Exercices de résistance des matériaux

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Exercices de résistance des matériaux

David Dureisseix

To cite this version:

David Dureisseix. Exercices de résistance des matériaux. Licence. Résistance des Matériaux,

Mont-pellier, France. 2010, pp.29. �cel-02185734�

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Auteur de la ressource p ´edagogique :

Dureisseix David

Exercices de r ´esistance des mat ´eriaux

IUP GMP – Licence STPI

Cr ´eation : 2002-2010

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Exercices de r ´esistance des mat ´eriaux

David Dureisseix

D épartement M écanique, Universit é Montpellier 2

Ce polycopi é est principalement un recueil d’exercices, que j’esp ère assez originaux quant à leur support d’application, r éalis és suite à l’enseignement de r ésistance des mat ériaux IUP GMP puis en Licence STPI à l’Universit é Montpellier 2, aujourd’hui Universit é de Montpellier, entre 2002 et 2010. Les exercices propos és ici sont issus d’exercices et de contr ôles de connaissances, et ce document vise à les proposer comme exercices d’entraˆınement personnel ; il ne contient par contre pas de cours...

Ces exercices sont aussi le fruit de discussions avec les coll ègues enseignants, dont Françoise Kra-sucki ; qu’ils en soient remerci és. Certains exercices sont certainement inspir és par des sujets propos és ant érieurement... Je suis donc à la recherche des sources pour pouvoir les citer... Les sujets que je crois les plus originaux sont rep ér és par un ast érisque à la fin de leur titre ; en tout cas, ils auront maintenant au moins le m érite d’ être disponibles.

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Table des mati `eres

1 M ´ecanique de l’arbre tropical*. . . 4

2 Arches romanes et gothiques* . . . 8

3 V ´erin hydraulique. . . 10

4 Portique de fl `eche de grue* . . . 14

5 Syst èmes à barres et c âbles* . . . 18

6 Capteur acoustique passif sous-marin* . . . 21

7 Rail de chemin de fer* . . . 24

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Exercice 1. M ´ecanique de l’arbre tropical*

On s’int éresse ici à la croissance des arbres de sous-bois de la for êt tropicale de Guyane Française. En effet, contrairement aux esp èces pionni ères (voir arbres 1 et 2 de la figure11_{ces derni ères (arbres}

3 et 4 de la m ême figure) doivent prendre des risques pour atteindre le plus rapidement possible (donc à production de masse minimale) la canop ée, à environ 40 m de hauteur, pour acc éder à suffisamment de lumi ère. À cause de la comp étition ainsi d évelopp ée, la tendance est à la prise rapide de hauteur au d étriment de la masse, ce qui conduit à des risques de flambage des arbres sous leur propre poids. Il arrive ainsi de trouver de tels arbres qui utilisent leur voisins, des lianes, etc... pour se soutenir car ils ne sont pas autoporteurs : isol és, ils flambent sous leur propre poids.

FIGURE 1 – Arbre de la for êt tropicale de Guyane Française (genre Paninari), d’apr ès [8] et logo de l’Unit é Mixte de Recherche ECOFOG ( ÉCOlogie des For êts de Guyane)

G l x G l x P G l x

FIGURE2 – Mod `eles de poutre utilis ´es

1 `ere partie : mod ´elisation cylindrique du tronc

On suppose ici, pour simplifier, que le tronc est cylindrique, de section S constante.

(6)

1) Pour une poutre qui flambe (figure2 à gauche), soumise uniquement à son propre poids, dont on note v(x) la fl èche, l la longueur, ρ la masse volumique et g l’acc él ération de la pesanteur, donner l’expression du moment de flexion Mf(x)et montrer que

dMf dx = −ρg dv dx Z l x Sdx

Pr ´eciser les conditions aux limites en v, auxquelles on ajoutera Mf(x = l) = 0.

2) En notant I le moment quadratique de flexion et E le module d’Young, montrer que la d éform ée doit satisfaire à E d dx I dω dx ! + ρg Z l x Sdx ! ω = 0 où ω = dv dx

Dans le cas de section et moment quadratique constants, et avec le changement de variable X = −α 1 − x

l, montrer que l’on peut arriver `a d2ω

dX2 = Xω pour lequel vous pr ´eciserez l’expression de α.

Pr ´eciser aussi les conditions aux limites que doit satisfaire ω.

3) Cette derni ère équation de la configuration à l’ équilibre a pour solution g én érale les fonctions d’Airy2 _A

i(X) et Bi(X) trac ´ees sur la figure3 : ω(X) = C1Ai(X) + C2Bi(X) o `u C1 et C2 sont des

constantes.

a) Avec les conditions aux limites pr éc édentes, donner la condition sur α pour avoir une telle d éform ée. On pourra pour cela utiliser le fait que B

0 i(0)

A0_i(0)= − √

3.

b) Donner graphiquement la valeur de α correspondante.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Ai Bi (3^0.5)Ai + Bi v

FIGURE3 – Fonctions num ´eriques, dont les fonctions d’Airy

4) On souhaite retrouver num ériquement et de façon approch ée le crit ère pr éc édent. On propose pour cela deux allures plausibles de la d éform ée v(x).

a) R é écrire la m éthode énerg étique dans le cas du poids propre.

b) On prend ici v(x) = ax2 _{o `u a est une constante. V ´erifie-t-elle les conditions aux limites en v ?}

D ´eterminer la valeur de α correspondante.

(7)

c) On prend pour la deuxi `eme allure, la solution obtenue en flexion avec la m ˆeme charge qu’en flambage, mais cette fois-ci transversalement. Donner l’expression de dω

dx puis de ω, et montrer qu’on trouve une valeur correspondante de α = 8.

d) Comparer avec la solution exacte pr ´ec ´edente.

5) La section S du tronc ´evolue avec sa hauteur l. Des campagnes exp ´erimentales [2] donnent une loi de croissance de la forme S(l) = π

4l1l.

Pour une section de poutre circulaire, donner la relation entre I et S.

En d ´eduire la hauteur critique lc, puis la masse du tronc correspondante mc.

Application num ´erique pour l1= 1 cm, ρ = 1300 kg/m3, E = 10 GPa.

6) On veut maintenant prendre en compte le poids du feuillage. On mod élise celui-ci par une charge P à l’extr émit é (figure2au centre).

a) Montrer que le probl ème est identique au pr éc édent en consid érant une longueur équivalente leq= l + P/(ρgS), en reprenant les questions 1 et 2.

b) Si l’arbre atteint la canop ´ee avant sa hauteur critique, quel masse de feuillage et de branches mf

peut-il supporter ? La comparer `a la masse m du tronc.

Pour information, les mesures effectu ´ees [6] donnent un rapport de masse mf/mde l’ordre de 10%

`a 20%. Conclure.

2 ème partie : mod élisation plus r éaliste du tronc

´

Evidemment, la croissance du tronc ne se fait pas à section uniforme. Pour mod éliser cette derni ère, on va tout d’abord s’int éresser à une poutre en compression sous son propre poids et consid érer qu’elle d épend de la position : S(x) (figure2 à droite).

