4 3 , pour tout n

Exercice n°1 : ©

On considère la suite ( ) u n définie par :

⁰

1

0

4 3 , pour tout n

n n

u

u

₊

u

=

= + Î

ìï í

ïî ^¥ .

1. a) Montrer que pour tout n de IN, 0 £ u _n < 4 . b) Montrer que ( ) u n est strictement croissante

c) En déduire que ( ) u n converge et déterminer sa limite.

2. a) Montrer que pour tout entier naturel n, on a :

1

( )

4 1 4

n 2 n

u

₊

u

- £ - .

b) Retrouver le résultat de 1. c).

Exercice n°2 :

On considère la suite ( ) u n définie sur ¥ par : ⁰

1

0

6 , pour tout n de IN

n n

u

u ₊ u

ìï =

í = -

ïî

On note f la fonction définie sur ] ^{-¥ , 6} ] ^{par f} ( ) ^{x = 6 - x .}

Sa courbe est représentée ci – dessous dans un repère orthonormé

1) Placer les quatre premiers termes de la suite ( ) u n sur l’axe des abscisses.

2) Répondre par « Vrai ou Faux » aux questions suivantes, en utilisant le graphique :

a) ( ) u n est monotone ; b) u _{2 n} £ u _{2 n + 1} ; c) u _{2 n} £ u _{2 n + 2} ; d) u _{2 n + 1} £ u _{2 n - 1} ; e) ( ) u n converge vers 2.

a b c d e

Faux Vrai Faux Vrai Faux Vrai Faux Vrai Faux Vrai

Suites réelles 2

4

^ème

année Maths

Septembre 2009

A. LAATAOUI

3) On se propose dans cette question de démontrer la convergence de la suite ( ) u n . a) Montrer que pour tout n de IN, on a : ₁ 1

2 2

n 2 n

u ₊ - £ u - .

b) Montrer par récurrence que pour tout n de IN, on a : 1

2 2

2

n

u n æ ö

- £ ´ç ÷ è ø . c) En déduire que ( ) u n est convergente et déterminer sa limite.

Exercice n°3 : ©

On considère la suite U définie sur _¥ par :

0

1

1 1 1

n 1

n

u

u

⁺

u

=

= + + ì ï

í ïî .

1. Montrer que pour tout n de _¥ , u _n ³ 1 et u _n ¹ 2 . 2. Montrer que pour tout n de _¥ ,

¹

^{2 1 2}

2 1

n n n

u u u

+

- -

= +

- .

3. On pose ^{2 1} k 2 -

= .

Montrer que pour tout n de _¥ , u _n

₊₁

- 2 £ k u _n - 2 . En déduire que la suite U converge vers 2 . 4. Montrer que pour tout n de _¥ , 0

²

² 1

2

n n

u u

+

-

< <

- .

En déduire que la suite ( ) u

2n

est croissante et que la suite ( u

2

n

₊1

) est décroissante.

5. Application : calculer les premiers termes de la suite U et établir les encadrements suivants de 2 : 1 ^{7 41} 2 ^{99 17 3}

5 29 70 12 2

< < < < < < . Exercice n°4 :

1. Soit ( ) u n la suite réelle définie par

₁

0, ¹ u Î ù 2 é

ú ê

û ë et pour tout n de _¥

^*

, u _n

₊1

= u _n ( 1 - u _n ) . a) Montrer que pour tout n de _¥

^*

, 0 ¹

n 2

< u < . b) Montrer que pour tout n de _¥

^*

, ¹

n 1 u < n

+ .

(on pourra utiliser les variations de la fonction f définie sur 0, ¹ 2 é ù ê ú

ë û par ^{f ( ) x = x} ( ^{1 - x} ) ^).

c) Trouver lim _n

n u

®+¥

.

2. Soit ( ) v n la suite définie par v _n = nu _n pour tout n de _¥

^*

.

Montrer que la suite ( ) v n est croissante et qu’elle est convergente.

Exercice n°5 :

Soit (U) la suite définie sur IN* par U n = å ⁺

= +

+ = + +

+ +

+ ^{2 n 1}

0 k n ² n k 1

n 2

²

n n

..

...

1

² n n

²

n n .

1°/a- Montrer que pour tout nÎ IN* : n 1 U ^{2 n} _n ² n

2 £ n £ +

+ .

b- En déduire que (U) est convergente et calculer sa limite.

