonctionnement en générateur est limité au premier quadrant : U et I positifs ici. La puissant cédée maximale correspond à P=UoIcc.

3°) a) Pour U = 0, donc I = Icc = gE. Les valeurs obtenues sont Icc1=40 mA et Icc2=280 mA.

b) En circuit ouvert Ip = 0 ⇒ 0 = gE−I_s�e^VT^U −1�⇔I_s�e^VT^U −1�= gE

�e^VT^U −1� = ^gE_I

s ⇔ e^VT^U =^gE_I

s + 1⇔ U0 = VTLn�^gE_I

s + 1�

La valeur de tension à vide varie de 0,49 V à 0,54 V. La faible variation relative de cette tension à vide incite dans la suite à adopter la valeur 0,5 V proposée.

4°) Soit : I_p = gE−I_s�e^VT^U −1� = gE−cste on obtient une loi affine.

5°) L'intensité obtenue par la loi précédente est I=153 mA pour E = 400 W.m^-2. La puissance cédée par la cellule est donc UI = 69 mW. Le rendement η = ^UI_P

r = 17%.

Cette faible valeur de rendement est un des problèmes de ce mode de production d'énergie électrique.

6°) Les caractéristiques obtenues lors d'associations en série ou parallèle conservent la forme affine par morceaux.

- En série, la tension à vide est doublée, l'intensité de court-circuit restant constante.

- En parallèle, c'est l'intensité de court-circuit qui est doublée, la tension à vide restant identique à celle d’une cellule unique.

7°) Pour 36 cellules associées en série, la tension à vide est égale à 36U0 = 18 V. La mise en parallèle de 4 blocs permet d'obtenir une intensité 4 fois plus élevée et donc une puissance 4 fois plus grande, lors d'une connexion une charge assimilée à une source de tension.

En pratique, les panneaux solaires photovoltaïques sont effectivement composés de blocs en parallèle, comprenant chacun un nombre important de cellules en série. Ce

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E3 - Circulation routière

1°) Dans le cas proposé, tous les véhicules sont exactement espacés de la distance d.

Dans une durée T, toute la chaîne de véhicules progresse donc de L=VT, si bien que le nombre de véhicules qui traversent une section donnée de la voie est N=L/d = VT/d.

Le débit correspondant est donc D=N/T=V/d. On obtient D = 1440 véhicules par heure.

Cette évaluation est très optimiste, car les conditions qui la sous-tendent (homogénéité de la répartition, constance de la vitesse) sont idéales. On notera qu'il n'est pas assuré que ce soit le débit maximal, car la distance de sécurité varie avec la vitesse !

2°) Les deux voies sont associées en parallèle : les débits s'ajoutent.

3°) En notant δ le débit moyen pour une voie, le nombre minimal de voies à placer en parallèle est 2D/δ, le facteur 2 tenant compte des 2 voies de circulation de l'autoroute.

On obtient 8,25 , soit 9 voies au minimum. Là encore, ce calcul omet les irrégularités importantes de répartition. Un tel choix provoquerait très probablement un embouteillage.

E4 - Transformation de Kenelly

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E5 - Régulateur de tension

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E6 - Circuit RL

1°) En régime permanent, les grandeurs n'évoluent plus en fonction du temps donc la bobine se comporte comme un court-circuit : la tension à ses bornes est nulle. La tension de sortie s vérifie alors s = E. C'est le comportement en régime stationnaire.

2°) On peut écrire la loi des mailles aux instants t positifs : E = Ri(t)+L di/dt et on obtient ainsi une équation différentielle régissant l'évolution de l'intensité dans le circuit :

di di +

i τ = E

où τ = L / R a la dimension d'un temps, c'est la constante de temps du circuit. Rτ La solution générale de cette équation est obtenue comme la somme de la solution générale de l'équation homogène, et de la solution particulière, constante car le second membre est constant :

i(t > 0) = ke^−tτ+E R =

E

R�1−e^−tτ� car i(0⁺) = 0

3°) La tension de sortie s est alors donnée par s(t)=Ri(t), ce qui conduit, aux instants positifs, à : s(t > 0) = E�1−e⁻^t^τ�

4°) La dérivée (ds/dt)t=0 est la pente de la tangente à l'instant initial, elle vaut (ds/dt)t=0=E/τ

La tangente au graphe de s(t) au temps t=0⁺ a pour équation : s=Et/τ. Elle coupe donc la droite d'ordonnée E au temps t = τ.