1) Poutre d’ ´egale r ´esistance

a) Donner l’ ´equation d’ ´equilibre en compression.

b) En supposant que la contrainte de compression −σO (< 0) reste constante sur le long de la

poutre, montrer que la section soit satisfaire `a dS dx =

ρg σ0

S. et donner la forme de la solution (on notera S0la section à la base x = 0). Pour identifier le coefficient σ0, on cherche à retrouver la forme r éelle, ce

qui conduit `a σ0≈ 0.15 MPa.

c) Pour d éterminer S0, on se sert des mesures d éj à utilis ées dans la 1 ère partie : la section à hauteur

du torse (en x = l0= 1.3 m) est S(l0) =π₄l1l. Donner l’expression de S0.

d) Donner l’expression de la masse m du tronc en fonction de l. e) Pour une section circulaire, donner l’expression de I.

2) Pour pouvoir travailler num ériquement, on souhaite utiliser une forme approch ée du mode de flambage (satisfaisant les conditions aux limites !). Ceci donnera une borne sup érieure, malheureuse-ment, pour le crit ère. On arrive à l’expression suivante, avec une charge P due au feuillage et aux branches, qu’on ne demande pas de retrouver :

ρgl1E 16 σ2 O e −ρgl0 σ0 | {z } C     1 k Z 1 0 e−kτdω dτ 2 dτ Z 1 0 ω2dτ     | {z } f1(k) =      k Z 1 0 e−kτ Z τ 0 ω2dτ dτ Z 1 0 ω2dτ      | {z } f2(k) + P S0σ0 (1)

o ù C est un coefficient ne d épendant que du mat ériau, et f1et f2ne sont des fonctions que de k =

ρg σ0l. a) Faire l’application num ´erique pour C.

b) Avec la d éform ée statique ω (pour P = 0), on repr ésente sur la figure4les évolutions des fonctions f1 et f2 en fonction de k. Pour P = 0, trouver graphiquement la valeur num érique de k satisfaisant

l’ ´equation (1).

(8)

c) On se place maintenant à la hauteur de la canop ée, l = 40 m. Quelle valeur de P est admissible pour rester en deça de la hauteur critique ? À quelle masse maximale de feuillage mf correspond-elle ?

Quelle est alors la masse de tronc, m ?

d) Discuter de cette valeur et comparer aux r ´esultats de la 1 `ere partie.

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 2 3 4 5 6 7 8 k f1 f2

(9)

Exercice 2. Arches romanes et gothiques*

En architecture, et en particulier pour la conception des cath édrales, on distingue plusieurs styles, dont les styles roman et gothique sont parmi les plus c él èbres. Un él ément caract éristique de ces styles est le design des arcs.

Jusqu’ à la fin du XIe si ècle, l’arc en plein-cintre avec ses vari ét és est seul employ é dans les construc-tions, sauf quelques rares excepconstruc-tions, figure 53_{. Les arcs surbaiss és que l’on trouve souvent dans les}

vo ûtes de l’ époque romane sont presque toujours le r ésultat d’une d éformation produite par l’ écartement des murs, ayant ét é construits originairement en plein-cintre. En effet, l’arc en plein-cintre, de forme demi-circulaire, engendre une grande pouss ée lat érale à sa base, ce qui n écessite souvent l’utilisation de renforts ou de contreforts dans la construction, figure5( à droite).

FIGURE 5 – Abbaye de Paray-le-Monial (ou Prieur ´e de Perrecy-les-Forges...) (photographie Patrick Giraud, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Paray_le_monial_abbaye_04.jpg, CC BY-SA 1.0), et utilisation des arcs en plein-cintre,https://www.edelo.net/roman/archi_poussee.htm

FIGURE6 – Arc bris é utilis é dans les cath édrales (image Hill,https://commons.wikimedia.org/wiki/ File:Architecture-gothique-infographie.jpg, CC BY-SA 1.0), cath édrale Sainte Croix d’Orl éans (photographie Olivier Lubet)

C’est pendant le XIIe si `ecle que l’arc form ´e de deux portions de cercle (arc en ogive, en tiers-point

3. d’apr `es http://www.brantacan.co.uk, http://fr.wikipedia.org/wiki/Architecture_romane, http://garennes. com/TPE-Romanethttp://www.cpo.com/weblabs/chap3/archf.htm

(10)

ou bris é) est adopt é successivement dans les provinces de France et dans tout l’Occident. Il est plus particuli èrement utilis é dans le style gothique, figure64.

Bien que l’analyse de ces structures rel ève de la m écanique des maçonneries et pas de la th éorie des poutres, nous allons quand m ême essayer de les analyser par l’utilisation de la r ésistance des mat ériaux sur poutre courbe.

On consid ère une demi-arche circulaire AB de rayon R, éventuellement bris ée en B, figure 7 (si α = π

2, on a une arche en plein-cintre, sinon, une arche bris ´ee). Elle est encastr ´ee en A, et un effort

vertical P est appliqu ´e en B.

Le point courant de la ligne moyenne est G ; son abscisse curviligne est s = Rθ.

y& 0 D T B A x & 1 x& 2 x& R G -P y& y& 0 B A x& -P y& y& 0 B A x& -P y& T x&

FIGURE7 – Mod `eles de poutre utilis ´es

On ne demandera ici, pour simplifier, que l’ ´etude du cas α = π 2.

1) On remplace la condition de sym ´etrie en B (figure7au centre) par un effort horizontal T (figure7

à droite). D éterminer le torseur des efforts int érieurs en G, en fonction de P et T . Donner en particulier l’expression du moment de flexion Mf.

2) On consid `ere uniquement la sollicitation de flexion. ´Ecrire la relation de comportement correspon-dante.

3) Toujours pour la seule sollicitation de flexion, utiliser les formules de Bresse pour calculer−→UB· −→x,

en fonction de P et T .

4) Quelle condition doit v érifier−→UB pour que le probl ème trait é, figure7 à droite, soit équivalent au

probl ème de d épart, figure7au centre ? En d éduire l’expression de T .

5) Demander au charg é de TD les expressions g én érales de Mfet T quand α est quelconque. V érifier

alors vos r ´esultats, et conclure.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 T/P alpha

(11)

Exercice 3. V ´erin hydraulique

Les v érins hydrauliques double effet (qui peuvent travailler en sortie ou en rentr ée de tige, figure8) sont g én éralement contitu és d’un tube creux appel é corps (1), d’un chapeau arri ère (2), d’un chapeau avant (3), reli és par 4 tirants (4) et d’une tige pleine (5). Ils sont en liaison avec l’ext érieur par l’in-term édiaire de deux articulations à chaque bout.

