admet un extremum relatif en a ∈ A et si les formes linéaires dg 1a , . . . , dg pa sont linéairement indépendantes, alors il existe des réels α 1 , . . . , α p tels que

Théorème des extremas liés

Gourdon, Analyse, pages 311-314-321 Théorème :

Soit U un ouvert non vide de R ⁿ , p ≥ 1 et f, g 1 , g 2 , . . . , g p ∈ C ¹ (U, R) . On pose A = {x ∈ U / g 1 (x) = . . . = g p (x) = 0}

Si f |

_A

admet un extremum relatif en a ∈ A et si les formes linéaires dg 1a , . . . , dg _pa sont linéairement indépendantes, alors il existe des réels α 1 , . . . , α p tels que

df a = X p

k=1

α k dg _ka

Notons tout d'abord que p ≤ n . En eet, les p formes linéaires dg 1 a , . . . , dg _pa sont linéairement indépendantes dans le dual de R ⁿ . Mais l'espace dual (R ⁿ ) ^∗ est de dimension n . Ainsi, on obtient bien p ≤ n .

1er cas : p = n.

Le théorème est alors évident. En eet, les n formes linéaires dg 1a , . . . , dg _na étant linéairement indépendantes, elles constituent une base de (R ⁿ ) ^∗ . Bref, comme df a ∈ (R ⁿ ) ^∗ , il existe bien des réels α 1 , . . . , α n tels que df a = P ⁿ

k=1

α k dg _ka . Remarque : A ce stade, le cas particulier n = 1 a été entièrement traité (car alors on a a fortiori p = n = 1). On pourra donc supposer à présent n ≥ 2.

2ème cas : 1 ≤ p ≤ n − 1 .

Identions alors R ⁿ à R ^s × R ^p . Ainsi, on notera a = (a s , a p ) . De plus, tout élément de R ⁿ sera écrit (x, y) = (x 1 , . . . , x s , y 1 , . . . , y p ) .

Les formes linéaires (dg _ia ) i=1...p étant linéairement indépendantes, elles constituent une famille de rang p dans (R ⁿ ) ^∗ . Ainsi, la matrice

A =



 

 

 

∂g 1

∂x 1

(a) · · · ∂g 1

∂x s

(a) ∂g 1

∂y 1

(a) · · · ∂g 1

∂y p

(a)

... ... ... ... ... ...

∂g p

∂x 1

(a) · · · ∂g p

∂x s

(a) ∂g p

∂y 1

(a) · · · ∂g p

∂y p

(a)



 

 

 

∈ M p,n (R)

est de rang p. De A, on peut extraire une matrice de GL p (R). Quitte à changer le nom des variables, on peut supposer que



 

 

 

∂g 1

∂y 1 (a) · · · ∂g 1

∂y p (a) ... ... ...

∂g p

∂y 1 (a) · · · ∂g p

∂y p (a)



 

 

 

∈ GL p (R)

En d'autres termes, det µ ∂g i

∂y j (a)

¶

i,j=1...p

6= 0 . Dénissons alors g : U → R ^p

z 7→ (g 1 (z), . . . , g p (z)) .

D'après le théorème des fonctions implicites, il existe donc un voisinage ouvert O de a s , un voisinage ouvert V de (a s , a p ) et une application ψ ∈ C ¹ (O, R ^p ) tel que pour tout (x, y) ∈ V avec x ∈ O, g(x, y) = 0 si et seulement si y = ψ(x) .

Finalement, il existe un voisinage ouvert W de a inclus dans V et un voisinage ouvert Ω de a s inclus dans O tels que (1) A ∩ W = {(x, ψ(x)) / x ∈ Ω}

Par ailleurs, a s ∈ O et (a s , a p ) ∈ V . De plus, g(a s , a p ) = 0. AInsi donc (2) a p = ψ(a s ) Dénissons alors h : O → R

x 7→ f (x, ψ(x)) . Notons que h ∈ C ¹ (O, R).

