D365
Solution proposée par Nicolas Petroff
Soit k le facteur d’homothétie du 1er cylindre vers le 2ième, r et h les rayon et hauteur du 1er cylindre.
La somme des surfaces est donc S = 2 = , le volume des deux cylindres est donc V = h = 2 , la somme des hauteurs H = 1 = . Les deux premières équations se réduisent à : et h , de la troisième équation on obtient h = . En combinant les deuxième et troisième équation , on obtient r = et en reportant dans la première équation les valeurs de r et de h en fonction de k , on obtient après quelques ( ! ) simplifications une équation du 7ième degré en k : P(k) = -2 -8 +5 +5 -8 -2k+1 . A priori ce polynôme a 7 racines réelles ou
complexes . En examinant les variations et les zéros des différentes dérivées successives de P(k) jusqu’à la dérivée 5ième (k) = 120 , et en remontant jusqu’à la dérivée 1ère P’(k) =
pour avoir la forme générale de P(k) et constater qu’il n’y a que 5 racines réelles pour P(k) = 0 . Par une utilisation répétée d’Excel (ou de la méthode de Newton) pour déterminer les zéros de P(k) , on obtient les 5 racines réelles de P(k) qui sont, en valeur approchées, k1 = - 2.081 , k2 = -1 , k3 = -0.48 , k4 = 0.267949 , k5 = 3.7320505 . On peut remarquer que P(k) peut aussi s’écrire P(k) = Q(k)+Q( )) = F(k) , F(k) est telle que si k est changé en , F(k) = F( ) , ce qui
explique les deux racines -2.081 et -0.48 , ainsi que 0.267949 et 3.7320505 , et -1 qui est son propre inverse.
Seule k = 0.267949 est la solution unique du problème (cqfd).