Le v érin étudi é ici poss ède un corps (1) de diam ètre int érieur D = 400 mm, d’ épaisseur e = 11 mm et de longueur l0 = 658 mm. Chaque tirant (4) a un diam ètre de d0= 40 mm. La tige (5) a un diam ètre

d = 180 mm. Toutes les pi èces sont r éalis ée dans un acier de module d’Young E = 200 000 MPa et de limite d’ élasticit é σY = 350 MPa.

p 5 3 2 1 4 4

FIGURE8 – V érin hydraulique double effet (d’apr ès documents Parkerhttp://www.parker.com/) et son principe de construction en position compl ètement sortie.

1) Dans un premier temps, on s’int éresse à la phase de fonctionnement tige sortie au maximum, en appui sur le chapeau avant, sans effort ext érieur (figure8).

La pression d’alimentation en huile dans la chambre arri `ere est not ´ee p.

a) Quelle est l’expression de la tension minimale F à mettre en place au montage dans chaque tirant pour emp êcher le d écollement des chapeaux du corps dans cette phase ?

b) Quelle est l’expression de la pression maximale d’alimentation pmax pour que les tirants restent

dans leur limite ´elastique ?

c) Application num ´erique.

2) On s’int ´eresse maintenant au fonctionnement dans la phase tige sortie presque au maximum (pas d’appui sur le chapeau avant) sous l’effort ext ´erieur de compression F en C (figure 9). On note I le moment quadratique de la section de la tige, et on prendra l = 658 mm.

p

5

A B _C

l

F

FIGURE9 – Sch ´ematisation du v ´erin

On regarde tout d’abord la seule tige (5) et on propose plusieurs solutions pour sa liaison ´equivalente avec l’ensemble (1,2,3,4) en B :

(12)

a) Si on a une raideur en flexion faible dans cette liaison, on peut la mod ´eliser comme une articulation (figure10(a)).

B C

l

F

(a) premi `ere mod ´elisation

B C

l

F

(b) deuxi `eme mod ´elisation

FIGURE10 – Mod ´elisations de la tige du v ´erin

Quelle est alors l’expression de la charge limite due au risque de flambement de la tige, Fc?

Appli-cation num ´erique.

Quelle sera alors la pression limite correspondante, pc?

b) Si on a une raideur en flexion élev ée dans cette liaison, on peut la mod éliser comme un encastre-ment (figure10(b)).

Quelle est alors l’expression de la charge limite due au risque de flambement de la tige, Fc?

Appli-cation num ´erique.

Quelle sera alors la pression limite correspondante, pc?

3) On s’int éresse maintenant à l’ensemble du v érin, en consid érant le corps et la tige rigidement li és. Le mod èle de poutre retenu est compos é de deux tronçons : le premier, le corps, de longueur l0, a un

moment quadratique de section I0; le deuxi `eme, la tige, de longueur l, a un moment quadratique de

section I, figure11. B C l F A l0 E,I0 E,I x1 x2

FIGURE11 – Mod élisation du v érin Pour simplifier, on consid èrera que l0= l.

On cherche `a estimer la charge limite Fc en se donnant une forme de mode de flambement v0(x) =

cos(π 2 x

l)(l’origine des x ´etant en B).

a) Cette solution v ´erifie-t-elle les conditions aux limites ?

b) Donner l’expression de la charge critique estim ´ee Fc, puis de la pression critique correspondante

pc. Application num ´erique.

c) Comparer avec les r ésultats pr éc édents.

4) On cherche maintenant `a avoir l’expression exacte de cette charge critique.

a) Pour cela, donner l’expression du moment de flexion Mf(x)en notant v(x) la fl `eche, inconnue, de

(13)

b) Montrer que v(x) doit v ´erifier sur AB : d 2_v dx2+ α 2 0v = 0, sur BC : d2_v dx2 + α 2_{v = 0,} _{o `u vous}

pr ´eciserez les expressions de α et α0.

c) Pr ´eciser les conditions aux limites sur v en A et C, puis ce que doit satisfaire v `a la jonction en B.

d) Montrer que la condition à r éaliser sur α et α0est f (α) = −f (α0)o ù f (β) =

1 βtan β.

e) Donner l’expression de k =α0

α. Application num ´erique.

f) Sur la figure 12, les fonctions f (β) et −f (β) sont trac ées, en prenant une échelle log pour β. D éterminer graphiquement la valeur appropri ée de α. En d éduire la valeur de Fc. Comparer avec les

r ésultats pr éc édents.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 1.4 π 1.2 π π 0.9 π 0.8 π 0.7 π 0.6 π 0.5 π 0.4 π β f(β) -f(β)

FIGURE12 – Fonctions num ´eriques

g) Dans le cas o ù α = α0 (k = 1), donner graphiquement la valeur appropri ée de α. En d éduire la

valeur de Fc.

Cette solution est-elle r ´ealisable ? Est-elle souhaitable ?

5) On s’int éresse maintenant au corps (1), sous la pression interne p. Vu de c ôt é (figure13, au centre) une portion de longueur h du corps ressemble à une poutre circulaire, de section rectangulaire (lar-geur h, hauteur e, toutes deux n égligeables devant le diam ètre du corps), sollicit ée uniquement par la pression interne p. Grace aux sym étries, seul un quart est consid ér é (figure13, à droite).

a) Quelles sont les actions ext érieures appliqu ées à ce quart de poutre ?

(14)

l x1 x2 p D e h D/2 p D e h

FIGURE13 – Mod ´elisation du corps du v ´erin

c) Sous l’effet de ce seul effort N , quelle est la pression limite pY dans le corps pour satisfaire le crit `ere

(15)

Exercice 4. Portique de fl `eche de grue*

De nombreuses grues de grande taille sont assembl ées à partir de diff érentes parties, élanc ées (et donc mod élisables comme des poutres) : la tour, la fl èche. . . constitu ées elles-m ême d’un assemblage de petites poutres, figure14. L’objectif de cette étude est de caract ériser un mod èle de poutre global d’une fl èche de grue, à partir de l’assemblage de petites poutres. Dans tous les cas, on ne consid èrera que les sollicitations de traction et de flexion (on n égligera donc les éventuelles torsion et cisaillement), avec un mod èle de Navier-Bernoulli.

FIGURE14 – Grue `a tour (images d’apr `es [7])

1 `ere partie : caract ´erisation d’une poutre simple

On s’int éresse tout d’abord à la rigidit é globale d’une poutre de longueur L = 1 m, à section circulaire d’aire S = 1, 633 cm2_{et de module quadratique de flexion I = 0, 217 cm}4_{. Elle est fabriqu ée en acier de}

module d’Young E = 200 GPa, et de limite d’ élasticit é σY = 500MPa. On la suppose encastr ée d’un

cot é, et on impose diff érentes conditions à l’autre extr émit é, figure15.

FIGURE15 – Poutre ´el ´ementaire

1) On impose tout d’abord un d éplacement axial u1e1en extr émit é droite de la poutre. Donner

l’expres-sion des forces int ´erieures le long de la poutre : N1 pour l’effort axial et M1 pour le moment de flexion

en fonction, entre autres, de u1(vous pourrez r ´epondre par un diagramme des efforts).