2°/a- Montrer que pour tout nÎ IN* : n n 1 n

2 1 £ - - . b- Déduire que pour tout nÎIN* : 3 1 ... n 1 2 n

1 2

1 + + + + £ .

3°/ Soit S _n = U ₁ + U ₂ +…….+ U _n .

a- Montrer que pour tout nÎIN* : 2n – 2( 1 3 ... n 1 )

1 2 1 ( 2 n 2 S 1 ) n 1 ...

3 1

2 1 £ _n £ + + + + +

+ + + +

b- En déduire que pour tout nÎ IN* : 2n - 4 n + 1 £ S n £ 2 n + 4 n ; puis calculer lim ⁿ

n

S

®+¥ n . Exercice n°6 :

On considère la suite (U _n ) définie sur IN par : U ₀ =

2 1 et pour tout nÎIN* : U _n = ( 1 - 2 1 n ) U _{n - 1} . 1°/Montrer que pour tout nÎIN : U n > 0.

2°/Soit (V _n ) définie sur IN par : V _n = n+ 1 U n . a- Exprimer :V² n+1 - V² n en fonction de n et de U² n .

b- Déduire que (V n ) est décroissante et que pour tout nÎIN : U n

1 n 2

1

£ + .

3°/ Soit (W _n ) la définie sur IN par : W _n = n U _n . a- Montrer que (W n ) est croissante.

b- Déduire que pour tout nÎ IN ^* : U n

n 4

³ 1 .

4°/ Montrer que (U _n ) est convergente et calculer sa limite.

5°/a- Calculer U n en fonction de n.

b-En déduire

² )

! n ( 2

)!

n 2 Lim ₂ ( _{n 1}

n ® +¥ + .

Exercice n°7 :

Le but de cet exercice est l’étude de la suite ( ) S n définie, pour n ³ 2 , par :

0

sin

n n

k

S k

n p

=

æ ö

= å ç è ÷ ø ^. 1. On pose pour n ³ 2 : z e ^{i n}

p

= . Calculer la somme

1

0 n

k k

z

-

å = ^.

2. Montrer que, pour n ³ 2 : 2 1 1 1

2 z i

tg n

= + p

- æ ö

ç ÷ è ø

.

3. En déduire que, pour n ³ 2 : 1 2 S n

tg n

= p

æ ö ç ÷ è ø

.

4. Etudier la limite de la suite ( ) u n définie, pour n ³ 2 , par : _n S ⁿ

u = n .

Exercice n°8 : ©

On définit les suites ( ) a n et ( ) b n par a

₀

= 1 , b

₀

= 7 et

( )

( )

1

1

1 2 3

1 2

3

n n n

n n n

a a b

b a b

+

+

= +

= +

ì ïï í ï ïî

.

Soit D la droite munie d’un repère ( ) ^{O i , r} . Pour tout n Î ¥ , on considère les points A _n et B _n d’abscisses respectives a _n et b _n .

1. Placer les points A

₀

, B

₀

, A

₁

, B

₁

, A

₂

et B

₂

.

2. Soit ( u _n ) la suite définie par u _n = b _n - a _n pour tout n Î ¥ . Démontrer que ( u _n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimer u _n en fonction de n.

3. Comparer a _n et b _n . Etudier le sens de variation des suites ( ) a n et ( ) b n . 4. Démontrer que les suites ( ) a n et ( ) b n sont adjacentes.

5. Soit ( ) v n la suite définie par v _n = a _n + b _n pour tout n Î ¥ . Démontrer que ( ) v n est une suite constante.

6. Justifier que les suites ( ) a n et ( ) b n sont convergentes et calculer leur limite.

Exercice n°9 :

On définit deux suites u et v sur ¥ par :

0

1

1 2 _{n n}

n

n n

u u u v

u v

+

=

= +

ì ï

í ïî ^et

0

1

3

2

n n

n

v

u v v

₊

=

= + ì ï í ïî

1. Calculer les valeurs exactes de u

₁

, v

₁

, u

₂

et v

₂

. 2. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n ,

( )

( )

2

1 1

2

n n

n n

n n

v u

v u

u v

+ +

- = -

+ .

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , 0 < u _n < v _n .