5°) L'instant tm,pour lequel la tension de sortie atteint 95 % de la valeur finale vérifie e⁻^t^τ = 0,05 = 1/20 on en déduit que t_m =τLn(20) =3τ.

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E7 - Circuit à deux condensateurs

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E8 - Détecteur de particules

1°)

D’après la loi des nœuds : i₀ = i_R + i_C =^v_R^s + C^dv_dt^s ⇔ ^dv^s

dt +_RC^v^s = ⁱ_C⁰ 2°) Qui admet pour solution : i = Ae⁻^RC^t + Be⁻^t^τ

En injectant la solution particulière dans l’équation différentielle on a :

−B τ + B

RC = I₀

C ⇔ −Bk RC +

B RC =

I₀

C ⇔B1−k RC =

I₀

C⇒ B = RI₀ 1−k Or i(0)=0 ⇒ A=-B

D’où : i = _1−k^RI⁰ �e⁻^τ^t −e⁻^RC^t �

E9 - Etude énergétique d’un circuit RL

1°) On peut écrire la loi des mailles aux instants t positifs : E = Ri(t)+L di/dt et on obtient ainsi une équation différentielle régissant l'évolution de l'intensité dans le circuit :

di di +

i τ = E

Rτ

⇒ i(t > 0) = ke^−tτ+E R =

E

R�1−e^−tτ� car i(0⁺) = 0

⇒ u_R = E�1−e^−tτ� et u_L =Ldi dt =

LE

Rτe^−tτ = Ee^−tτ 2°) E_R =∫₀^tRi²dt = R∫ �_R^E�1−e⁻^τ^t��

2

dt = ^E_R²

t

0 ∫ �1₀^t −e⁻^t^τ�²dt

=E²

R � �1 + e^−2tτ−2e^−tτ�dt = E²

R �t−τ

2 e^−2tτ +2τe^−tτ�

0 t t

0

= E²

R �t−τ

2 e^−2tτ+2τe^−tτ−3τ 2�

3°) E_L =¹₂Li² =¹₂L_RÊ²₂�1 + e⁻²^t^τ−2e⁻^τ^t� =Ê_R²�¹₂τ+¹₂τe⁻²^t^τ− τe⁻^t^τ� 4°) E_g = ∫₀^teidt = E∫₀^tÊ_R�1−e⁻^t^τ�dt =Ê_R²�t +τe⁻^τ^t − τ�

5°) Il y a conservation de l’énergie : EG(t)=ER(t)+EL(t)

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E10 - Etincelle de rupture

1°) Soit : i(t) = _R^E�1−e⁻^τ^t�≈ ^E

R car t≫ τ 2°) A l’ouverture de l’interrupteur on a :

i(t) = E

r + R +Ae^−tτ où τ = L r + R Or i(0) = ^E_R

d’où i(t) = _r+R^E + E�¹_r −_r+R¹ �e⁻^t^τ où τ = _r+R^L

- si R très grand alors τ → 0 et i(t)→0 ⇒ On passe brusquement de i0 à 0.

3°) Pour t>0, u(t)=Ri(t)

D’où u(t) = R_r+R^E + E�^R_r −_r+R^R �e⁻^τ^t

Si R est grand on a ∶ u(t)~ E + E�^R_r�e⁻^τ^t~E�^R_r�e⁻^τ^t ⇒ u(0+)=RE/r→∞ si R est grand.

Cette surtension provoque une étincelle de rupture.

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E11 - Interprétation énergétique du facteur de qualité

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E12 - La couleur du ciel

1°) Soit en projection sur u��⃗x : mẍ = −k−hẋ + qE0cos (ωt)

⇔ ẍ + h

m ẋ + k m x =

q

m E⁰cos (ωt)

⇔ ẍ + h

m ẋ + k m x =

q

m E⁰cos (ωt)

⇔ ẍ + 2λẋ +ω₀²x = q

m E⁰cos(ωt) où 2λ = h

m et ω₀ =�k m 2°) Sur les deux vecteurs orthogonaux à 𝑢𝑢��⃗ _𝑥𝑥on a :

⇔ 𝑦𝑦̈+ 2λ𝑦𝑦̇+ω₀²𝑦𝑦 = 0 dont la solution sera un régime transitoire amorti qui va tendre vers zéro très rapidement.