2) On impose ensuite un moment M2e2 en extr ´emit ´e droite de la poutre. Donner l’expression des

d éplacement axial u2et et rotation ω2de la section en extr émit é droite en fonction, entre autres, de M2.

3) Donner alors, dans le cas d’un chargement compos é des deux pr éc édents, la relation entre les quantit és en extr émit é droite de la poutre (u, ω) et (N, M ), sous la forme d’une matrice 2 × 2 :

N M = · · · · u ω

(16)

4) Avec une sollicitation en effort normal N seulement, donner l’expression de la charge maximale Nmaxqui ´evite la plastification. Donner aussi l’expression de la charge limite au flambement. Applications

num ´eriques.

Avec une sollicitation en moment de flexion M seulement, donner l’expression du moment maximale Mmaxqui ´evite la plastification. Application num ´erique.

Dans un plan portant en abscisse N et en ordonn ée M , tracer l’allure du domaine admissible vis à vis des crit ères pr éc édents.

Une caract ´erisation plus pouss ´ee prendrait aussi en compte un effort tranchant T e3en bout de

poutre. On donne ici le r ésultat (qu’on ne demande pas de retrouver, mais qu’on utilisera dans la suite), pour une poutre particuli ère de caract éristiques donn ées, qui lie u, v (le d éplacement

transverse sur e3) et ω `a (N, T, M )asous la forme d’une matrice 3 × 3 :

  N T M  = ES L   1 0 0 0 12a −6aL 0 −6aL 4aL2     u v ω   o`u a = 195 (sans unit´e) (2)

a. non... il ne s’agit pas ici d’un groupe musical.

2 `eme partie : caract ´erisation de l’assemblage

On cherche maintenant à trouver les caract éristiques d’une poutre équivalente à la fl èche de grue. Pour cela, on consid ère un tronçon él émentaire de cette fl èche, voire m ême une moiti é de tronçon (gr âce à la sym étrie), qu’on appellera une cellule, dont la longueur est toujours L = 1 m. Cette cellule est constitu ée de petites poutres soud ées entre elles, figure16. Pour des questions de facilit é de fabrication, on suppose que toutes ces poutres ont les m êmes section, moment quadratique, et mat ériau, qui sont ceux de la premi ère partie.

Cette cellule est encastr ée en partie gauche, et dans la partie droite G est le centre de section suppos é (il se trouve dans le triangle gris é, à H1 du haut et H2 du bas), figure16. On va imposer un

mouvement de poutre `a toute cette section, d ´efini par une translation u0ex, une translation v0ez et une

rotation de section en G, ω0ey. C’est- `a-dire qu’on va imposer en chaque nœud A, B et C le mouvement

correspondant.

(17)

5) Montrer que le mouvement impos ´e en A, `a la poutre 1, est u0− H1ω0en axial, v0en transversal et

ω0en rotation sur ey. En d éduire les efforts exerc és sur la poutre 1 en A : N1, T1, M1, en utilisant (2). 6) Montrer que le mouvement impos é en B, à une des poutres 2, est u0 + H2ω0 en axial, v0 en

transversal et ω0en rotation sur ey. En d ´eduire les efforts exerc ´es sur une poutre 2 en B : N2, T2, M2,

en utilisant (2).

7) Le cas d’une des poutres 3 est plus compliqu é à cause de l’inclinaison de ces poutres. Dans un premier temps, on n églige leur action. En d éduire alors les efforts complets N0, T0, M0, sur la section

de poutre `a droite, en G, sous la forme   N0 T0 M0  = ES L   · · · · · · · · ·     u0 v0 ω0  

Pourquoi la poutre 4 n’intervient-elle pas ?

8) Si on prend en compte les poutres 3, on trouve le r ´esultat partiel suivant (qui est donn ´e et qu’on ne demande pas de retrouver) :

  N0 T0 M0  =   4, 9. 107N/m 0 0 0 9. 106 N/m −9. 106 _N/rad 0 −9. 106 _N _{4. 10}7 _Nm/rad     u0 v0 ω0   (3)

Au vu de ce r ´esultat, pourrait-on trouver les caract ´eristiques (section S0, moment quadratique I0, module

d’Young E0) d’une poutre de longueur L équivalente qui donne le m ême r ésultat avec (2) ? (on ne

demande pas de le faire, mais de justifier votre r ´eponse).

9) Les r ésultats obtenus aux questions 7 et 8 sont en fait issus d’une m éthode appel ée homog én éisation cin ématique. Une autre m éthode, plus pr écise, appel ée homog én éisation p ériodique, permet de trouver les r ésultats partiels suivants :

  N0 T0 M0  =   4, 9. 107_N/m ₀ ₀ 0 · · 0 · 3. 107_Nm/rad     u0 v0 ω0  

Pour ce r ´esultat, peut-on trouver les caract ´eristiques (section S0, moment quadratique I0, module d’Young

E0) d’une poutre de longueur L équivalente qui donne le m ême r ésultat, c’est- à-dire de la forme (2) mais

avec une autre valeur de a, qu’on pourra noter a0? Application num ´erique pour les caract ´eristiques que

vous pouvez identifier.

3 ème partie : caract érisation de la fl èche compl ète

Ayant obtenu les caract éristiques équivalentes, on peut maintenant faire un calcul sur la fl èche enti ère, compos ée de n cellules (donc de longueur 2nL) soumise à un unique effort tranchant T = 2, 1 kN en bout : (i) avec les caract éristiques de l’homog én éisation cin ématique, (ii) avec les caract éristiques de l’homog én éisation p ériodique, (iii) avec un mod èle complet de toute la fl èche (mod èle de r éf érence, obtenu num ériquement), (iv) avec les caract éristiques d’une homog én éisation cin ématique, mais avec un mod èle de poutre de Timoshenko (avec cisaillement, sans l’hypoth èse de Navier-Bernoulli, qui n’a pas ét é étudi é ici). Ces calculs ont ét é r éalis és, et donnent les r ésultats suivants :

calcul d ´eplacement vertical en bout n = 4 n = 12 n = 34 (i) 3,6 mm 9,8 cm 2,22 m (ii) 4,7 mm 12,7 cm 2,88 m (iii) 6,7 mm 16 cm 3,6 m (iv) 8,6 mm 16,9 cm 3,5 m

(18)

11) Sur la fl èche enti ère mod élis ée comme une poutre équivalente, avec le chargement pr éc édent, dans quelle section les efforts int érieurs sont-ils les plus grands ?

Calculez le moment de flexion Mmaxdans cette section.

En supposant l’effort normal nul et avec les r ésultats (3), en d éduire les valeurs des d éplacements sur la cellule correspondante, u0, v0et ω0.

12) Avec les d éplacements de la question pr éc édente, et en reprenant la question 5, en d éduire les valeurs des efforts exerc és sur la poutre 1 en A : N1, T1, M1, en utilisant (2).