3. a) Montrer que, pour tout entier naturel n ,

( )

1 1

1

n n 2 n n

v

₊

- u

₊

£ v - u

b) En déduire que, pour tout entier naturel n ,

1

1

n n 2 n

v - u £

_-

.

4. Démontrer que les suites u et v sont adjacentes. Que peut – on déduire ? 5. On pose pour tout entier naturel n : a _n = u v _{n n} .

a) Prouver que la suite ( ) a n n

_Î¥

est constante.

b) En calculant de deux façons différentes la limite de a _n lorsque n tend vers +¥ , déterminer la limite commune l des suites u et v .

6. En utilisant u

₂

et v

₂

, donner un encadrement de l par deux décimaux, d’amplitude 0.04.

Exercice n°10 : (Contrôle 2009) ©

On considère les suites ( ) u n et ( ) v n définies sur IN par

0 1

0 1

0 ; 2

3

3 2

1 ;

5

n n

n

n n

n

u v

u u

u v

v v

+

+

ì = = +

ïï í +

ï = =

ïî 1. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, u _n £ v _n .

2. Montrer que la suite ( ) u n est croissante et que la suite ( ) v n est décroissante.

3. Montrer que les suites ( ) u n et ( ) v n sont convergentes et qu’elles admettent la même limite.

4. Soit la suite ( ) w n définie sur IN par w _n = 9 u _n + 5 v _n a) Montrer que ( ) w n est une suite constante.

b) En déduire la limite commune des suites ( ) u n et ( ) v n .

Exercice n°11 :

On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : 1 ^{1 1} ... ¹

1! 2 ! !

= + + + +

u n

n et ¹

= + !

´

n n

v u

n n . 1. Vérifier que : u

₁

= 2 et v

₁

= 3 , puis calculer u u v

₂

,

₃

,

₂

et v

₃

.

2. Montrer que ( u _n ) est une suite strictement croissante.

3. a) Démontrer que pour tout entier n ³ 1, on a :

₁

¹

( 1) ( 1) !

+

- = -

´ + ´ +

n n

v v

n n n .

b) En déduire que ( v _n ) est une suite strictement décroissante.

4. a) Démontrer que pour tout entier n ³ 2, on a : n !³ n . b) Calculer : lim !

® +¥

n n , puis lim ¹

® +¥

´ !

n n n .

c) En déduire que les suites ( u _n ) et ( ) v _n sont adjacentes.

Exercice n°12 :

On considère la suite ( u _n ) définie pour tout entier n ³ 1, par : u _n ¹

₂

= n , et on pose :

1 2 2 2 2

1

1 1 1

S ... ...

1 2

n

n k n

k

u u u u

n

=

= å = + + + = + + +

Le but de cet exercice est l’étude de la convergence de la suite ( S _n ) de deux façons différentes

Partie préliminaire 1. Calculer S , S et S

_{1 2 3}

.

2. Démontrer que la suite ( S _n ) est une suite croissante.

Partie 1 : Convergence de ( S _n ) – Méthode 1 On considère la suite ( v _n ), définie pour tout entier n ³ 1 par : ²

( 1) v n

= n n

+ , et on pose :

1

T

n

n k

k

v

=

= å

1. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier n ³ 1, on a : T 2 ²

n 1

= - n + . b) En déduire que la suite ( T _n ) est une suite majorée.

2. Démontrer que pour tout entier n ³ 1, on a : u _n £ v _n .

3. Démontrer que la suite ( S _n ) converge vers un nombre réel l.

Partie 2 : Convergence de ( S _n ) – Méthode 2 et valeur approchée de l

On considère la suite ( w _n ), définie pour tout entier n ³ 1 par : w _n S _n ¹

= + n . 1. Démontrer que les deux suites ( S _n ) et ( w _n ) sont adjacentes.

2. En déduire que la suite ( S _n ) converge vers un nombre réel l.

Exercice n°1 :

0 1

0

4 3 , pour tout n

n n

u

u

₊

u

=

= + Î

ìï í

ïî ^¥

Illustration graphique de la suite :

Conjecture : La suite (u n ) est croissante, majorée par 4 et elle converge vers 4.

Réponses :

1. a) Montrons par récurrence que pour tout n de IN, 0 £ u _n < 4 .

