() DEVOIR A LA MAISON N°3. 1S

DEVOIR A LA MAISON N°3. 1S

I. Écrire sous forme canonique : f( x) 3 x² 5 x 2.

II. Résoudre les équations suivantes : 1. 4x ² 1 4 x

2. 3x ² 5x 4 0

3. 3x

⁴

5x² 2 (Poser X x ²) III.

1. Résoudre le système suivant : (S) :

 

 3 x 5 y 26 0 2 x 10 y 36 .

2. En utilisant la question 1, résoudre ( ) ^S

²

^: _ ^{  3x} _2x ^{² 5y² 26} _{² 10y² 36} ^{0 .}

IV. Un agriculteur possède un champ, représenté ci-dessous par le triangle ABC, en forme de triangle rectangle. Il sait que AB 50 m. Il affirme que pour le clôturer, il a besoin d exactement 130 mètres de clôture. Est-ce possible ?

V. f est la fonction définie sur par f (x ) x² 3x 1 et P est sa courbe représentative dans un repère.

1. Déterminer les coordonnées du point d intersection de P avec l axe des abscisses.

2. Pour tout réel q, on considère la droite D

_q

d équation y qx. Déterminer pour quelles valeurs de

q, la droite

q

et la parabole P n ont pas de point d intersection.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°3. 1S

I. f (x ) 3x² 5 x 2 3

 

  x² ⁵

3 x 2 3

 

 

 

  x ⁵

6

2

25

36 2 3

 

  x ⁵

6

2

75

36 2 3

 

  x ⁵

6

2

1

12 . La forme canon ique de f(x ) est 3

 

  x ⁵

6

2

1

12 ..

II.

1. 4x ² 1 4 x  4 x² 4x 1 0.

0 donc l équation a une unique solution qui est x

0

( 4) 2 4

1

2 . S

 



 

1 

2 . 2. 3x ² 5x 4 0

23 0 donc l équation n a pas de solution : S .

3. On pose X x².

3 x

⁴

5x² 2  3x

⁴

5 x² 2 0 

 

 X x²

3X ² 5X 2 0 Résolution de 3 X² 5X 2 0 :

1 donc l équation a deux solutions : X

1

5 1

2 3 1 et X

2

5 1

2 3

2 3 . Ainsi, 3 x

⁴

5x² 2 

 

 X x ²

X 1 o u X ²

3

 x² 1 ou x ² 2

3 . Le carré d un réel étant positif ou nul, l équation n a pas de solution : S .

III.

1. (S ) :

 

 3x 5y 26 0 2x 10y 36 

 

 6x 10y 52 2 x 10 y 36 

 

 6 x 10 y 52

8 x 16 

 

 6x 10 y 52 x 2



 

 6 2 10 y 52

x 2 

 

 10 y 40

x 2 

 

 y 4 x 2 . La solution de (S) est le couple (2 4).

2. En utilisant la question 1, résoudre ( ) ^S

²

^: _ ^{  3x} _2x ^{² 5y² 26} _{² 10y² 36} ^{0 .}

D après la question 1, ( ) ^S

2



 

 x ² 2 y ² 4 

 

 x 2 ou x 2

y 2 ou y 2 .

Ainsi les solutions du système sont les couples ( ^{2 2 ,} ) ( ^{2 2 ,} ) ( ^{2 2 et} ) ( ^{2 2 .} )

IV. On pose AC x et BC y .

Supposons que le périmètre du triangle ABC soit 130 mètres. On a alors : x y 50 130 et, d après le th de Pythagore, x² y ² 2500.

On a alors le système ( S) :

 

 x y 80 x² y² 2500 (S ) 

 

 y 80 x

x ² (80 x)² 2500 

 

 y 80 x

2x ² 160x 3900 0 .

Résolution de 2 x² 160x 3900 0 : 5600 0 donc l équation n a pas de solution.

Il est donc impossible que le périmètre du champ soit 130 mètres.

V. f est la fonction définie sur par f (x ) x² 3x 1 et P est sa courbe représentative dans un repère.

1. On résout l équation f (x ) 0 : f (x ) 0  x ² 3x 1 0.

1 donc l équation a deux solutions qui sont x

1

3 1

2 1 2 et x

2

3 1

2 1 1.

P coupe l axe des abscisses aux points A( 2 0) et B ( 1 0).

2. P et D

q

n ont pas de point d intersection ssi l équation f (x) qx n a pas de solution.

f (x ) q x  x² 3x 1 qx  x² (3 q ) x 1 0 (3 q)² 4 1 1 q ² 6 q 5.

f (x ) qx n a pas de solution ssi q² 6 q 5 0.

On étudi e donc l e s i gne de q ² 6q 5 :

16 donc le trinôme a deux racines qui sont q

1

1 et q

2

5 et il est du signe de a 1 0 sauf entre ces racines. On a donc le tableau de signes suivant :

q 1 5 +

q² 6q 5 +

Ainsi, 0 ssi 1 q 5.

P et D

q

n ont pas de point d intersection ssi q  ]1 5[.

Remarques :

si q 1 ou q 5, P et D

q

ont un point d intersection car l équation f (x ) q x a une unique solution ( ^{0 .} )

si q 1 ou q 5, P et D

q

ont deux points d intersection car l équation f (x ) qx a deux solutions

(

q

0 . )