13) On cherche à v érifier si cette poutre 1 est correctement dimensionn ée. Sa section est circulaire, de diam ètre d = 1, 45 cm, et le mat ériau est un acier de module d’Young E = 200 GPa et de limite d’ élasticit é σY = 500MPa.

Avec la seule sollicitation N1, la poutre risque-t-elle de plastifier ? Risque-t-elle de flamber ?

Avec les sollicitations combin ´ees N1et M1, la poutre risque-t-elle de plastifier ? Le crit `ere de

(19)

Exercice 5. Syst èmes à barres et c âbles*

1 ère partie : étude d’un syst ème de tens égrit é Un syst ème de tens égrit é [4,5] est une structure compos ée de c âbles et de barres, utilis ée en G énie Civil pour l’architecture, les structures spatiales l ég ères. . . voir figure17.

FIGURE 17 – Applications des structures de tens égrit és ; à gauche : Needle Tower (Snelson

1968, image Onderwijsgek,https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kenneth_Snelson_Needle_ Tower.JPG, CC-BY-SA-2.5-NL) , `a droite : Tensarch Project [3]

Sa particularit é est que les barres ne sont reli ées qu’ à des c âbles, par leur extr émit és (les nœuds) ; les c âbles sont tendus alors que les barres ne travaillent qu’en compression. Les nœuds sont suppos és parfaits (toutes les rotations sont libres) de sorte qu’un syst ème de tens égrit é peut être vu comme un treillis tr ès particulier. La raideur de l’ensemble est obtenue en tendant les c âbles. On peut alors construire de grandes structures par assemblage de plus petits modules autocontraints (en équilibre sans efforts ext érieurs, avec des c âbles tendus).

On va s’int éresser dans un premier temps à un module tr ès simplifi é, plan et sym étrique, constitu é de deux barres et quatre c âbles, voir figure18(a). On suppose que les deux barres ne se touchent pas entre elles ; α est l’angle form é entre une barre et un c âble. On tend les c âbles de façon à obtenir un effort int érieur N0 dans ceux-ci, en l’absence d’effort ext érieur sur le module. Les caract éristiques des

barres et des c ˆables sont donn ´ees dans le tableau1.

L L tanα α α barre cable noeud

(a) Module de tens égrit é étudi é

L

F F

T

T / 2 T / 2

(b) Barre ´etudi ´ee

FIGURE18 –

section module d’Young limite d’ élasticit é en traction c âble Sc= 50 mm2 Ec = 80 GPa σY c= 200 MPa

barre Sb Eb= 200 GPa σY b= 250 MPa

α = 30, L = 1.2 m

TABLE1 – Caract éristiques des barres et des c âbles, et g éom étrie de la structure

1) Donner l’expression des efforts int ´erieurs dans les barres en fonction des donn ´ees (et de N0 en

(20)

2) Quel effort maximal N0permet de ne plastifier aucun c ˆable ? Application num ´erique.

3) Vis- à-vis du crit ère de flambement, quelle barre est la plus sollicit ée (les deux sont r éalis ées dans le m ême profil é d’acier) ?

4) Les barres sont r éalis ées dans un tube cylindique creux de diam ètre ext érieur De et de diam ètre

int ´erieur Di. Quelle est l’expression du moment quadratique de flexion I ?

5) A partir de quelle longueur L du module une barre va-t-elle plastifier avant de flamber ?`

6) On consid ère maintenant une barre de longueur L qui, à cause du montage de la structure, est aussi sollicit ée par un effort tranchant en son milieu, T (on suppose δ = T /L petit), voir figure18(b).

a) Quels sont le moment de flexion maximal et l’effort normal dans la poutre ?

b) D’apr ès vous, cette barre va-t-elle flamber plus t ôt que pr évu (c’est- à-dire si δ = 0) ? On ne de-mande pas la d émonstration, mais juste une justification !

2 ème partie : étude d’un c âble tress é On consid ère ici un c âble fabriqu é à partir du tressage de seulement 3 fils en acier de diam ètre d pour simplifier (figure19). En r éalit é, les c âbles sont fabriqu és avec un plus grand nombre de fils, de façon de plus en plus complexe quand les tensions doivent être

élev ées : pour information, la figure20(a)pr ésente la section d’un c âble de t él ési ège.

FIGURE19 – Constitution d’un c âble à 3 fils et poutre pleine équivalente

Chaque fil d’acier est donc une poutre courbe (comme un ressort, mais avec un grand angle d’h ´elice β, ou un faible angle d’enroulement α =π₂ − β, voir figure20(b)).

On ne demande pas ici d’analyser cette poutre courbe ! On fournit dans la suite des r ésultats d’ana-lyse (dans le cas o ù α est assez petit) qui ne devront pas être red émontr és.

Pour choisir de tels c âbles, soumis à une force de traction globale, on utilise dans les catalogues une poutre dite ‘ équivalente’ (figure19), de diam ètre le diam ètre ext érieur de tressage, ici Da= d 1 +

2√3 3 , de module d’Young équivalent Ea, et de limite d’ élasticit é équivalente en traction σY a(c’est cette poutre

équivalente qui était utilis ée dans la premi ère partie de ce sujet).

1) Pour la poutre ´equivalente (figure19) soumise `a une force de traction F , donner, en fonction entre autres de Da, Ea, σY a, les expressions de :

a) son allongement ∆L, b) sa contrainte σa,

(21)

(a) Section d’un c âble de support de t él écabine (d’apr ès document Poma)

(b) Un fil est une poutre courbe en h ´elice

FIGURE20 –

2) On fournit les informations suivantes : lorsqu’on tire sur le c ˆable avec un effort de traction F , chaque fil est soumis `a :

— son propre effort de traction N =F 3,

— mais aussi à un moment de flexion (autour de ~e2, voir figure 19) égal à Mf =

√ 3 GI

ESd2α 2F

3d (qu’on admettra dans toute la suite).

Sest la section du fil de diam `etre d, I, son moment quadratique de flexion, E est le module d’Young de l’acier qui constitue le fil, G son module de cisaillement, α, l’angle d’enroulement.

a) Donner l’expression de la contrainte maximale σmax dans la section d’un fil en fonction de N et

Mf.

Dans toute la suite, vous utiliserez l’expression suivante : σmax=

F 3S 1 + √ 3 2 α 2G E

b) Dans le cas d’un fil non enroul ´e (α = 0) on a ´evidemment comme contrainte maximale dans la section σ0

max=

F

3S. Application num ´erique pour σmax

σ0 max

avec un fil en acier ´etir ´e pour lequel E = 200 GPa, G = 80 GPa, α = 10◦= 0, 175 rad.

c) Pour un acier de limite d’ ´elasticit ´e en traction σY, quelle est l’expression de la charge maximale

sur l’ensemble du c ˆable, Fmaxqui ´evite de plastifier les fils ?

d) Pour la poutre pleine équivalente au c âble, en d éduire σY aqui donne la m ême charge maximale

Fmax sous la forme σY a = kσY o `u vous donnerez l’expression du coefficient k. Application num ´erique

(22)

Exercice 6. Capteur acoustique passif sous-marin*

La surveillance des fonds marins, outre les objectif militaires, a aussi pour fonction de pr ´evenir les catastrophes naturelles, comme les tsunamis.