· Pour n = 0, 0 £ u ₀ = < 0 4

· Pour n ³ 0, supposons que 0 £ u _n < 4 et montrons que 0 £ u _{n + 1} < 4 En effet :

0 £ u _n < Þ £ 4 0 3 u _n < 12 Þ £ + 4 4 3 u _n < 16 Þ 4 £ 4 3 + u _n < 16 Þ £ £ 0 2 u _{n +} 1 < 4 Ainsi " n Î IN, 0 £ u _n < 4 .

b) ² 1 ^{2 2} ( )( )

0 car 0 0 car u 4

4 3 1 4 0

n n

n n n n n n

u

u ₊ u u u u u

> ³ > <

- = + - = + - >

123 1 424 3 Þ u _n ² ₊ 1 > u _n ² Þ u _{n +} 1 > u _n ( u _n > 0 ) Suites réelles 2

Corrigé

4

^ème

année Maths

Septembre 2009

A. LAATAOUI

Þ ( ) u _n est strictement croissante

c) ( ) u n est croissante et majorée par 4 donc ( ) u n est convergente. Soit l la limite de ( ) u n

( ) [ ]

( )

1

converge vers 0, 4

4 3 , avec ( ) 4 3 4 , ( )

3 est continue sur 4 , donc en

3

n

n n n

u

u f u u f x x x f

f

+

ì ï Î

ï ï = = + = + Î - é +¥ Þ é =

í ê ë ê ë

ï ï é - +¥ é

ï ê ë ê ë

î

l

l l l

Þ [ ] ² _{

à rejeter

4 3 + l l = , avec l Î 0, 4 Û l - - = Û = - 3 l 4 0 l 1 ou =4 l Þ l =4 2. Autre procédé de convergence :

a) ( )

1

4 12 3 3 4

4 4 3

4 4 3 4 4 3

n n

n n

n n

u u u

u u u

+

- = - + = - = -

+ + + +

Or 1 1

0 4 3 2 4 4 3 6

4 4 3 6

n n n

n

u u u

³ Þ + ³ Þ + + ³ Þ u £

+ +

Þ

1

( ) ( ) ( )

4 3 4 3 4 1 4

6 2

4 4 3

n

n n n

n

u u u u

+

u

- = - £ - = -

+ +

b)

( )

( )

( )

( )

( )

1

1 0

2 1

3 2

1

4 1 4 , pour tout k de IN

2

Pour k = 0, 0<4 1 4 2 Pour k = 1, 0<4 1 4

2 Pour k = 2, 0<4 1 4

2

Pour k = n - 1, 0<4 1 4 2

On fait le produit terme à terme et on simpl

k k

n n

u u

u u

u u

u u

u u

+

-

- £ -

- £ - ü ï

ï ï

- £ - ï

ï ï

- £ - ý

ï ï ï ï - £ - ï ïþ M

M

( 0 )

1 1

ifie on aura 0<4 4 4

2 2

n n

u n æ ö u æ ö

- £ ç ÷ è ø - = ´ ç ÷ è ø

{ ( )

0

0<4 4 1 converge et lim 4

2

n

n n n

n

u u u

®+¥

- £ ´ æ ö ç ÷ è ø Þ =

]

Exercice n°3 :

0

1

1 1 1

n 1

n

u

u

⁺

u

=

= + + ì ï

í ïî

Illustration graphique de la suite :

Conjecture :

· La suite ( ) u 2n est croissante et majorée par 2

· La suite ( u 2 n ₊ 1 ) est décroissante et minorée par 2

· La suite ( ) u n converge vers 2 Réponses :

1. Montrons par récurrence que pour tout n de IN, on a : u _n ³ 1 et u _n ¹ 2 .

· Pour n = 0, u

₀

= 1 ³ 1 et u

₀

= 1 ¹ 2 .

· Pour n ³ 0, supposons que u _n ³ 1 et u _n ¹ 2 et montrons que u _n

₊₁

³ 1 et u _n

₊₁

¹ 2 . En effet :

1

1 1

1 1 0 0 1 1 1

1 1

n n n

n n

u u u

u u ⁺

³ Þ + > Þ > Þ + ³ Þ ³

+ +

1

1 1 1 1

2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 1 1

n n n

n n n

u u u

u u u ⁺

¹ Þ + ¹ + Þ ¹ Þ ¹ - Þ + ¹ Þ ¹

+ + + +

Ainsi " n Î IN, u _n ³ 1 et u _n ¹ 2 .

2.

