TS SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES 18/01/2019
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
L’usage de la réflexion est recommandé !
On appelle suite de Fibonacci la suite (ݑ) définie par ݑ = 0, ݑଵ = 1 et, pour tout entier naturel ݊, ݑାଶ = ݑାଵ+ ݑ.
On admet que, pour tout entier naturel ݊, ݑ est un entier naturel.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
1. a. Calculer les termes de la suite de Fibonacci jusqu’à ݑଵ.
b. Que peut-on conjecturer sur le PGCD de ݑ et ݑାଵ pour tout entier naturel ݊ ? 2. On définit la suite (ݒ) par ݒ = ݑଶ− ݑାଵ× ݑିଵ pour tout entier naturel ݊ non nul.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel ݊ non nul, ݒାଵ = −ݒ. b. En déduire que, pour tout entier naturel ݊ non nul,
ݑଶ − ݑାଵ× ݑିଵ = (−1)ିଵ. c. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b.
Partie B
On considère la matrice ܨ = ቀ1 11 0ቁ 1. Calculer ܨଶ et ܨଷ.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel ݊ non nul, ܨ = ቀݑାଵ ݑ
ݑ ݑିଵቁ 3. a. Soit ݊ un entier naturel non nul.
En remarquant que ܨଶାଶ = ܨାଶ× ܨ, démontrer que :
ݑଶାଶ = ݑାଶ× ݑାଵ+ ݑାଵ× ݑ b. En déduire que, pour tout entier naturel ݊ non nul,
ݑଶାଶ = ݑାଶଶ − ݑଶ 4. On donne ݑଵଶ= 144.
Démontrer en utilisant la question 3. qu’il existe un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers, l’une étant égale à 12.
Donner la longueur des deux autres côtés.