FIGURE21 – D’apr `es [1]https://apps.dtic.mil/docs/citations/ADA494741

Il s’agit alors de d éployer un r éseau de nombreux capteurs sur de tr ès longues distances. L’interro-gation de tels capteurs lointains peut tirer parti des technologies utilis ées en communication, comme la fibre optique.

Une technologie int égr ée r écente de capteurs de pression acoustique (microphones sous-marins) utilise le laser à fibre : une faible longueur de fibre optique (de l’ordre de L = 6 cm) est trait ée pour émettre, en r éaction à un signal lumineux de puissance qui la traverse, une lumi ère laser à une unique fr équence qui d épend de l’allongement du tronçon de longueur L. Un capteur acoustique devant me-surer la pression ext érieure à ce tronçon, un dispositif m écanique doit permettre de transformer cette pression en un allongement (ou un raccourcissement) du tronçon.

La figure 22(a) pr ésente un tel dispositif. Il est constitu é d’un tube rigide, ferm é par deux mem-branes d éformables ; la fibre traverse ces memmem-branes auxquelles elle est coll ée, le tout formant un boˆıtier étanche.

La fibre optique se pr ésente sous la forme d’un cylindre de silice de diam ètre D = 0, 125 mm, de module d’Young E = 72 GPa, de coefficient de Poisson ν = 0.2, et de limite d’ élasticit é σY = 100 MPa.

1) Sous l’effet d’une force axiale F , chaque membrane se d éforme et son centre se d éplace cette d’une valeur u0proportionnelle à F : u = s0F, figure22(c). Un essai à F = 100 N donne u0= 6 µm.

Donnez l’expression de la raideur k d’une longueur L de fibre en traction/compression. Application num ´erique. Est-elle n ´egligeable devant celle des membranes ? Justifiez rapidement.

2) Sous l’effet d’une pression ext érieure p uniquement, chaque membrane se d éforme et son centre se d éplace cette fois-ci d’une valeur u proportionnelle à p : u = sp, figure22(b). Un essai à p = 2 bars (rappel : 1 bar = 105_{Pa) donne u = 5.75 µm.}

Si on n églige la rigidit é de la fibre en traction/compression devant celle des membranes, donnez l’ex-pression de la d éformation ε dans la fibre en fonction de p sous la forme ε = αp. Application num érique pour α.

(23)

L

p p

membrane déformable partie rigide

cavité vide (pression interne nulle)

fibre optique

(a) Principe du capteur `a laser `a fibre

L

p p

u

(b) D ´eformation du boˆıtier sous une pression ext ´erieure p

L

u’

F F

(c) D ´eformation du boˆıtier sous un effort axial F

FIGURE22 –

Une autre r ´ealisation de boˆıtier conduit `a

|α| = 1.2 10−5 _(MPa)−1_{, |s| = 3.6 10}−13_m/N_{et |s}0_{| = 5.5 10}−8_m/N,

que vous prendrez dans la suite, ind épendamment des r ésultats pr éc édents. Dans toute la suite, on n égligera la raideur de la fibre vis à vis de celle des membranes.

3) Pour une profondeur en mer de 200 m, la pression ext ´erieure est p = 20 bars. Donnez l’expression de la contrainte de compression σ dans la fibre. La fibre reste-t-elle dans son domaine ´elastique ?

4) Toujours dans les m ˆemes conditions, y a-t-il un risque de flambement de la fibre ? On prendra pour conditions aux limites pour la fibre un encastrement avec les membranes.

Quelle est la pression ext érieure maximale p0qui évite le flambement ? Application num érique.

Pour augmenter p0, on envisage plusieurs solutions. La premi ère consiste à pr étendre la fibre au

montage avec un effort de traction F0, figure23.

mise sous tension de la fibre assemblage membranes/fibre on relache la fibre

F₀ F0 F0 F0

FIGURE23 – Pr ´etension de la fibre au montage

5) Donnez l’expression de la d ´eformation ε0de la fibre lorsqu’elle est sous tension (avant assemblage

avec les membranes). Une fois la fibre assembl ée et relach ée, montrez que le d éplacement u1dont ont

fl ´echi les membranes s’ ´ecrit

u1=

s0k 1 + 2s0_kε0L

Quelle est alors l’expression de la d ´eformation totale ε1 dans la fibre (par rapport `a la situation avant

(24)

6) On met l’ensemble sous pression ext érieure p. Quel est alors l’expression du d éplacement total u? À partir de quelle pression p1 la fibre n’est-elle plus contrainte ? (dans ces expressions, inutile de

remplacer u1par son expression pr ´ec ´edente...)

7) Quelle est la nouvelle expression de la pression maximale p0 pour ´eviter le flambement (inutile

encore de remplacer u1par son expression pr ´ec ´edente...) ?

Si on veut p0> 20 bar, quelle est la valeur initiale de F0 `a installer ? Applications num ´eriques.

V ´erifiez que sous cette valeur de F0la fibre n’a pas plastifi ´e au montage.

8) Quelle est la sensibilit é G du capteur ainsi r éalis é ? (si on change p de ∆p, u change de ∆u = G∆p).

Une autre solution consiste à essayer de guider la fibre. Pour cela, on remplit la cavit é int érieure du capteur avec un autre mat ériau de caract éristiques élastiques E0, ν0, σY 0. Pour l’instant, on

consid `ere que la fibre n’est pas pr ´etendue au montage.

9) Caract ´eristiques du boˆıtier rempli : cette fois-ci, on obtient |s0| = 4.5 10−8_m/N_{et |α| = 10}−5_(MPa)−1

(voir questions 1 et 2). Pouvait-on pr évoir que la valeur de |α| serait moins élev ée qu’auparavant ? Jus-tifiez bri èvement votre r éponse.

Cette fois-ci, la fibre se comporte diff éremment en flambement. En effet, le mat ériau de remplissage, élastique, a tendance à retenir la fibre lat éralement. On peut alors consid érer que la fibre est sollicit ée comme sur la figure24avec une raideur r épartie k0(quand la fl èche est v(x), le mat ériau de remplissage

r éagit avec une charge lin éique r épartie sur la fibre −k0v(x)) mod élisant l’interaction avec le mat ériau

de remplissage. On prendra k0= 1000 N/m2pour les applications num ´eriques.

F F v(x) x L k0 x = L x = 0

FIGURE24 – Flambement de la fibre sur support ´elastique

10) Donner l’expression de l’ ´energie ´elastique de la poutre, Ed, puis celle du support, Es, lorsque la

poutre se d éforme avec une fl èche v(x) (les expressions sont demand ées sous forme d’int égrales le long de la poutre).