Sur 𝑢𝑢��⃗,_𝑥𝑥 le régime sinusoïdal forcé va se mettre en place.

3°) En notation complexe l’équation différentielle devient :

−ω²𝑥𝑥 + 2λ𝑗𝑗ω𝑥𝑥+ω₀²𝑥𝑥 = 𝑞𝑞

𝑚𝑚 𝐸𝐸⁰⇔ 𝑥𝑥 =

𝑚𝑚 𝐸𝐸𝑞𝑞 ⁰

ω₀²−ω² + 2λ𝑗𝑗ω

⇒ 𝑎𝑎 = −ω²𝑥𝑥 = −ω² 𝑞𝑞 𝑚𝑚 𝐸𝐸⁰ ω₀²−ω² + 2λ𝑗𝑗ω D’où : 𝑎𝑎 = 𝑞𝑞^𝐸𝐸_𝑚𝑚⁰_�(_ω ^ω^²

0²−ω²)²+4λ²ω²

4°) Sachant que λ et ω sont tous deux très inférieurs à ω0 alors : 𝑎𝑎~𝑞𝑞^𝐸𝐸_𝑚𝑚⁰_ω^ω^²

0²

5°) Si P proportionnel à a², alors : _𝑃𝑃^𝑃𝑃^{𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏}

𝑟𝑟𝑟𝑟𝑏𝑏𝑟𝑟𝑏𝑏 =�_ω^ω^{𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏}

𝑟𝑟𝑟𝑟𝑏𝑏𝑟𝑟𝑏𝑏�⁴ = �^λ_λ^{𝑟𝑟𝑟𝑟𝑏𝑏𝑟𝑟𝑏𝑏}

𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏�⁴~16

Le rouge est donc beaucoup moins diffusé que le bleu : la lumière reçue au niveau des molécules d’air de l’atmosphère de la part du soleil est diffusée dans toutes les directions de façon dépendante de la longueur d’onde. La diffusion est plus efficace dans le bleu que dans le rouge ce qui explique la couleur du ciel (et du Soleil par transmission).

On ne voit pas le ciel violet (qui est pourtant mieux diﬀusé) car d’une part l’œil est moins sensible dans cette couleur, d’autre part le spectre émis par le Soleil dépend également de la longueur d’onde (et passe par un maximum pour le jaune-vert).

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E13 - Etude d’une suspension de véhicule

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E14 - Circuit RLC en régime transitoire

Complément sur la solution homogène : 𝑞𝑞̈ +2

𝜏𝜏 𝑞𝑞̇ + 2

𝜏𝜏²𝑞𝑞 = 𝐸𝐸

La solution homogène s’écrit : 𝑞𝑞_𝐻𝐻(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝐴𝐴⁻^α^𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(ω𝑡𝑡𝐿𝐿+ϕ) 𝑡𝑡𝐴𝐴𝑡𝑡 𝑞𝑞𝑢𝑢𝐴𝐴 𝑟𝑟 = −α±𝑖𝑖β

Or α =_2𝑎𝑎^𝑏𝑏 =¹_𝜏𝜏 𝐴𝐴𝑡𝑡 β= ^√−_2𝑎𝑎^∆ =^�−

4 𝜏𝜏²+_𝜏𝜏²⁸

2 =¹_𝜏𝜏

⇒ 𝑞𝑞_𝐻𝐻(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝐴𝐴⁻^𝜏𝜏^𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �^𝑡𝑡_𝜏𝜏+ϕ�

𝑐𝑐𝑟𝑟 𝑞𝑞(0) = 0 = 𝐶𝐶𝐸𝐸

2 +𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ϕ⇒ 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ϕ = −𝐶𝐶𝐸𝐸 2 𝐴𝐴𝑡𝑡 𝑞𝑞̇(0) = 0 =−1

𝜏𝜏(𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ϕ+𝐴𝐴𝑐𝑐𝑖𝑖𝐴𝐴ϕ)⇒𝑡𝑡𝑎𝑎𝐴𝐴ϕ =−1⇒ϕ =−π

