TS SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES 02/04/2019
Exercice 1 :
Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences X et Y.
D’une année sur l’autre, une partie des fonds de l’agence X est transférée à l’agence Y, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.
Soit ݊ un entier naturel. On note ݔ la quantité de fonds détenue par l’agence X, et ݕ la quantité de fonds détenue par l’agence Y au 1er janvier de l’année 2019 + ݊, exprimées en millions d’euros.
On note ܷ la matrice ቀݔ
ݕቁ et on note ܫ = ቀ1 00 1ቁ.
On suppose que le 1er janvier de l’année 2019, l’agence X possède 50 millions d’euros et l’agence Y possède 10 millions d’euros.
L’évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante :
ܷାଵ = ܣܷ+ ܤ, où ܣ = ቀ0,6 0,150,2 0,4 ቁ et ܤ = ቀ13ቁ.
1. Interpréter dans le contexte de l’exercice le coefficient 0,6 de la matrice ܣ et le coefficient 3 de la matrice ܤ.
2. Donner la matrice ܷ puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2020, exprimée en millions d’euros.
3. On note ܦ = ቀ0,3 00 0,7ቁ , ܲ = ቀ 1 3
−2 2ቁ et ܳ = ቀ0,25 −0,3750,25 0,125 ቁ. a. Donner sans détailler le calcul, la matrice ܲܦܳ.
b. Calculer la matrice ܳܲ. Que peut-on en déduire ?
c. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel ݊, ܣ = ܲܦܳ. d. En déduire que, pour tout entier naturel ݊,
ܣ = ൬0,25 × 0,3+ 0,75 × 0,7 0,375(−0,3+ 0,7) 0,5(−0,3+ 0,7) 0,75 × 0,3 + 0,25 × 0,7൰ 4. On pose pour tout entier naturel ݊, ܸ = ܷ − ቆ5
ଶ
ଷቇ a. Démontrer que pour tout entier naturel ݊, ܸାଵ = ܣܸ.
b. Déterminer ܸ puis, pour tout entier naturel ݊, donner l’expression de ܸ en fonction de ܣ, ݊ et ܸ.
5. a. Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice ܸ en détaillant les calculs.
b. En déduire l’expression de ݔ en fonction de ݊.
c. Déterminer la limite de ݔ quand ݊ tend vers +∞ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
Exercice 2 :
On dit qu’un entier naturel non nul ܰ est un nombre triangulaire s’il existe un entier naturel ݊ tel que : ܰ = 1 + 2 + ⋯ + ݊.
Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car 10 = 1 + 2 + 3 + 4.
Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d’un entier. On rappelle que, pour tout entier naturel non nul ݊, on a :
1 + 2 + ⋯ + ݊ = ݊(݊ + 1) 2 Partie A : nombres triangulaires et carrés d’entiers
1. Montrer que 36 est un nombre triangulaire, et qu’il est aussi le carré d’un entier.
2. a. Montrer que le nombre 1 + 2 + ⋯ + ݊ est le carré d’un entier si et seulement s’il existe un entier naturel tel que : ݊ଶ+ ݊ − 2ଶ = 0.
b. En déduire que le nombre 1 + 2 + ⋯ + ݊ est le carré d’un entier si et seulement s’il existe un entier naturel tel que : (2݊ + 1)ଶ− 8ଶ = 1.
Partie B : étude de l’équation diophantienne associée
On considère (E) l’équation diophantienne ݔଶ− 8ݕଶ = 1, où ݔ et ݕ désignent deux entiers naturels.
1. Donner deux couples d’entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solution de (E).
2. Démontrer que, si un couple d’entiers naturels non nuls (ݔ; ݕ) est solution de (E), alors les entiers naturels ݔ et ݕ sont premiers entre eux.
Partie C : lien avec le calcul matriciel Soit ݔ et ݕ deux entiers naturels.
On considère la matrice ܣ = ቀ3 81 3ቁ.
On définit les entiers naturels ݔ′ et ݕ′ par l’égalité : ൬ݔ′ݕ′൰ = ܣ ቀݔ ݕቁ. 1. Exprimer ݔ′ et ݕ′ en fonction de ݔ et de ݕ.
2. Déterminer la matrice ܣିଵ , puis exprimer ݔ et ݕ en fonction de ݔ′ et ݕ′ .
3. Démontrer que (ݔ; ݕ) est solution de (E) si et seulement si (ݔᇱ; ݕ′) est solution de (E).
4. On considère les suites (ݔ) et (ݕ) définies par ݔ = 3, ݕ = 1 et, pour tout entier naturel ݊, ቀݔାଵ
ݕାଵቁ = ܣ ቀݔ ݕቁ.
On admet que, ainsi définis, les nombres ݔ et ݕ sont des entiers naturels pour toute valeur de l’entier naturel ݊.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel ݊, le couple (ݔ; ݕ) est solution de (E).
Partie D : retour au problème initial
À l’aide des parties précédentes, déterminer un nombre triangulaire supérieur à 2 019 qui est le carré d’un entier.