11) Pour obtenir une approximation de la nouvelle charge critique de flambement, on va utiliser le quotient de Rayleigh R = Ed+ Es 1 2 Z L 0 dv dx 2 dx

Lorsque la rigidit é k0 est suffisamment faible, le mode de flambement ressemble à celui o ù il n’y a

pas de support ´elastique. En approchant ce mode par v(x) = v0

h

1 − cos2πx L

i

o ù v0est une constante, montrez que la charge critique de flambement s’ écrit Fc+ βk0L2, o ù Fc est la

charge critique sans support élastique, et β une constante dont vous donnerez l’expression. Pour éviter les calculs, on donne les valeurs (on ne demande donc pas de d émontrer ces expressions !) :

Z L 0 v2dx = 3 2Lv 2 0, Z L 0 dv dx 2 dx = 1 2L 2π L 2 v₀2, Z L 0 d2v dx2 2 dx = 1 2L 2π L 4 v2₀

12) Avec l’expression pr éc édente de la charge critique, et en prenant β ≈ 0.1, donnez l’expression de la nouvelle pression ext érieure maximale p0avant qu’il n’y ait flambement. Conclusion ?

(25)

Exercice 7. Rail de chemin de fer*

(a) Rails SNCF in situ (b) Profil normalis ´e de rail “Vignole” (hau-teur 140 mm)

FIGURE25 –

1 ère partie : Flambement d’une poutre sous sollicitation thermique On se propose de trouver pourquoi les anciens rails SNCF sont install és en tronçons de longueur L, s épar és par des jeux de dilatation e, et de dimensionner ceux-ci, figure26(a). On va s’int éresser ici uniquement à des rails droits (en ligne droite, donc). Dans toute la suite, on n égligera le poids du rail.

L

x y e

(a) Disposition des rails sur la voie

L N₀ N₀ N N L + ∆L e/2 a b c d

(b) Diff ´erentes configurations d’un rail

FIGURE26 –

Les rails ont une g éom étrie particuli ère, figure 25(b), impos ée, de section S = 6000 mm2 _{et de}

moment quadratique I = 2, 8.10−6_m4 _{pour une flexion autour de (G, −}→_{z )} _{(lat ´erale). Pour des raisons}

d’installation et de maintenance, les longueurs sont L = 36 m. Ils sont constitu és d’acier de module d’Young E = 200 GPa et de limite d’ élasticit é en traction σY = 300 MPa.

Si on consid `ere un unique rail de longueur L, sous l’effet d’une variation de temp ´erature ∆T , il s’allonge de ∆L (figure26(b)cas a et b).

On note α = ∆L/∆T

L le coefficient de dilatation du mat ´eriau. Pour l’acier du rail, il vaut α = 10

−6_K−1_.

1) Si les rails sont mont és jointifs (c’est- à-dire si e = 0), ils ne peuvent s’allonger. Ils subissent alors un effort de compression not é N0 (figure 26(b) cas c). Quelle est l’expression de N0 en fonction des

donn ´ees du probl `eme, dont ∆T ?

2) Toujours si e = 0, rappeler l’expression de l’effort critique Nc vis `a vis du crit `ere de flambement

de la poutre. En d ´eduire la variation de temp ´erature maximale admissible ∆Tc pour le rail. Application

(26)

3) Dans le cas o ù il existe un jeu e, donner l’expression de l’effort N (figure26(b)cas d). Pour tol érer une variation de temp érature ∆T = 200◦Csans flambement, donner l’expression du rapport e/L mini-mal à installer. Application num érique et conclusion.

4) V ´erifier que sous le chargement critique Nc, il n’y a pas de plastification du rail.

2 ème partie : Flambement du rail En pratique, l’ étude pr éc édente n’est pas significative pour le flambement du rail. En effet, celui-ci est plac é sur une embase, elle-m ême d épos ée sur du ballast, figure25(a). On se propose donc ici d’ étudier le flambement lat éral d’une poutre (le rail), support ée par une raideur r épartie lat éralement le long de cette poutre k (le comportement du support de rail : quand la fl èche est v(x)−→y, le support r éagit avec une charge lin éique sur le rail −kv(x)−→y), figure27à gauche. On a estim é cette raideur à k = 105_N/m2_{. Cette raideur est d’autant plus élev ée que le rail est fix é}

rigidement avec son support.

Enfin, on appelle v(x) la fl `eche de la poutre suivant −→y.

L x y k F F

FIGURE27 – Mod élisation du support lat éral du rail ( à gauche) et mode de flambement au bout x = 0 de la poutre ( à droite)

Une étude pr éalable a montr é que lorsque la raideur k est suffisamment élev ée, le mode de flam-bement est localis é en bout de poutre. C’est ce qui se produit en pratique sur un rail. Pour avoir une estimation de la charge critique Fccorrespondante, on propose d’utiliser une forme raisonnable du mode

de flambement (voir figure27`a droite) :

v(x) = v0· e − x a · cos x a+ π 4 !

o `u v0et a sont des param `etres, pour l’instant inconnus.

Le quotient de Rayleigh associ ´e est Fc =

24EI + ka4

12a2 (on ne demande pas de retrouver cette

ex-pression !).

5) Donner alors l’expression de a qui minimise Fc, puis la valeur de la charge critique Fc associ ´ee.

Application num ´erique pour a/L et Fc.

Pour la suite, et ind épendamment de la valeur éventuellement trouv ée pr éc édemment, on prendra celle correspondant à un autre type de rail, à savoir Fc= 100 kN

6) Au vu de la valeur de Fc et vis `a vis du r ´esultat obtenu sur la dilatation du rail sans joint (e = 0),

quelle variation de temp ´erature ∆Tc est alors admissible ? Application num ´erique et conclusion.

7) Pour tol érer une variation de temp érature ∆T = 200◦Csans flambement, donner l’expression du rapport e/L minimal à installer. Application num érique et conclusion.

8) V ´erifier que sous le chargement critique Fc, il n’y a pas de plastification du rail.

9) Pourrait-on poser un rail continu (c’est à dire pour lequel e = 0), et qui supporte une variation de temp érature ∆T = 200◦C sans flambement ? Donner alors la valeur de la raideur k n écessaire du support. Application num érique.

(27)

3 ème partie : Étude du rail en flexion On s’int éresse maintenant à étudier la d éformation du rail soumis à son poids propre not é −ρg−→y. Pour cela on consid ère la mod élisation suivante : le rail est une poutre droite élastique de type Navier Bernoulli. Afin de prendre en compte l’ élasticit é du support, on consid èrera que la poutre est en appui sur deux ressorts élastiques à ses extr émit és x = 0 et x = L. Ces deux ressorts ont la m ême raideur, not ée k. On cherche à calculer v(x) la fl èche de la poutre suivant −→y.