4 𝐴𝐴𝑡𝑡 𝐴𝐴 = −𝐶𝐶𝐸𝐸

√2 𝐷𝐷𝑐𝑐𝐴𝐴𝑐𝑐 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = −𝐶𝐶𝐸𝐸

√2 𝐴𝐴^{−𝑡𝑡𝜏𝜏}𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝑡𝑡 𝜏𝜏 −

π

4�+𝐶𝐶𝐸𝐸 2 =

−𝐶𝐶𝐸𝐸

√2 𝐴𝐴^{−𝑡𝑡𝜏𝜏}𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝑡𝑡 𝜏𝜏 −

π

4�+𝐶𝐶𝐸𝐸 2

= −𝐶𝐶𝐸𝐸

√2 𝐴𝐴^{−𝑡𝑡𝜏𝜏}�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝑡𝑡 𝜏𝜏�√2

2 +𝑐𝑐𝑖𝑖𝐴𝐴 �𝑡𝑡 𝜏𝜏�√2

2 �⇒ 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶𝐸𝐸

2 �1 +𝐴𝐴^{−𝑡𝑡𝜏𝜏}�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝑡𝑡

𝜏𝜏�+𝑐𝑐𝑖𝑖𝐴𝐴 �𝑡𝑡 𝜏𝜏��

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E15 - Comportement d’un circuit

E16 - Courant et tension en phase

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E17 - Circuit RLC parallèle

E18 – Analyse de Fourier

a) Le signal proposé a une valeur moyenne nulle : Vo = O.

b) Si n est pair, Pnest nul.

Pour n impair, Vn= V1/n², donc : Pn=1/n⁴

c) Seules les raies de rang 3 et 5 ont une puissance relative supérieure au millième de celle du fondamental : P3 = 1,2.10^-2 et P5 = 1,6.10^-3.

d) La représentation spectrale montre une décroissance très rapide des hauteurs des raies.

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E19 – Fonction de transfert

a) Un diviseur de tension permet d'obtenir : 𝐻𝐻 =

1 𝑗𝑗𝑗𝑗ω

𝑅𝑅+_{𝑗𝑗𝑗𝑗}¹_ω = _{𝑗𝑗𝑅𝑅𝑗𝑗}¹_ω₊₁

Il est commode d'introduire la pulsation caractéristique de ce filtre, ω0 = 1/RC, et la variable sans dimension x=ω/ω0 appelée pulsation réduite. La fonction de transfert se met alors sous forme canonique

𝐻𝐻 = 1

1 +𝑗𝑗𝑥𝑥

b) La formule du diviseur de tension s'écrit maintenant 𝐻𝐻 = 𝑍𝑍

𝑍𝑍 +𝑅𝑅 = 1 1 +𝑅𝑅

𝑍𝑍

𝐴𝐴𝑡𝑡 𝑍𝑍 =

𝑅𝑅_𝑐𝑐 𝑗𝑗𝐶𝐶ω 𝑅𝑅_𝑐𝑐+ 1𝑗𝑗𝐶𝐶ω

= 𝑅𝑅_𝑐𝑐 1 +𝑗𝑗𝑅𝑅_𝑐𝑐𝐶𝐶ω D’où : 𝐻𝐻 = ₁₊𝑅𝑅 ¹

𝑅𝑅𝑐𝑐(1+𝑗𝑗𝑅𝑅_𝑐𝑐𝑗𝑗ω) =₁₊𝑅𝑅¹ 𝑅𝑅𝑐𝑐+𝑗𝑗𝑥𝑥

La présence de la résistance de charge modifie le rapport des tensions. Cependant, si 𝑅𝑅_𝑐𝑐 » R, on trouve bien le résultat obtenu en sortie ouverte.

E20 - Verre qui chante

a) Les vibrations mécaniques induites par le déplacement du doigt sont des excitations du résonateur mécanique constitué par le corps du verre. Il s'agit d'un filtre passe-bande présentant une résonance d'amplitude.

b) La résonance d'un filtre passe-bande est d'autant plus aiguë et son gain d'autant plus élevé, que le coefficient d'amortissement est faible. Il est donc nécessaire d'éviter le contact du verre avec la main, qui jouerait sinon un rôle d'amortisseur supprimant le phénomène.

c) Le bris du verre ne peut être atteint, avec des niveaux sonores usuels, que si le filtre évoqué ci-dessus présente un gain très élevé. La bande passante de la résonance est alors très étroite. Il faut exciter le verre au voisinage de sa fréquence propre.