¹

^{2 1 2}

2 1 ?

n n n

u u u

+

- -

= + -

( ) ^{( ) ( )}

( ) ^{( )} ( ) ^{( )} ( )( ) ( )( )

1

2 1 1 1 2 1

1

1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2

n n n

n

n n n

u u u

u

u u u

+

æ ö

- + = + ç è + - ÷ ø + =

- + + = - + - - + = - -

3. ^{2 1}

k 2 -

=

·

1 2 1 2 2 1

1 1

2

n

n n

n

u

u u

u

+ - = - = -

+ +

-

1 1 2 1 2 1 2 1

Or 1 2

1 2 1 2 1

n

n n n

u k

u u u

- - -

+ ³ Þ £ Þ £ Þ £

+ + +

1

2 2

n n

u

₊

- £ k u - Þ

·

1

1 0

2 1

0

2 1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

, p IN Pour p = 0,

Pour p = 1,

Pour p = n - 1,

On fait le produit terme à terme et on simplifie, on obtient :

p p

n n

n

n n

u k u

u k u

u k u

u k u

u k u k

+

-

- £ -

- £ -

- £ -

- £ -

- £ -

" Î ü ï ï ïï ý ï ï ï ïþ

£ M

M

1424 3

] [

lim ⁿ 0 car 1,1

n k k

®+¥ = Î - Þ ( ) u n converge vers 2

4.

2 1 1

1

2 1 2

2 1

2 1 2

2 1

n n n

n n n

u u u u u u

+ + +

+

- -

= + -

- -

= + -

ü ï

ï ý

ï ï

þ

On fait le produit terme à terme et on simplifie, on obtient :

( )

( )( ) ^{ ( )

1 2

2

2 0

car1 2 et 1 2 1

0

2 2

1 2

1 2 3 2 2

0 1

1 1

_{n n}

4 4

n

n n n u u

u

u u u

₊

+

>

+ ³ + ³

+

>

- =

-

- - -

< £ = <

+ +

14243 1442443

· Montrons par récurrence que pour tout n de IN, u _{2 n} < 2 Pour n = 0, u ₀ = < 1 2

Pour n ³ 0, supposons que u _{2 n} < 2 et montrons que u _{2 n + 2} < 2 En effet :

^{2 2}

2

2 2 2 2 2

2 2

0 et 2 0 2 0 2

n n

n n n

u u

u u u

+

+ +

-

- > - < Þ - < Þ <

Ainsi " n Î IN, u _{2 n} < 2

· Montrons que la suite ( ) u 2n est croissante :

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 1 et 2

2 0 2 2

n n

n n n n n

u u

u u u u u

+

+ +

- <

- - < Þ - > - Þ >

On montre de même que u _{2 n + 1} > 2 et que la suite ( u 2 n ₊ 1 ) est décroissante.

5. _{0 1} 1 3 ₂ 1 7 ₃ 1 17 ₄ 1 41 ₅ 1 99

1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1

3 7 17 41

2 2 5 12 29 70

1 1 1 1

2 5 12 29

u = u = + = u = + = u = + = u = + = u = + =

+ + + +

.

Puisque : u ₀ < u ₂ < u ₄ < 2 < u ₅ < u ₃ < u ₁ Þ 1 ^{7 41} 2 ^{99 17 3}

5 29 70 12 2

< < < < < <

Exercice n°8 :

( ) a n et ( ) b n sont deux suites définies par a

₀

= 1 , b

₀

= 7 et

( )

( )

1

1

1 2 3

1 2

3

n n n

n n n

a a b

b a b

+

+

= +

= +

ì ïï í ï ïî

.

1.

2. u _n = b _n - a _n

· u _n

₊₁

= b _n

₊₁

- a _n

₊₁

= ¹ ( ² ) ( ^{1 2} ) ¹ ( ) ¹

3 a ⁿ + b ⁿ - 3 a ⁿ + b ⁿ = 3 b ⁿ - a ⁿ = 3 u ⁿ Þ ( u _n ) est une suite géométrique de raison 1

3 et de premier terme u ₀ = - b ₀ a ₀ = 6 .

· ₀ 1

6 3

n n

u n = ´ u q = ´ç ÷ æ ö è ø , pour tout n de IN.

3. 1

6 0

3

n

n n n n n

u = b - a = ´ æ ö ç ÷ è ø > Þ b > a , " n Î IN.