La restriction de f à A admettant un extremum local en a ∈ A ∩ W , on déduit de (1) et (2) que h admet un extremum local en a s . Ceci implique alors que pour tout i = 1 . . . s , ∂h

∂x i

(a s ) = 0 . Bref, par dénition de h , il vient que

(3) ∀i = 1 . . . s, ∂f

∂x i (a) + X p

j=1

∂f

∂y i (a) ∂ψ j

∂y i (a) = 0

1

Par ailleurs, pour tout x ∈ Ω, g(x, ψ(x)) = 0. Ainsi,

(4) ∀k = 1 . . . p, ∀i = 1 . . . s, ∂g k

∂x _i (a) + X p

j=1

∂g k

∂y _j (a) ∂ψ j

∂y _i (a) = 0 Introduisons alors la matrice

B =



 

 

 

 



∂f

∂x 1

(a) · · · ∂f

∂x s

(a) ∂f

∂y 1

(a) · · · ∂f

∂y p

(a)

∂g 1

∂x 1

(a) · · · ∂g 1

∂x s

(a) ∂g 1

∂y 1

(a) · · · ∂g 1

∂y p

(a)

... ... ... ... ... ...

∂g p

∂x 1

(a) · · · ∂g p

∂x s

(a) ∂g p

∂y 1

(a) · · · ∂g p

∂y p

(a)



 

 

 

 



∈ M p+1,n (R)

Les relations (3) et (4) prouvent que les s premières colonnes de B s'expriment linéairement en fonction des p dernières.

Bref, le rang de B est inférieur ou égal à p .

Ainsi, les p + 1 lignes de la matrice B sont liées. Il existe donc des réels non tous nuls β 1 , . . . , β p+1 tels que (5) β 1 dg 1a + . . . + β p dg _pa + β p+1 df a = 0

Comme la famille (dg 1 a , . . . , dg _pa ) est libre, on a nécessairement β p+1 6= 0 . Pour tout i = 1 . . . p, posons alors α i = − β i

β p+1 . Dans ce cas, l'égalité (5) conduit exactement à df a = P ^p

i=1

α i dg _ia . Application : Pour tous réels x 1 , . . . x n positifs, on a l'inégalité arithmético-géométrique :

(x 1 . . . x n )

ⁿ¹

≤ x 1 + . . . + x n

n

Dénissons f : R ⁿ → R

(x 1 , . . . , x n ) 7→ x 1 . . . x n .

Soit s > 0 . Considérons l'application g : R ⁿ → R

(x 1 , . . . , x n ) 7→ x 1 + . . . + x n − s .

Posons alors K s = {x ∈ (R ⁺ ) ⁿ / g = 0}. De plus, soit U l'ouvert (R ⁺ ) ⁿ et A l'ensemble {x ∈ U / g(x) = 0} ⊂ K s . L'ensemble K s , fermé borné de R ⁿ , est un espace compact. Par ailleurs, l'application f est continue sur R ⁿ et a fortiori sur K s .

Ainsi, f possède un maximum sur K s , maximum atteint par exemple en a ∈ K s . Montrons donc que a ∈ A, an d'appliquer le théorème des extréma liés.

• Sur K s \A , f est identiquement nulle. De plus, f (a) ≥ f ¡ _s

n , . . . , _n ^s ¢

> 0 . Le point a est donc nécessairement dans A . Dans ce cas, si a = (a 1 , . . . , a n ) , pour tout i = 1 . . . n , a i 6= 0 .

Ainsi donc, f _|

_A

admet un maximum en a .

Or f et g sont de classe C ¹ sur U . D'après le théorème précédent, il existe donc α ∈ R tel que df a = αdg a . Bref, pour tout i = 1 . . . n , ∂f

∂x _i (a) = ∂g

∂x _i (a) . Le calcul des dérivées partielles montre alor que (6) ∀i = 1 . . . n, f(a)

a _i = α

Mais f (a) > 0 , ainsi f (a) 6= 0 et donc α 6= 0 . Bref, de (6) , on déduit que les (a i ) i=1...n sont tous égaux à la constante C = f (a)

α .

Mais a ∈ A, ce qui donne P ⁿ

i=1

a i − s = 0, soit encore nC − s = 0.

Finalement, sur K s , f atteint son maximum en ³ s n , . . . , s

n

´ . En d'autres termes,

(7) ∀x ∈ K s , f (x) ≤ f

³ s n , . . . , s

n

´

=

³ s n

´ _n

• Soit alors x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ U . En appliquant l'inégalité (7) à s = P ⁿ

i=1

x i > 0 et x ∈ K s , il vient ainsi (f (x))

ⁿ¹

≤ 1 n

X n

i=1

x i

La dénition de f donne nalement (x 1 . . . x n )

ⁿ¹

≤ 1 n

X n

i=1

x i .

Cette inégalité restant valable sur (R ⁺ ) ⁿ , l'inégalité arithmético-géométrique est nalement démontrée.

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