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E21 - Equation différentielle et fonction de transfert

a) La fonction de transfert s'obtient avec un diviseur de tension : 𝐻𝐻 = 𝑍𝑍

𝑍𝑍+𝑅𝑅 = 1 1 +𝑅𝑅

𝑍𝑍

𝑐𝑐ù 𝑍𝑍 =

𝐶𝐶𝐿𝐿 𝑗𝑗𝐿𝐿ω+ 1𝑗𝑗𝐶𝐶ω

= 𝑗𝑗𝐿𝐿ω 1− 𝐿𝐿𝐶𝐶ω² Donc :

𝐻𝐻 = 1

1 +𝑅𝑅1− 𝐿𝐿𝐶𝐶ω² 𝑗𝑗𝐿𝐿ω

= 1

1 + 𝑅𝑅

𝑗𝑗𝐿𝐿ω− −𝑅𝑅𝐿𝐿𝐶𝐶ω² 𝑗𝑗𝐿𝐿ω

= 1

1 + 𝑅𝑅

𝑗𝑗𝐿𝐿ω +𝑗𝑗𝑅𝑅𝐶𝐶ω

⇔ 𝐻𝐻 = 1

1 +𝑅𝑅 �𝑗𝑗𝐶𝐶ω+ 1𝑗𝑗𝐿𝐿ω� b) Donc :

𝑢𝑢+𝑅𝑅𝐶𝐶𝑗𝑗ω𝑢𝑢 +𝑅𝑅 𝐿𝐿

1

𝑗𝑗ω𝑢𝑢 = 𝐴𝐴 ⇔ 𝑅𝑅

𝐿𝐿 𝑢𝑢+𝑗𝑗ω𝑢𝑢 +𝑅𝑅𝐶𝐶(𝑗𝑗ω)²𝑢𝑢 = 𝑗𝑗ω𝐴𝐴

Comme une multiplication par 𝑗𝑗ω correspond à une dérivation temporelle, on en déduit :

𝑅𝑅

𝐿𝐿 𝑢𝑢 +𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑑𝑑𝑡𝑡 +𝑅𝑅𝐶𝐶𝑑𝑑²𝑢𝑢

𝑑𝑑𝑡𝑡² = 𝑑𝑑𝐴𝐴

𝑑𝑑𝑡𝑡 ⇔𝑑𝑑²𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑡𝑡² + 1

𝑅𝑅𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑢𝑢

𝐿𝐿𝐶𝐶+= 1 𝑅𝑅𝐶𝐶

𝑑𝑑𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑡𝑡

E22 - Gabarit d’un filtre passe-bande

a) Le gabarit est tracé sur la figure :

b) Le gain sur la figure ne coupe pas les gabarits dessinés, le filtre respecte donc le cahier des charges. Les asymptotes du filtre ont des pentes de ±20 db/décade conformément à un filtre passe-bande d'ordre deux.

Sur la figure, on repère la fréquence centrale f0 = 500Hz et puisque f₀ = ^ω_2π⁰ =

1

2π√LC ⇒ C = _4π²Lf¹

02 =1μF

c) Pour estimer la valeur du facteur de qualité Q, il faut repérer les fréquences de coupures à —3 dB, soit 310 Hz et 810 Hz, puis déterminer la largeur de la bande passante

⇒ Q = fo/∆f =1

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E23 - Filtre de Collpits

1°)

On a :

u₂ u =

1 jCω 1

jCω+_jCω¹ = ¹₂ Et ^u

u₁ =_R+Z^Z où Z = ^jL^ω^∗

2 jCω

jLω+_jC²_ω =_2−LC^2jL^ω_ω_² ⇒ ^u

u₁ = ₁₊¹R

Z = ¹

1+R^2−LC_2jLω^ω^²

Donc : H = 1

2

1

1 + R 2−LCω² 2jLω

=

12

1 + RjLω+ j RCω 2

=

12 1 + j�RCω

2 − R

Lω� == H₀ 1 1 + jQ�x−1

x� D’où H₀ =1

2 , Qx = RCω

2 et Q x =

R Lω

⇒ Q² = R²C

2L ⇒ Q = R�C 2L et x² = Cω

2R LRω = LC

2 ω⇒ω₀ =� 2 LC

2°) Tracer le diagramme asymptotique de Bode de gain de ce filtre pour Q=1.