( )

1

0

1 1

2 0

3 3

n n n n n n n

a ₊ a a b a a b

>

æ ö

ç ÷

- = + - = - + >

ç ÷

è 1424 3 ø Þ ( ) a n est croissante.

( )

1

0

1 1

2 0

3 3

n n n n n n n

b ₊ b a b b a b

<

æ ö

ç ÷

- = + - = - <

ç ÷

è 123 ø Þ ( ) b n est décroissante.

4. ^lim ( n n ) ^lim n ⁰

n b a n u

®+¥ - = ®+¥ = , car ( u _n ) est une suite géométrique de raison 1

3 Î ]-1, 1[.

( ) ( )

est croissante est décroissante

lim 0

n n

n n

n n

n

a b

a b

b a

®+¥

ü ï ï Þ

< ý ï

- = ï þ

( ) a n et ( ) b n sont deux suites adjacentes.

5. v _n = a _n + b _n

1 1 1

n n n

v

₊

= a

₊

+ b

₊

= ¹ ( ² ) ( ^{1 2} )

3 a ⁿ + b ⁿ + 3 a ⁿ + b ⁿ = a ⁿ + b ⁿ = v ⁿ Þ ( ) v n est une suite constante.

0 0 0 8

v = a + b = Þ v _n = a _n + b _n = 8 , " n Î IN.

6. ( ) a n et ( ) b n sont deux suites adjacentes Þ ( ) a n et ( ) b n sont convergentes et elles convergent vers la même limite.

Soit l leur limite commune Þ lim _{n n} 2 8 4

n a b

®+¥ + = l = Þ = l . Exercice n°10 :

0 1

0 1

0 ; 2

3

3 2

1 ;

5

n n

n

n n

n

u v

u u

u v

v v

+

+

ì = = +

ïï í +

ï = =

ïî

1. Montrons par récurrence que pour tout n de IN, u _n £ v _n :

· Pour n = 0, u ₀ = £ 0 v ₀ = 1

· Pour n ³ 0, supposons que u _n £ v _n et montrons que u _{n + 1} £ v _{n + 1} En effet :

0

1 1

3 2 2 9 6 10 5

5 3 15 15 0

n n n n n n n n n n

n n

u v u v u v u v v u

v u

³

+ +

+ + + - - -

- = - = = ³

678

Þ u _{n + 1} £ v _{n + 1} . Ainsi " n Î IN, u _n £ v _n . 2. Monotonie de la suite ( ) u n :

1

2 0

3 3

n n n n

n n n

u v v u

u ₊ u + u -

- = - = ³ Þ La suite ( ) u n est croissante.

Monotonie de la suite ( ) v n :

( )

1

3 2 3

5 5 0

n n

n n

n n n

u v

u v

v ₊ v + v -

- = - = £ Þ La suite ( ) v n est décroissante.

3. On pose t _n = v _n - u _n , dans la réponse de la question 1, on a montré que

( )

1 1 1

1 1

15 15

n n N n n n

t ₊ = v ₊ - u ₊ = v - u = t Þ la suite ( ) t n est géométrique de raison ¹ ] [ ^1,1

15 Î - Þ

lim _{n n} 0

n v u

®+¥ - =

Ainsi on a :

( ) ( )

est croissante est décroissante

lim 0

n n

n n

n n

n

u v

u v

v u

®+¥

ì ï ï í £

ï ï - =

î

Þ les suites ( ) u n et ( ) v n sont adjacentes et par suite elles

sont convergentes et elles convergent vers la même limite.

4. w _n = 9 u _n + 5 v _n .

a)

1 1 1

2 3 2 18 9

9 5 9 5 3 2

3 5 3

27 15

9 5 3

n n n n n n

n n n n n

n n

n n n

u v u v u v

w u v u v

u v

u v w

+ + +

+ + +

æ ö æ ö

= + = ç è ÷ ø + / ç è / ÷ ø = + +

= + = + =

Þ ( ) w n est une suite constante et on a : " n Î IN, w _n = 9 u _n + 5 v _n = w ₀ = 9 u ₀ + 5 v ₀ = 5 b) Soit l la limite commune de ( ) u n et ( ) v n

On a : { { 5

lim lim 9 5 5 14 5

n n n 14

n w n u v

®+¥ ®+¥

æ ö

= ç ç è l + l ÷ ÷ ø = Þ = Þ =

l l