10) Ecrire l’ équation diff érentielle du quatri ème ordre que doit v érifier la fl èche v(x), compte tenu des´ hypoth èses. En d éduire que le d éplacement s’ écrit : − ρgx

4

24 + Ax

3 _{+ Bx}2 _{+ Cx + D. Afin}

d’ache-ver la d étermination de v(x), c’est à dire la d étermination des constantes A, B, C, et D, on va, par l’interm édiaire des questions qui suivent, d éterminer rigoureusemment les conditions aux limites du probl ème.

11) Quelle force le ressort situ é à l’extr émit é x = L exerce t-il sur la poutre ? En d éduire la condition portant sur l’effort tranchant en x = L. Quelle force le ressort situ é à l’extr émit é x = 0 exerce t-il sur la poutre ? En d éduire la condition portant sur l’effort tranchant en x = 0. Pour cette extr émit é vous prendrez soin de respecter la convention utilis ée en cours dans la d éfinition des efforts int érieurs.

12) Dans ce probl ème, l’effort tranchant not é T est égal à T = −EId

3_v

dx3. D ´eduire de la question

pr éc édente une équation reliant la valeur de d

3_v

dx3 à v à chacune des extr émit és.

13) Quelle est la condition sur la valeur du moment aux deux extr émit és ? En d éduire (en la justifiant) la valeur de la d ériv ée deuxi ème de v(x).

14) Gr âce à la question pr éc édente, montrer que B = 0 et que A =ρgL 12.

15) En utilisant la condition sur l’effort tranchant en z éro et les r ésultats pr éc édents, montrer que D = −EIρgL

2k .

16) En utilisant la condition sur l’effort tranchant en x = L, achever la d étermination de v. Donner l’expression de la fl èche maximum. Calculer la rotation aux deux extr émit és.

(28)

Exercice 8. Aile d’avion*

On consid ère une aile d’avion dans deux configurations diff érentes : en vol ou au sol. La carlingue de l’avion à laquelle l’aile est attach ée est suppos ée rigide, et on mod élise dans un premier temps l’aile par une poutre de section uniforme, de longueur L, fabriqu ée dans un mat ériau de module d’Young E, de section ayant un moment quadratique de flexion I. En vol, l’action de l’air selon la verticale (la portance) est suppos ée être une r épartition d’effort lin éique p le long de la poutre, figure 28 à gauche. Au sol, seule l’action du train d’atterrissage sur l’aile est consid ér ée F , figure28à droite. Dans tous les cas, on n égligera le poids propre de l’aile, et on notera M la masse totale de l’avion.

FIGURE28 – Mod èle simplifi é de l’aile ; à gauche : en vol, à droite : au sol

1) Si on n églige, en vol, la portance de la carlingue, alors la charge lin éique p sur les deux ailes équilibre le poids de l’avion. Donner l’expression de p en fonction des donn ées.

2) Si on n églige, au sol, l’action du train d’atterrissage avant, alors l’effort sur les deux ailes équilibre aussi le poids de l’avion. Donner l’expression de F en fonction des donn ées.

3) Sollicitations dans la poutre :

a) Tracer dans chaque cas, la r épartition du moment fl échissant le long de la poutre. b) Quelle est la section (suppos ée ici uniforme) la plus sollicit ée dans chaque cas ? c) Lequel des deux chargements est le plus p énalisant pour le crit ère de limite élastique ?

4) On consid `ere maintenant, pour simplifier, une section elliptique creuse pour l’aile, figure29en haut, de demi-axes a et b et d’ ´epaisseur e. On donne le moment quadratique de flexion pour une section elliptique pleine (on ne demande donc pas de le retrouver !) : I = πab

3

4 . Donner l’expression de I pour la section consid ´er ´ee.

(29)

FIGURE30 – Profil NACA. En haut : maillage él éments finis, en bas : contraintes calcul ées

Dans le cas o `u l’ ´epaisseur e est petite devant a et b, l’expression de I est I = (3 − 2η)η2πea 3

4 , o ù η = b/aest appel ée la finesse, qu’on prendra dans la suite, sans chercher à la d émontrer.

5) Toujours pour la section elliptique creuse, donner l’expression de la contrainte maximale σ dans la section en fonction du moment de flexion Mf, de a, η et e.

6) Quelle que soit la forme de la section, une analyse dimensionnelle avec des hypoth `eses raison-nables donne le r ´esultat suivant (admis) : σ = f (η) 1

e/a Mf

a3 o `u f est une fonction d ´ependant du profil de

la section et de η.

a) Donner l’expression de f (η) pour l’ellipse creuse. Application num ´erique pour η = 0, 15.

b) Un calcul par él éments finis pr ésent é sur la figure29en bas, donne, pour les param ètres a = 1, e = 0.03, η = 0, 15, Mf = 1une contrainte maximale σ = 116. Commentez bri èvement ce r ésultat et

comparez-le avec celui obtenu par r ´esistance des mat ´eriaux.

7) Un profil de section plus r éaliste (profil ext érieur de type NACA5, le profil elliptique fonctionne tr ès mal du point de vue a érodynamique) est pr ésent é sur la figure 30en haut. Ses caract éristiques sont e/a = 0, 04et η = 0, 12. Une simulation num érique r éalis ée avec a = 0, 5 et Mf = 1, pr ésent ée sur la

figure30en bas, donne une contrainte maximale σ = 1190. a) Commentez bri `evement ce r ´esultat.

b) Donner la valeur de f correspondant `a ce profil et cette finesse.

c) Du point de vue de la limite élastique, quel profil r ésiste le mieux à mat ériau, épaisseur e et finesse ηidentiques ? Justifiez.

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R ´ef ´erences

[1] Scott Foster. Listening with light. Australian Defense Science, 13(1) :10–11, 2005.

[2] Ga ëlle Jaouen. Etude des strat égies biom écaniques de croissance des jeunes arbres en peuplement h ét érog ène tropical humide. phdthesis, Universit é Henri Poincar é – Nancy I, December 2007. URL :

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[3] R. Motro. Tensarch : A tensegrity double layer grid prototype. In Space Structures 5, pages 1 :57–66. Thomas Telford Publishing, jan 2002. doi:10.1680/ss5v1.31739.0007.

[4] R. Motro. Tensegrity. Elsevier, 2003. doi:10.1016/b978-1-903996-37-9.x5028-8.

[5] Ren é Motro. Tensegrity : from art to structural engineering. In 2012 IASS-APCS Symposium, page 14 p., S éoul, South Korea, May 2012. URL :https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00857410. [6] Christophe Proisy. Apport des donn ées radar à synth èse d’ouverture pour l’ étude de la dynamique des écosyst èmes forestiers. PhD thesis, Universit é Paul Sabatier – Toulouse III, 1999. Th èse de doctorat dirig ée par Mougin, Eric Sciences biologiques et fondamentales appliqu ées. Psychologie Toulouse 3 1999. URL :http://www.theses.fr/1999TOU30040.

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[8] B. Thibaut, J. Gril, and B. Chanson. Wood growth and development. In Encyclopedia of Applied Plant Sciences, pages 96–105. Elsevier, 2003. doi:10.1016/b0-12-227050-9/00045-4.