0.1 1 10 100 x

50

40

30

20

10 0 Gen



^dB



0.01 0.1 1 10 100

75.

50.

25.

0.

25.

50.

75.

(18)

E24 - Filtre de Hartley

1°)

On a :

u₂ u =¹₂ Et ^u

u₁ =_R+Z^Z où Z = ^2jL^ω^∗

1 jCω

2jLω+_jC¹_ω =_1−2LC^2jL^ω_ω_² ⇒ ^u

u₁ = ₁₊¹R

Z = ¹

1+R^1−2LC_2jLω^ω^²

Donc : H = 1

2

1

1 + R 1−2LCω² 2jLω

=

12

1 + RjLω+ jR Cω 2

=

12

1 + jR�Cω− R

2Lω� == H₀ 1 1 + jQ�x−1

x� D’où H₀ = 1

2 , Qx = RCω et Q x =

R 2Rω

⇒ Q² = R² C

2L ⇒ Q = R� C 2L et x² = 2Cω

R LRω = 2LCω⇒ω₀ = 1

√2LC 2°)…

(19)

E25 - Circuit RL

(20)

E26 - Filtre de Wien

1°) En appliquant les formules de diviseur des tensions au circuit on a :

H = Z₂

Z₂+ Z₁ = 1 1 + ZZ¹₂

= 1

1 +�R + 1jCω� �1

R + jCω� = 1

3 + 1jRCω+ jRCω

=

13

1 + j3�RCω − 1 RCω� =

13

1 + j3�RCω− 1

RCω� = H₀ 1 1 + jQ�x−1

x� Où H₀ = 1

3 et Q = 1 2°) On a ∆x =_Q¹ = 3 3

3°) On a : H = H₀ 1 1 + jQ�x−1

x� = H₀

jxQ

1 + jxQ + (jx)² Or 1 + X + X² = 0 ⇔ X = −3 ±√5

2 D’où H = H0

jxQ

�jx− −3 +√5

2 � �jx− −3− √5

2 �

= H0

jxQ

�jx + 3− √5

2 � �jx + 3 +√5 2 �

=

= H₀

jxQ

�1 + 2jx

3− √5� �1 + 2jx

3 +√5� = H_PB. H_PH

Pour réaliser le passe-bande il faut que la fréquence de coupure du passe haut soit après celle du passe-bas d’où :

H = H₀

jxQ

(1 + jx′)(1 + jx′′) Où x’ = 2x

3− √5 = ω

ω₀^′ avec ω₀^′ = ω₀3− √5

2 et ω₀^′′ = ω₀3 +√5 2 Donc :

H_PB = 1

et H_PH = H₀

jxQ = H₀ Q

3− √5 2

2jx 3− √5

(21)

H = 3− √5

2 . 1

1 + 2jx 3 +√5

.

2jx 3− √5 1 + 2jx

3− √5

= H₀^′. 1

1 + jx′. jx′′

1 + jx"

4°) On utilise le fait que G=G’+G’+G0’ et ϕ=ϕ’+ϕ’’

E27 - Balançoire

a) L'excitation du pendule est composée d'une impulsion périodique décomposable en série de Fourier. Il existe donc une composante fondamentale et des harmoniques. Or le pendule est peu amorti : il se comporte donc comme un filtre passe-bande très sélectif. Puisque la période de l'excitation est ajustée à la période propre du pendule, un phénomène de résonance apparaît, qui justifie la forte amplitude. Les termes harmoniques sont filtrés si bien que le mouvement est quasi sinusoïdal.

b) En poussant une fois toutes les 2 périodes, on imprime une excitation de période double de la période propre du pendule, donc de fréquence moitié de la fréquence de résonance. Le filtre passe-bande que constitue la balançoire sélectionne alors l'harmonique 2 de l'excitation.

c) En poussant une fois toutes les N périodes, avec N entier, on imprime une excitation de période multiple de la période propre du pendule. La fréquence fondamentale est donc un sous-multiple de la fréquence de résonance. Cette fois, le filtre passe-bande sélectionne l'harmonique de rang N qui est généralement présent, car un signal formé d'une répétition d'impulsions brèves comporte quasiment tous les termes harmoniques.

E1 - Pont de Wheatstone 1°) La formule du pont diviseur de tension donne avec u